北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案.pdf

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1、北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 1 页共 52 页 课题：第 01 课时不等式的基本性质 目的要求 ： 重点难点 ： 教学过程 ： 一、引入 ： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子 ?汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”： “远 者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中 息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?” 、 “电灯挂在写字台上 方怎样的高度最亮？” 、 “用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖 的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”

2、等，都属于不等关系的问题， 需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式 等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不 等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从 引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题： a克糖水中含有b克糖 (ab0)， 若再加 m(m0) 克糖，则糖水更甜了，为什么

3、? 分析：起初的糖水浓度为 a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为 ma mb ，只要证 ma mb a b 即可。 怎么证呢 ? 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0baba 0baba 0baba 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质： 、如果ab，那么 bb。( 对称性 ) 、如果ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。 、如果ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。 推论：如果ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab

4、， cd a+cb+d 、如果ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，那么 nn ba(nN，且 n1) 、如果ab 0，那么 nn ba(nN，且 n1)。 三、典型例题： 例 1、已知 ab，cb-d 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 2 页共 52 页 例 2 已知 ab0，ca，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。 三、小结 ： 四、练习 ：解不等式 1、.1122 x2、01314x 3、423xx. 4、xx21. 5、142 2 xx6、21 2 xx. 7、42xx8、.631xx 9、21xx10、.24xx 五、作业 ： 北师大版高中数

5、学选修4-5不等式选讲全套教案 第 5 页共 52 页 选修 4_5 不等式选讲 课题：第 03 课时含有绝对值的不等式的证明 目的要求 ： 重点难点 ： 教学过程 ： 一、引入 ： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关 于绝对值的和、差、积、商的性质： （ 1）baba（2）baba （ 3） baba （4） )0(b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质baba和)0(b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要

6、能够证明 baba 对于任意实数都 成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？ 显然aa，当且仅当0a时等号成立 （即在0a时，等号成立。 在0a时，等号不成立） 。 同样，. aa当且仅当0a时，等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。 二、典型例题： 例 1、证明（1）baba，（2）baba。 证明（ 1）如果,0ba那么. baba所以.bababa 如果,0ba那么).(baba所以babababa)()( （2）根据（ 1）的结果，有bbabba，就是，abba。 所以，baba。 例 2

7、、证明bababa。 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 6 页共 52 页 例 3、证明cbcaba。 思考： 如何利用数轴给出例3 的几何解释？ （设 A，B，C 为数轴上的3 个点，分别表示数a，b，c，则线段.CBACAB当且仅当C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即 C 为原点），就得到例2 的后 半部分。） 探究 ：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的 结果来证明。 例 4、已知 2 , 2 c by c ax，求证.)()(c

8、bayx 证明 )()()()(byaxbayxbyax （1） 2 , 2 c by c ax， c cc byax 22 （2） 由（ 1） ， （ 2）得：cbayx)()( 例 5、已知. 6 , 4 a y a x求证：ayx32。 证明 6 , 4 a y a x， 2 3, 2 2 a y a x， 由例 1 及上式，a aa yxyx 22 3232。 注意 ： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号 方向相同的不等式。 三、小结 ： 四、练习 ： 1、已知. 2 , 2 c bB c aA求证：cbaBA)()(。 2、已知. 6 , 4

9、 c by c ax求证：cbayx3232。 五、作业 ： 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 7 页共 52 页 链接：不等式的图形 借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和 绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速 而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效 地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。 1解不等式121xxx。 题意即是在数轴上找出到1 1 与2 2 的距离之和不大于到点1 3 的距离的所有流动点 x。 首先在数

10、轴上找到点1 1 ，2 2 ，1 3 （如图）。 31 x 122 xx -1 0 1 2 3 从图上判断，在 1与2之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到1与2的距离和正 好是 1，而到 3的距离是 )21(1)1(2xxx。 现在让流动点x由点 1向左移动，这样它到点3的距离变，而到点1与2的距离增大，显然， 合乎要求的点只能是介于1 3 与1 1 之间的某一个点 1 x。 由),1()2()1 ( 111 xxx可得. 3 2 1 x 再让流动点x由点 2向右移动，虽然这种点到1与2 的距离的和及到 3的距离和都在增加， 但两相比较，到 1与2 的距离的和增加的要快。所以，要使这种

