市区陈建均.pdf

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1、初中数学 变量与函数 教学目标 1引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主建构常量与变量的概念、 函数的定义，渗透函数的三种表示法 2引导学生例举、研讨，体会“变化与对应的思想，深化对函数概念实质的认识，体 验函数是研究运动变化的重要数学模型，记法学习兴趣和学习积极主动性 3培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力 教学重点 函数概念 教学难点 建立函数概念（由具体实例逐步过渡到抽象定义.） 教学过程 一、通过实例揭示常量与变量的概念 引入： （感受自然）请各位同学欣赏一幅图，也是书本第十四章的章头图画面上的景色很 美请大家发挥想象力，让这幅图“动”起来告诉老师你看到的是什么？

2、山上积雪的融化，林中歌唱的小鸟，流动的湖水， 飘动的白云，艰难前行的登山运动员 等等 气温随着海拔高度的升高而降低 大自然一片生机勃勃的景象一个变化的世界 在事物的变化过程中，有些量是按照某种规律变化，有些量的数值是始终不变的 （体验生活） 大家都有这样的生活经历：打开水龙头向水壶中注水的过程中，什么不变？ 什么在变？ 水壶的容积、 水流的速度始终不变；注水的时间、 水壶中水的高度和注入水壶的水量都 在发生变化 水壶中水的高度随着注水的时间变化而变化；水壶中水的水量随着注水的时间变化而变 化；水壶中水的水量随着水壶中水的高度变化而变化. 概括： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，

3、数值始终不变的量为常量 现实生活中存在大量的变化过程，请学生举出这样的一些例子：圆的面积与半径，水库 储水量与水深，一天中气温与时间等其中的变量是什么 二、提供实例， 引导学生分析变化过程中的数量关系和变化规律，渗透函数概念的实质， 为概括函数定义奠定基础 情境 1 （1）登山队从大本营出发，在一段时间内（t1.5） ，上山的平均速度是3 千米 小时， 攀登的时间为t、攀登的路程为s，在这个变化过程中，常量是什么？变量时什么？ 两个变量之间有怎样的联系？用什么样的式子表示？ 解：在这个变化过程中，v（3km/h ）是常量，路程s、时间 t 是变量 . 初中数学 s=3t(t 1.5) 或t=

4、3 s (s 4.5) 当 t=0.5， s=1.5；当 s=1 时， t= 3 1 ； t = 1， s=3；s=3 时， t=1； t 取一个值， s 怎样呢？（有且只有一个与其对应） 对于范围内，每一个t 的值是不是都是这样？ 对于变量 t 的每一个确定的值，对于变量s的每一个确定的值 另一个变量s 都有唯一确定的值与t 对应另一个变量t 都有唯一确定的值与s对应 这就是说，在同一个变化过程中，变量s 和 t 之间不是孤立的，而是互相联系的，一个 变量 t（或 s）的变化会引起另一个变量s（或 t）的相应变化，这些变化之间存在对应关系 （2）登山队大本营所在地的气温为5，海拔每升高1km

5、 气温下降6，登山队员由大 本营向上登高xkm 时，他们所在位置的气温是y，在这个变化过程中，常量是什么？变量 时什么？两个变量之间有怎样的联系？用什么样的式子表示？ 解：在这个变化过程中，大本营所在地的气温为5，海拔每升高1km 气温下降6是 常量，高度x、气温 y是变量 . y=-6x+5 或x= 5 6 y （x= 6 5 6 y ） 当 x=0 时，y=5；当 y=-1 时， x=1； x=1 时，y=-1；y=-7 时， x=2； 对于变量x 的每一个确定的值，对于变量 y 的每一个确定的值 另一个变量y 都有唯一确定的值与x 对应另一个变量x都有唯一确定的值与y 对应 在同一个变化

6、过程中，变量的值之间存在对应关系 情境 2 下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x 与 y，对于表 中每一个确定的年份（x） ，都对应着一个确定的人口数（y）吗？ 在这个表格中， 年份与人口数是这个变化过程中的两个变量，对于表中每一个确定的年 份，都对应着一个确定的人口数 例如：在 1984 年，人口数是10.34 亿；在 1989 年，人口数是11.06 亿 情境 3 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天的气温变化，其中图 上点的横坐标t 表示时间，纵坐标T 表示气温，它们是两个变量.在图中， 对于 t 的每一个确 定的值， T都有一个确定的对应值吗？ 单值对

