数学f1初中数学因式分解复习.pdf

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1、知识决定命运百度提升自我 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 分解因式的复习 一、分解因式的概念 （一）概念：把一个 多项式 化成几个 整式的积的 形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （和差化积） 易错点注意：1、被分解的代数式（等式的左边）是多项式；2、分解后的因式（等式的 右边）是整式；3、 结果是积的形式；4、 结果的因式必须分解彻底。 （二）例： 1、计算下列各式：(1) ab(ab) = _ _ _. (2) 2 ab = _ _ _. (3) 8yy1 = _ _ _. (4) a xy1 = _ _ _. 根据上述算式填空： (5)axaya =( )( ) (6) 22 a

2、b =( )( ) (7) 22 a2abb =( )( ) (8) 2 8y8y =( )( ) 小结： (1)(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)(8)的过程就叫分解因式，故分 解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。 2、 下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（） A、 22 )(bababaB、 )1(4)(44 22 yyxyxyyx C、 22 )1(1)(2)(bababaD、 ) 4 5(45 2 x xxxx 分析： 等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子）；右边的结果应当是几 个整式的、积的形式 即不能出现 分式 （分母含字母的式子）和加减号，而且结果的每

3、个因式都不能再被分解为止。A、是积化和差，右边是减式；B、右边是和式；D、右边含 有分式 4 x ，故选 C 。 3、 下列由左到右的变形，属分解因式的是（） A、 33 55yxxyB、 422 1644xxx C、)54(54 22 baabababbaD、)54)(12( 8 1 8 5 4 7 2 xxxx 知识决定命运百度提升自我 分析： A、左边是单项式，不是多项式；B、分解不彻底，右边结果的分式 2 4x 还能 再被分解为22xx，正确的结果是 42 16422xxxx，C、结果应当是 )154(baab，故选 D 。 4、 已知关于x 的二次三项式nmxx 2 3分解因式的结果

4、为)1)(23(xx,求 m，n 的值。 解：nmxxxxxx 22 323)1)(23( 1,2mn 5、甲、乙两个同学分解因式nmxx 2 ，甲看错了n，分解结果为26xx；乙 看错了 n，分解结果为116xx；请你分析一下m、n 的值，并写出正确的分解过程。 解： 22 26812xxxxxmxn8m； 又 22 1161716xxxxxmxn16n； 故正确的分解过程为： 2 2 8164xxx 6、k 为何值时，多项式kxx6 2 有一个因式是3x？ 解：设另一个因式为xm则： 22 3336xmxxmxmxxk 故有：36m，即，9m 故：327km 7、已知 32 10xxx，求

5、 234 1xxxx的值。 解： 32 10xxx， 432 0xxxx（由已知等式的两边同时乘以 x 得到） 故： 234 1101xxxx 8、已知 2 10xx，求 32 22008xx的值。 解： 2 10xx， 2 1xx 32 2 2 2 22008 22008 2008 12008 2008 12008 2009 xx xxx xxxx xx xx 故 ： 知识决定命运百度提升自我 9、求证 814 255能被 24 整除。 解：因为 8 814214161414214 2555555551524； 所以， 814 255能 被 24 整除。 10、试说明， 一个三位数的百位数字

6、与个位数字交换位置后，则新数字与原数之差能被 99 整除。 解：这原三位为：100a+10b+c，依题意，得： 100c+10b+a100a+10b+c100c+10b+a100a10bc=99c9999aca 故原命题成立。 （三）练习 1、下列由左到右的变形,属分解因式的是( ) A、)( 1 1 2 xx x xB、4)4(44 2 xxxx C、 ayaxyxa)( D、)12(5510 2 xxxx 2、若多项式1 2 axx可以分解为)(2(bxx，则ba的值为 二、提公因式法分解因式 （一）公因式：系数取最大公约数；相同字母取最低次幂。 （二）提取公因式的方法：每项都从左到右寻找

7、，先考虑系数（取最大公约数，第一项若 是负数则需提取负号，提取负号后各项要变号）、再到字母（把每项都有的相同字母提取出 来，以最低次幂为准） 。 例： 分解因式 )1( 22 aaaa nnn 13333 22 xxxx bcaabcabba324128 22323 babaababbaba322264 222233 )()()(bayxyxbyxa)2()()2()( 22 baxybayx )2()()2()( 22 baxybayxbaba 2 )( （三）练习：分解因式 ? 22 )()(xyyyxx? 23 )(12)(18abbba 知识决定命运百度提升自我 ? 2 )()(yxx