11、点合乎要求，也只能流动到某一点 2 x而止。 由),1()2() 1( 222 xxx可得. 4 2 x从而不等式的解为.4 3 2 x 2画出不等式1yx的图形，并指出其解的范围。 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： 0x，0y，1yx. 其图形是由第一象限中直线xy1下方的点所组成。 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 1yx的图形是以原点O 为中心，四个等点分别在坐标轴上 的正方形。不等式解的范围一目了然。 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 8 页共 52 页 探究： 利用不等式的图形解不等式 1. 111xx; 2.12

12、 yx A 组 1解下列不等式： （1） 2 1 32x（2） 1743x （3）142xx（4）xxx 2 1 2 2 2解不等式：（1）112xx（2）1 1 2 x x 3解不等式：（1）321xx（2）.0312xx 4利用绝对值的几何意义，解决问题： 要使不等式34xx1 )1(332 2 xxx整理得：06 2 xx 解之，不等式的解集为x|-32 或 3 2 log3x 不等式的解集为 x|x2 或 3 2 log3x 例 3、解不等式：)10( , 42 2 aaaa xxx 且 (当 a1 时),4()1,(x当 01 时有2 2 1 23 41 2 1 )12(234 03

13、4 012 2 2 x x x x xxx xx x （其实中间一个不等式可省） 当 01 时不等式的解集为 2 2 1 xx； 当 01 时有 0a 原不等式的解集为x|01 或 x|xa, 01 时原不等式化为：2log 2 9 )(log 2 xx aa 0)1log2)(4(logxx aa 2 1 log4logxx aa 或axax0 4或 原不等式的解集为 10,| 4 aaxax或 1,0| 4 aaxaxx或 三、小结 ： 四、练习 ： 解下列不等式 1)102(log)43(log 3 1 2 3 1 xxx(-21 ax a x1 1 0或， 若 01 时m x2 21m

14、x 2 log 2 1 0 当 m=1 时0) 12( 22x x 当 02 或 x1 时 B=1,a 当 a2 时A B 当 1a2 时AB 当 a1 时A B 仅含一个元素 例 6、方程)0, 10( ,0 2 1 cos 2 1 sin 2 xaaxxa有相异两实根，求a 的取值范 围。 解：原不等式可化为01coscos2 2 xxa，令：xtcos则 1 , 1t 设 12)( 2 tattf又 a0 1 4 1 4 1 1 0 8 1 1 4 1 1 022)1( 02)1( 081 a aa a a a a af af a 或 三、小结 ： 四、练习 ： 北师大版高中数学选修4-

15、5不等式选讲全套教案 第 17 页共 52 页 五、作业 ： 101log) 1 (log 2 1 2 2 1 x a ax xa xaaa xaa a a a a 时 时或当 时或当 1, ) 2 1 () 2 1 (110 ) 2 1 () 2 1 (011 1 1 2 13|xxxA 0,|1|aaxxB若BA 求 a 的取值范围(a1) 3)0( ,3 22 aaxxa )0 2 (x a 4)0( , 21log axax x a )01,10( 2222 axaxaaxaa或时当时当 5当 a 在什么范围内方程：01log 4 1 )4(log 2 22 2 axax有两个 不同的

16、负根 )24, 4() 4 1 ,0( 6若方程05)2( 2 mxmx的两根都对于2，求实数m 的范围。4, 5 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 18 页共 52 页 选修 4_5 不等式选讲 课题：第 07 课时不等式的证明方法之一：比较法 目的要求 ： 重点难点 ： 教学过程 ： 一、引入 ： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 0baba 0baba 0baba 二、典型例题： 例 1、设ba，求证：)(23 22 babba。 例 2、若实数1x，求证： .)1()1(3 2242 xxxx 证明：采用差值比较法： 2242 )1