7、应 初中数学 通过看图，我们能直观地看出这一时间段中的每一时刻的温度 例如： 4 点 -3 OC， 14 点 8 OC 在这个温度随着时间变化的过程中，涉及到时间t 和温度 T 两个变量， 通过坐标系中曲 线上点的坐标反映了变量之间的对应关系，只要t（时间）的值确定，变量T（温度）的值 也随之而确定 （从图象中可以看出非整点时刻的大约气温，也可以看出变化规律） 三、引导学生概括函数、函数值的定义及其表示法 以上几个问题的实际背景是不同的，但它们却有一些共同点，请同学们分析 1.剖析三个问题的共同点，揭示函数定义的实质 （1）在一个变化过程中； （2）有两个变量； （3）对于一个变量的每一个确定

8、的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应 这时另一个变量就是这个变量的函数，我们今天这堂课的课题是“变量与函数” 2.函数定义 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与 y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y 是 x 的函数 3.函数值 如果当 x=a 时， y=b，那么 b 叫做当自变量的值为a 时的函数值例如，在s=5t 中， 当 t=1 时， s=5，5 是自变量t=1 时的函数值 .函数是对变量而言的函数值是对具体数值 而言的 4.数学文化： 函数演变经过了几个阶段，17 世纪的几何函数，18 世纪代数函数， 19 世纪的对应函

9、数， 20 世纪的集合函数 5.函数的三种表示形式： 函数作为研究问题的一种方法思想，由以上几个实例可知，反映两个变量的对应关系的 形式有三种：实例1 是列式、实例2 是列表、实例3 是图象，三种形式都体现了函数思想 ，图象研究“形” ，列式、列表研究“数”，这是三大数学思想中的数形结合的思想方法， 四、体验用函数解决问题 通过列表、画图的形式表示登山队从大本营出发，他们所在位置的气温y（）随着登 山队员由大本营向上登高的高度x（km）的变化而变化 列表： x/km 1 1.5 2 2.5 3 y/ -1 -4 -7 -10 -13 图象： 认识获得图象的过程 情境 3 如图是自动测温仪记录的

10、图象，它反映了北京的春季某天的气温变化，其中图 上点的横坐标t 表示时间，纵坐标T 表示气温，它们是两个变量.在图中， 对于 t 的每一个确 初中数学 定的值， T都有一个确定的对应值吗？ 这条曲线是怎么得到的呢？气象工作者告诉我们：在 0 时，测得气温是1.5 ，把 t=0， T=2 分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的一个点（0,2） ；在 4 时，测得 气温是 -3 ，又在坐标平面内描出另一个点（4，-3）, 实际用仪器测量时，时间间隔很短很短，这样，在坐标平面内描出的点很多很多，这些 点集合起来，形成图中的曲线，也就获得了函数的图象 函数的图象是点的集合，是符合什么条件的

11、点的集合呢？ 每一个点的坐标必须是函数的一对对应值；函数的每一对对应值都对应着图象上的点. 结合学生前面所学的有序数对及平面直角坐标系的知识，把表格中的x 记为横坐标，y 记为纵坐标通过描点让学生观察图形可以通过几何画板来模拟 五、教师给出实例，引导学生分析研究问题中的变量间是否是函数关系 （突出函数定义中“一个变化过程中”， “两个变量” ， “单值对应”） 例 1 一场电影售出若干张电影票，每张电影票的售价为10 元 (1)一场电影票房收入y 元与售出票数x 张的关系式 _，常量是_,变量 是_; (2)y 是否为 x的函数？ (3)若售出票数120 张，票房收入_元；若票房收入1600

12、元，售出票数_张 (4)x 是 y 的函数吗？ 【 （1）y=10x，常量是10，变量是y，x （2）根据函数定义知y 是 x的函数， （3）当 x=120 时， y=120 10=1200 （元） ；当 y=1600 元时， 10x=1600， x=160（张） (4) 根据函数定义知,因为 x=5y 所以 x 也是 y 的函数 . 】 例 2 体检时的一张心电图，其中图上点的横坐标x 表示时间，纵向y 表示心脏部位的 生物电流，它们是两个变量，y 是 x 的函数关系吗？为什么？ o 1 5 x y 初中数学 （在心电图中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值，所以y 是 x的

