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1、知识决定命运百度提升自我 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 十、解直角三角形 葛泉云苏州市文昌实验中学 【课标要求 】 1掌握直角三角形的判定、性质 2能用面积法求直角三角形斜边上的高 3掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理解决简单的实际问题 4理解锐角三角函数定义（正弦、余弦、正切、余切），知道四个三角函数间的关系 5能根据已知条件求锐角三角函数值 6掌握并能灵活使用特殊角的三角函数值 7能用三角函数、勾股定理解决直角三角形中的边与角的问题 8能用三角函数、勾股定理解决直角三角形有关的实际问题 【课时分布 】 解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要5 课时，其中包括单元测试，下表为课时安排
2、（仅供参考） 课时数内容 1 直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单 的解直角三角形 2 解直角三角形的应用 2 解直角三角形单元测试及评析 【知识回顾 】 1知识脉络 2基础知识 直角三角形的特征 直角三角形两个锐角互余； 建模出数学图形， 再添设辅助线求解 解 直 角 三 角 形 解直 角三 角形 直角 三角 形的 边角 关系 实际 应用 已知一边一锐 角解直角三角 已知两边解直 角三角形 添辅助线解直 角三角形 直接构建直角 三角形 已知斜边一锐 角解直角三角 已知一直角边一 锐角解直角三角 已知两直角边 解直角三角形 已知斜边一直角 边解直角三角形 知识决定命运百度提升自我 直角三角形
3、斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在 RtABC 中，若 C90，则 a 2 +b 2=c2； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和， 则这个三角形是直角三角形，即：在ABC 中，若 a2+b2=c2，则 C90； 射影定理：AC 2=AD AB,BC 2=BD AB,CD 2=DA DB 锐角三角函数的定义： 如图，在RtABC 中， C90， A， B， C 所对的边分别为a,b,c, 则 sinA=a c ,cosA= b c ,tanA=a b ,cotA
4、=b a 特殊角的三角函数值： （并会观察其三角函数值随的变化情况） 1 解直角三角形（RtABC,C90） 三边之间的关系：a2+b2=c2 两锐角之间的关系：A B90 边角之间的关系：sinA= Aa c 的对边 斜边 ,cosA= Ab c 的邻边 斜边 tanA= Aa Ab 的对边 的邻边 ,cotA= Ab Aa 的邻边 的对边 解直角三角形中常见类型： 已知一边一锐角 已知两边 解直角三角形的应用 2能力要求 例 1 在 RtABC 中， ACB90， AC6，BC8，CDAB 于点 D，求 BCD 的四个三角 函数值 【分析】求BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于
5、BCD 是在 Rt BCD 中的一 个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和 CD，二是 把 BCD 转化成 A，显然走第二条路较方便，因为在RtABC 中，三边均可得出，利用三角 函数定义即可求出答案 sincostancot 30 1 2 3 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 1 60 3 2 1 2 3 3 3 A B C D A B Ca c b 知识决定命运百度提升自我 【解】在 RtABC 中，ACB90 BCD ACD90， CDAB， ACD A90， BCD A 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB 22 ACBC 10， si
6、nBCD=sinA=BC AB =4 5 ,cosBCD=cosA=AC AB = 3 5 , tanBCD=tanA= BC AC =4 3 ,cotBCD=cotA= AC BC = 3 4 【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题 中角的转换 （或可利用射影定理，求出BD、DC，从而利用三角函数定义直接求出） 例 2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60角，在离 电线杆 6 米的 B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30，已知测角仪离AB 为 1.5 米，求拉线CE 的长 （结果保留根号）
7、【分析】求 CE 的长，此时就要借助于另一个直角三角形， 故过点 A 作 AGCD，垂足为G，在 RtACG 中，可求 出 CG，从而求得CD，在 RtCED 中，即可求出CE 的 长 【解】过点 A 作 AGCD，垂足为点G， 在 RtACG 中， CAG30， BD 6， tan30=CG AG ， CG=6 3 3 =23 CD=23 +1.5,在 RtCED 中， sin60=CD EC ， EC= CD sin60 = 2 3+1.5 3 2 =4+3 答：拉线CE 的长为 4+ 3 米 【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往 是解决这类问
8、题的关键老师在复习过程中应加以引导和总结 例 3 如图，某县为了加固长90 米，高 5 米，坝顶宽为4 米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均 为 1 0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1 米，求坡角的度数；完成该 大坝的加固工作需要多少立方米的土？ 【分析】大坝需要的土方橫断面面积坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM 的面积，在此 问题中，主要抓住坡度不变，即MA 与 AB 的坡度均为10.5 【解】 i=tanB,即 tanB= 1 0.5 =2， B=63.43 过点 M、N 分别作 MEAD，NFAD， 垂足分别为E、F 由题意可知：MENF 5， ME AE 1 0.5 ，