17、()1 (3xxxx = 324242 2221333xxxxxxx =) 1(2 34 xxx =)1() 1(2 22 xxx =. 4 3 ) 2 1 () 1(2 22 xx ,0 4 3 ) 2 1 (,0)1(, 1 22 xxx且从而 ,0 4 3 ) 2 1 ()1(2 22 xx .)1 ()1 (3 2242 xxxx 讨论 ：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 3、已知, Rba求证. abba baba 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 19 页共 52 页 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明： 1) 差值比较法

18、：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba 0)( 0 bababbabba babababa ba ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设,0ba ,0, 1ba b a .1)( ba ab ba b a ba ba 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差 （或作商）、变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时 间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果nm，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。 分析： 设从出发地点至指定地点的路程是S

19、，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 21,t t。 要回答题目中的问题，只要比较 21,t t的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为 21,t t， 根据题意有Sn t m t 22 11 ， 2 22 t n S m S ，可得 nm S t 2 1 ， mn nmS t 2 )( 2 ， 从而 mn nmS nm S tt 2 )(2 21 mnnm nmmnS )(2 )(4 2 mnnm nmS )(2 )( 2 ， 其中nmS,都是正数，且 nm 。于是 0 21 tt，即 21 tt。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨

20、论 ：如果nm，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例 5、设 . 1, 0, 12)( 2 qppqxxf求证；对任意实数ba,，恒有 ).()()(qbpafbqfapf（1） 证明考虑（ 1）式两边的差。 ).()()(qbpafbqfapf 1)(2) 12() 12( 222 qbpabqap .14)1(2)1(2 22 qppqabbqqapp（2） , 0, 1 pqqp pqabpqbpqa422)2( 22 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 20 页共 52 页 .0)(2 2 bapq 即（ 1）成立。 三、小结 ： 四、练习 ： 五、作业 ： 1比较下面各题中

21、两个代数式值的大小： （1） 2 x与1 2 xx； （2）1 2 xx与 2 )1(x. 2已知 .1a 求证：（1）; 12 2 aa（2）.1 1 2 2 a a 3若0cba，求证.)( 3 cba cba abccba 4比较 a 4-b4 与 4a 3 (a-b)的大小 解：a 4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)(a 2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2 ) = - (a-b) 2 0 3 2 3 3 2 2

22、bb a(当且仅当d b 时取等号 ) a4-b4 4a 3(a-b)。 5比较 (a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小 6已知 x 0，比较 (x 2+1)2 与 x 4+x2+1 的大小 7如果 x0，比较 2 1x与 2 1x的大小 8已知 a0，比较1212 22 aaaa与11 22 aaaa的大小 9设 x1，比较 x 3 与 x 2-x+1 的大小 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形” 的常用方法。 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 21 页共 52 页 阅读材料：琴生不等式 例 5 中的不等式)()()(

23、qbpafbqfapf有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸 函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen ）不等式的特例。 琴生在 1905 年给出了一个定义： 设函数)(xf的定义域为 a,b，如果对于 a,b内任意两数 21,x x，都有 . 2 )()( 2 2121 xfxfxx f（1） 则称)(xf为 a,b上的凸函数。 若把（ 1）式的不等号反向，则称这样的)(xf为a,b上的凹函数。 凸函数的几何意义是：过)(xfy曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲 线上。 其推广形式是：若函数)(xf的是 a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数 n xxx, 21 ，都

24、有 . )()()( 2121 n xfxfxf n xxx f nn （ 2） 当且仅当 n xxx 21 时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设)(xf是定义在区间a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点 21,x x， 有),()()( 2121 qxpxfxqfxpf 其 中1, qpRqp， 则 称)(xf是 区 间 a,b 上 的 凸 函 数 。 如 果 不 等 式 反 向 ， 即 有 ),()()( 2121 qxpxfxqfxpf则称)(xf是a,b上的凹函数。 其推广形式，设1, 2121nn qqqRqqq，)(xf是a,b上的凸函数，则对任 意,