13、函 数） 例 3 下列曲线中不能表示y 是 x 的函数的是（） （A）（ B）（ C）（D） (图 D 中的曲线不能表示y 是 x 的函数 因为在图D 中，当 x=a 时， y 不是都只有唯一确定的对应值，例如，x=0 时，对应的y 的值有 3 个 ） 总结： 辨别变量之间是否存在函数关系，应根据函数的定义中的三个要点：（ 1）在同一 个变化过程中； （2）两个相关的变量； （3）单值对应 六、师生共同小结 1函数定义中的三个要点，函数概念的实质就是运动变化与联系对应；两个变量之间 是单值对应的 2.函数的三种形式 3.研究函数的意义：许多客观事物必须从运动变化的角度去研究因为日常生活中许多

14、问题中的各种变量是相互关联的，而且变量之间存在对应规律，其中单值对应关系，刻画这 种关系的数学模型就是函数随着学习的深入，会越来越理解这点 4.研究问题的几种思想：数形结合的思想，函数思想，几何思想，代数思想等 七、课外作业 1.列举你熟知的生活中存在的函数关系的实例三例并说明其中自变量、函数、对应关 系及表达式 2.三角形的底边长为4cm （1）写出面积S随高 h 变化的函数关系式； （2）指出其中的自变量和自变量的函数 （3）当 h=4cm，S等于多少？ （4）若 S=12cm 2，则 h 等于多少？ 3.已知函数y= 1 12 x x （1）求当 x=0,1 时的函数值 （2）当 x 取

15、什么值时，函数值为1？ 4.一家电信公司给顾客提供上网费的两种计算方式；方式A 以每分钟0.1 元的价格按上 x y o x y x y o x y o o 初中数学 时间计算；方式B 除收月基费20 元外再以每分0.05 元的价格按上网时间计算上网时间 为 x 分钟，方式A 的计费记为y1元，方式 B 的计费记为y2元分别求出y1与 x 之间的函数 关系式， y2与 x 之间的函数关系式 板书 : 变量与函数 设计思路： 本设计的总体思路是：生活中找数学（发现数学）情境中问数学（建立模型） 实践中用数学（分析、应用、拓展）趣味中玩数学（数学外延） 通过感受自然和体验生活两个步骤感受万物皆变现

16、实是在变化的，是“动”的，正 是它们丰富了抽象函数的现实背景，是函数概念诞生的基础 通过情境1、情境 2 和情境 3，归纳：（1）在一个变化过程中； （2）有两个变量； （3） 对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应学会归纳， 找出 相互之间的联系，教会学生分析的方法 函数概念的给出在学生归纳的基础上，符合学生建构知识的需求，将新知识的学习建 立在学生原有知识和经验上 其中函数概念的发展历史的介绍，属于数学文化，让学生更多的了解前人研究问题的 方法思想演变过程，看到前人所做的努力美国著名的数学家波利亚说过：“如果学生在学 校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他

17、的数学教育就在最重要的地方失败了” 学生轻易获取的知识，并不有利于今后的发展，通过这段历史，学生有了这种情感体验，就 会不断去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学的伟大 函数的表示方法，有列表法、解析式法、图象法，渗透数形结合的思想，培养学生用 图象来描述函数的意识其中重点介绍了图象的生成，突出了图象是点的结合 三个例题主要通过教师给出的实例，引导学生分析研究问题中的变量间是否是函数关 系 最后的小结，知识是一方面，凸显的是方法和思想的总结，希望学生可以在后续的学 习中注意方法思想的应用 课外作业注意联系生活，从生活中提炼的数学知识，还应用于数学，这样就丰富了学 习数学的背景，数学更加鲜活 “数” 变化的世界 变量及其关系 表示方法 函数 在一个变化过程中； 有两个变量； 对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都 有唯一确定的值与其对应单值对应 列表法 解 析 式 法 图象法 建 立 数 学 模 型 “形”