9、 AEDF 2.5， AD=4， MN=EF=1.5， A BC D M N EF 30 A BEDF C G 60 D B C A 知识决定命运百度提升自我 S梯形 ADNM 1 2 (1.5+4) 12.75 需要土方为2.75 90=247.5 (m3) 【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度 垂直高度 水平距离 坡角的正切值，虽 然 2007 年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下 计算器的使用方法 例 4 某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B 之间的距离， 他从湖边的C 处测得 A 在北偏西45方向
10、上， 测得 B 在北偏东32方向上， 且量得 B、C 间距 离为 100 米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B 之间的距离 （结果精确到1 米，参考 数据： sin32 0.5299,cos32 0.8480,tan s32 0.6249,cot32 1.600） 【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解Rt ADC 和 RtBDC 即可 【解】过点C 作 CD AB，垂足为D 由题知：=45，=32 在 RtBDC 中， sin32=BD BC ， BD100sin32 52.99 cos 32=CD BC ， CD=100 cos 32 84.80 在 RtADC
11、中， ACD=45， AD=DC=84.80 AB=AD+BD138 米 答： AB 间距离约为138 米 【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公 共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形 例 5 在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70 方向 200 千米的海面P 处，并以 20 千米 / 时的速度向西偏北25的 PQ 的方向移动， 台风侵袭 范围是一个圆形区域，当前半径为60 千米，且圆的半径以10 千米 / 时速度不断扩张 (1) 当台风中心移动4 小时时，受台风侵袭
12、的圆形区域半径增大到千米；又台风中心 移动 t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米 (2) 当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由( 参 考数据21.41，31.73) 【分析】由题意易知 先要计算出OH 和 PH 的长， 即可求得台风中心移动时间， 而后求出台风侵袭的圆形区 域半径，此圆半径与OH 比较 即可 【解】 100；(60 10 ) t 作 OH PQ 于点 H， 可算得 100 2141OH（千米），设经过t小时时，台风中心从P 移动到 H，则20100 2PHt，算 C A B 北 D 知识决定命运百度提升自我 得5 2t（小时）
13、，此时， 受台风侵袭地区的圆的半径为：60 10 5 2130.5（千米） 141 （千 米） 城市 O 不会受到侵袭 【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直 角三角形 , 利用三角函数知识来解决 例 6 如图所示： 如图， 某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C 的仰角为60 ，沿山坡向上走 到 P 处再测得点C 的仰角为45 ，已知 OA=100 米，山坡坡度为 1 2 ， （即 tanP AB= 1 2 ） 且 O、A、B 在同一条直线上。求电视塔OC 的高度以及所在位置点P 的铅直高度 . （测倾器的 高度忽略不计，结果保留） 【分析】很显然，电
14、视塔 OC 的高在 RtOAC 中即可求得 . 要求点 P 的铅直高度，即求PE 的长，由坡 度 i=1:2 ，可设PE=x, 则 AE2x. 此时只要 列出关于x 的的方程即可 . 而此时要借助于 45所在的Rt来解决 . 故过点P 作 PF OC，垂足为 F. 在 RtPCF 中，由 PFCF， 得 100+2x=1003 x, 即可求得PE 的长 . 【解】过点P 作 PFOC，垂足为F. 在 RtOAC 中 , 由 OAC60， OA100，得 OCOA tan OAC=1003 米. 过点 P 作 PEAB，垂足为E. 由 i=1:2, 设 PE=x , 则 AE2x. PFOE10
15、0+2x，CF1003 x. 在 RtPCF 中, 由 CPF 45， PFCF,即 100+2x=1003 x, x 100 3- 100 3 , 即 PE=100 3- 100 3 答：电视塔OC 高为 1003 米. 点 P的铅直高度为 100 3- 100 3 米. 【说明】本题是解直角三角形的应用中又一类型，即解直角三角形时，当不能直接解出三角形 的边时，可设未知数，利用方程思想来解决，这是解决数学问题中常用的方法，沟通了方程与 解直角三角形之间的联系 【复习建议】 1、 立足教材，打好基础，学生通过复习，应熟练掌握解直角三角形的基本知识、基本方法和基 本技能 2、 重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化数形结合的思想和方法的渗透、总结和升华 增强学生运用解直角三角形的知识解决与生产、生活相关问题的意识和能力 3、 加强解直角三角形的知识与方程知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生 更快、更好地构建数学知识网络 4、 重视题型的生活化， 复习中强调三角函数的本质，正确理解解直角三角形中边角之间的关系， 引导学生用数学的眼光来看待问题 C A B 水平地面 O 山坡 60 45 P E F