25、 21 baxxx n 有)()()()( 22112211nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf， 当且仅当 n xxx 21 时等号成立。 若)(xf是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen ）不等式。把琴生不等式应用于 一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 22 页共 52 页 选修 4_5 不等式选讲 课题：第 08 课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法 目的要求 ： 重点难点 ： 教学过程 ： 一、引入 ： 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者 在证明思路上存

26、在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路 方法的特点。 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等 式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是 “由因及果” ，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐 步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。 以前得到的结论， 可以作为证明的根据。特别的，ABBA2 22 是常常要用到的一个重要不等式。 二、典型例题： 例 1、ba,都是正数。求证：.2 a b b a

27、证明：由重要不等式ABBA2 22 可得 .22 a b b a a b b a 本例的证明是综合法。 例 2、设0,0 ba，求证. 2233 abbaba 证法一分析法 要证 2233 abbaba成立 . 只需证)()( 22 baabbababa成立， 又因0ba， 只需证abbaba 22 成立， 又需证02 22 baba成立， 即需证0)( 2 ba成立 . 而0)( 2 ba显然成立 . 由此命题得证。 证法二综合法 abbababababa 22222 020)( 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 23 页共 52 页 注意到0,0 ba，即0ba， 由上式即

28、得)()( 22 baabbababa， 从而 2233 abbaba成立。 议一议： 根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例 3、已知 a， b，m 都是正数，并且.ba求证：. b a mb ma （1） 证法一要证（ 1） ，只需证)()(mbamab（2） 要证（ 2） ，只需证ambm（3） 要证（ 3） ，只需证ab（4） 已知（ 4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二因为mab,是正数，所以ambm 两边同时加上ab得)()(mbamab 两边同时除以正数)(mbb得（ 1） 。 读一读： 如果用QP或PQ表示命题P

29、 可以推出命题Q（命题 Q 可以由命题P 推出） ， 那么采用分析法的证法一就是（1）).4()3()2( 而采用综合法的证法二就是).1()2()3()4( 如果命题P 可以推出命题Q，命题 Q 也可以推出命题P，即同时有PQQP,，那么我 们就说命题P与命题 Q 等价，并记为.QP在例 2 中，由于mbmb,都是正数，实际上 ).4()3()2() 1( 例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，则 周长为L的圆的半径为 2 L ，

30、截面积为 2 2 L ；周长为L的正方形为 4 L ，截面积为 2 4 L 。所以 本题只需证明 22 42 LL 。 证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为 2 2 L ，截面是正方形的水管的 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 24 页共 52 页 截面面积为 2 4 L 。只需证明： 22 42 LL 。 为了证明上式成立，只需证明 164 2 2 2 LL 。 两边同乘以正数 2 4 L ，得： 4 11 。 因此，只需证明4。 上式显然成立，所以 22 42 LL 。 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管

31、比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明：cabcabcba 222 。 证法一因为abba2 22 （2） bccb2 22 （3） caac2 22 （4） 所以三式相加得)(2)(2 222 cabcabcba（5） 两边同时除以2 即得（ 1） 。 证法二因为,0)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 222222 accbbacabcabcba 所以（ 1）成立。 例 6、证明：.)()( 22222 bdacdcba（1） 证明（1） 0)()( 22222 bdacdcba（ 2） 0)2( 222222222222 dbabcdcadbdacbca（ 3） 02 2

32、222 abcddacb（4） 0)( 2 adbc（5） （5）显然成立。因此（1）成立。 例 7、已知cba,都是正数，求证.3 333 abccba并指出等号在什么时候成立？ 分析：本题可以考虑利用因式分解公式 )(3 222333 cabcabcbacbaabccba 着手。 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 25 页共 52 页 证明：abccba3 333 =)( 222 cabcabcbacba =.)()()( 2 1222 accbbacba 由于cba,都是正数，所以.0cba而0)()()( 222 accbba， 可知03 333 abccba 即abc

33、cba3 333 （等号在cba时成立） 探究 ：如果将不等式abccba3 333 中的 333 ,cba分别用cba,来代替，并在两边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： 27)1)(1)(1 (accbba，其中cba,是互不相等的正数，且1abc. 三、小结 ： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或 代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都 和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、练习 ： 1、已知,0x求证：.2 1 x x

34、 2、已知,0,0yxyx求证. 411 yxyx 3、已知,0ba求证.baba 4、已知.0, 0 ba求证： （1）.4)( 11 baba 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 26 页共 52 页 （2）.8)()( 333322 babababa 5、已知dcba,都是正数。求证： （1）; 2 cdab dcba （2）. 4 4 abcd dcba 6、已知cba,都是互不相等的正数，求证.9)(abccabcabcba 五、作业 ： 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 27 页共 52 页 选修 4_5 不等式选讲 课题：第 09 课时不等式的证明方

35、法之三：反证法 目的要求 ： 重点难点 ： 教学过程 ： 一、引入 ： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻 辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用 间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假， 或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接 证明命题“若p 则 q” ，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，

36、 而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步作出与所证不等式相反的假定； 第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、典型例题： 例 1、已知0ba，求证： nn ba（Nn且1n） 例 1、设2 33 ba，求证.2ba 证明：假设2ba，则有ba2，从而 . 2) 1(68126 ,6128 2233 323 bbbba bbba 因为22) 1(6 2 b，所以2 33 ba，这与题设条件2 33

37、ba矛盾，所以，原不 等式2ba成立。 例 2、设二次函数qpxxxf 2 )(，求证：)3(, )2(, )1 (fff中至少有一个不小于 2 1 . 证明：假设)3(, )2(, )1(fff都小于 2 1 ，则 .2) 3()2(2) 1 (fff（1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1( )3()2(2) 1()3()2(2)1( qpqpqp ffffff （2） （1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意 ：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用 反证法进行。 北师大版高中数学选修4-5

38、不等式选讲全套教案 第 28 页共 52 页 议一议 ：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果 与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述 两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例 3、设 0 4 1 , (1 b)c 4 1 , (1 c)a 4 1 , 则三式相乘：ab 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证： a, b, c 0 证：设 a 0, bc 0, 则 b + c = a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛盾，必有 a 0 同理可证： b 0, c

39、 0 三、小结 ： 四、练习 ： 1、利用反证法证明：若已知a，b， m 都是正数，并且ba，则. b a mb ma 2、设 0 0，且 x + y 2，则 x y1 和 y x1 中至少有一个小于2。 提示：反设 x y1 2， y x1 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。 五、作业 ： 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 29 页共 52 页 选修 4_5 不等式选讲 课题：第 10 课时不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求 ： 重点难点 ： 教学过程 ： 一、引入 ： 所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），

40、使之得出明显的不等量关系后， 再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方 法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题： 例 1、若n是自然数，求证.2 1 3 1 2 1 1 1 2222 n 证明：.,4,3 ,2, 1 1 1 )1( 11 2 nk kkkkk nnn)1( 1 32 1 21 1 1 11 3 1 2 1 1 1 2222 =) 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 1 ( 1 1 nn =.2 1 2 n 注意 ：实际上，我们在证明2 1 3 1

41、2 1 1 1 2222 n 的过程中，已经得到一个更强的结论 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2222 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 例 2、求证：.3 321 1 321 1 21 1 1 1 1 n 证明：由, 2 1 2221 1 321 1 1k k （k是大于 2 的自然数） 得 n321 1 321 1 21 1 1 1 1 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 30 页共 52 页 .3 2 1 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1132n n n 例 3、若 a, b, c, d R+，求证：21 ca

42、d d bdc c acb b dba a 证：记 m = cad d bdc c acb b dba a a, b, c, dR+ 1 cbad d badc c acba b dcba a m 2 cd d dc c ba b ba a m 1 2 时，求证：1) 1(log) 1(lognn nn 证： n 2 0) 1(log, 0)1(lognn nn 2 2 2 2 ) 1(log 2 )1(log)1(log )1(log) 1(log nnn nn nnn nn 1 2 log 2 2 n n n 2 时, 1) 1(log)1(lognn nn 三、小结 ： 四、练习 ： 1

43、、设n为大于 1 的自然数，求证. 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 nnnn 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 31 页共 52 页 2、设n为自然数，求证. ! 1 ) 12 2() 5 2)( 3 2)( 1 2( nn n nnn 五、作业 ： A 组 1、对于任何实数x，求证： （1） 4 3 1 2 xx； （2）. 4 1 11 2 xx 2、设ba，求证： （1） )(23 22 babba； （2）).(46 224224 baabbbaa 3、证明不等式 3344 abbaba. 4、若cba,都是正数，求证：.)()( 2222333 cbacbac

44、ba 5、若,0cba求证. 222bacacbcba cbacba 6、如果ba,同号，且均不为0. 求证：2 a b b a ，并指出等号成立的条件. 7、设cba,是互不相等的正数，求证：.3 c cba b bac a acb 8、已知三个正数cba,的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9. 9、若 2 0，则2cossin1. 10、设Ryx,，且, 1yx求证：.9) 1 1)( 1 1( yx 11、已知0x，求证：（1）1 1 1 2 2 x x； （2） 2 2 3 2 2 x x . 12、设ba,是互不相等的正数，求证：. 8 11 22 bab a a b b

45、a a b 13、已知ba,都是正数，求证： （1）;9)1)(1 ( 22 abbaba（2）.9)( 222222 babaabbaba 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 32 页共 52 页 14、已知, 1, 1 222222 zyxcba求证：.1czbyax 15、已知, 1, 1 2222 yxba求证：. 1byax 16、已知dcba,都是正数，且有 2222 ,dcybax 求证：)(bcadbdacxy 17、已知 n aaaa, 321 都是正数，且1 321n aaaa， 求证： n n aaaa2)1()1)(1)(1 ( 321 18、设ABC的三

46、条边为,cba求证)(2 222 cabcabcbacabcab. 19、已知yxba,都是正数，设., 1aybxvbyaxuba求证：.xyuv 20、设n是自然数，利用放缩法证明不等式.2 3 1 3 1 2 1 1 1 nnnn 21、若n是大于 1 的自然数，试证. 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 222 nnn B 组 22、已知zyxcba,都是正数，且, c z b y a x 求证：. c z cba zyx a x 23、设0ba，试用反证法证明 bxa bxa sin sin 不能介于 ba ba 与 ba ba 之间。 24、若n是自然数，求证. 4 71

47、3 1 2 1 1 1 2222 n 北师大版高中数学选修4-5不等式选讲全套教案 第 33 页共 52 页 链接：放缩法与贝努利不等式 在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式 edcba里ed和都 是 正 数 ， 可 以 舍 掉ed和， 从 而 得 到 一 个 明 显 成 立 的 不 等 式 cbaedcba. 例如，对于任何0x和任何正整数n，由牛顿二项式定理可得 . 321 )2)(1( 21 )1( 1)1( 22nn xx nnn x nn nxx 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nxx n 1)1 (. 在后面章节的学习

48、中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是 正整数的时候成立，而且当n是任何大于1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。 在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1x，则在1或0时， xx1)1(，在10时，.1)1 (xx 阅读材料：贝努利家族小史 在数学发展史上，17-18 世纪出现了一个著名的数学世家贝努利（Bernoulli ）家族（瑞士） ， 这个家族中的三代人中共出现了8位数学家， 它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。 其中，又以第一代的雅各布 ?贝努利 （Jacob Bernoulli ， 1654.12-1705

49、.8） 、 约翰?贝努利（Johann Bernoulli ， 1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔?贝努利（ Danial Bernoulli ，1700.2-1782.3，约翰 ?贝努利的儿 子）最为著名。 在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的 “贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、 “贝努利级数判别法” ，解 析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、 “贝努利 数” 、 “贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔?贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中， 取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。 贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至