8、yxyxx?)2(3)32)(2(baababa ? 524334 693bababa ? 32 )(21)(7yxyyxxy （四）作业：分解因式 ?abcabba4128 323 ? 33 )(10)(5abybax ?)()(qpmnnpqnmm?dcbcbdydcbx)()( (五)、习题 1、a47，b32，c21，求 )()()(acbcbacbacbacbacba 的值。 2、已知 ab13，ab 40，求 22 abba的值。 3、已知6,25)( 2 abba，求代数式61863 22 babba的值。 知识决定命运百度提升自我 4、不解方程组，求 32 )3(2)3(7xy

9、yxy 的值。 5、利用因式分解说明 199819992000 310343能被 7 整除。 6、已知206 2 mxx可分解因式为)52)(43(xx，求 m 的值。 7、计算 20001999 ) 2 1 () 2 1 (的结果为（） A、 2000 ) 2 1 (B、 2000 ) 2 1 (C、 2 1 D、 2 1 8、分解因式 101102 )2()2(。 三、运用公式分解因式 （一） （ 1）平方差公式：)( 22 bababa 特点：左边：有二项；符号相反；两项均为完全平方项。 右边：左边平方项底数的和与差的积。 例、 2222 nmmnmnmn 22 111abaa ba b

10、b 2 2 221111 9333 4222 mnmnmnmn 13 62 yx yx 知识决定命运百度提升自我 （ 2）完全平方公式： 222 )(2bababa 特点： 左边： 有三项；有两项分别是两个数的完全平方，且符号相同；有一项是平方 项底数的积的2 倍。 右边： 是左边平方项底数的和或差的平方。 例、 4224 817216mm nn 222 2 22 222222 929449432323232mmnnmnmnmnmnmn 2222 4()12()9()ababab 222 22 4()12()9()2()3()223353ababababababababba 222222 ()

11、4242()ababaabbabaabbab 2 222 ()4(1)()4()4()2(2)abababababab 22 222224224224224222 ()4242()aba baa bba baa bbababab 2 22 22 22212111xxyyxyxyxyxyxy (二)其他方法，参考附页提高篇部分。 (三)练习： 22 164ba 44 nm 222 44ayxyx aabab2 2 3 1 3 2 a 22 )(16)(49nmnm 22 )()(dcbadcba 33 xyyx 知识决定命运百度提升自我 1)2(2)2( 222 xxxx 2 9124xx (四

12、)作业： 分解因式 22 2 2 1 mn 26 322xx 22 )2(9)2(4baba 22 2yxxy 22 )(4)(4)(dcdcbaba12 22 baba (五)习题 1、 已知 ABC 的三边 a、 b、 c 满足0 222 acbcabcba， 那么 ABC 是三 角形。 2、求方程 31yxxy 的整数解。 3、已知03 2 yxy，且yx,均为正整数，求代数式yx32的值。 知识决定命运百度提升自我 a b 4、已知 ab7，ab2，求 22 ba的值。 5、已知4 1 x x，求 2 2 1 x x， 2 ) 1 ( x x的值。 6、请你从下列各式中，任选两式作差，

13、并将得到的式子进行分解因式。 2 4a， 2 )(yx，1 ，9b 2 7、右图是四个形状，大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同 表示法，写出一个代数恒等式：。 8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “神秘数”。如： 22 024， 22 2412， 22 4620，因此 4,12,20 都是“神秘数” 。 28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？ 设两个连续偶数分别为2k 2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的神秘 数是 4 的倍数吗？为什么？ 两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 9、已知1yx，求

14、22 2 1 2 1 yxyx的值。 10、请观察下列等式： 知识决定命运百度提升自我 2 39211 2 331089221111 2 333222111111 , 根据前面各式的规律，请猜想111, 122,2 的值是多少？并说明你猜想的正确性。 11、在日常生活中，如取款、上网等都需要密码。有一种用“分解因式”法产生的密码，方 便记忆。原理是：如对于多项式 44 yx，分解因式的结果是)()( 22 yxyxyx，若 取9x，9y时，则各个因式的值是：0)(yx，)18(yx，162)( 22 yx， 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式 23 4xyx，取x=1

15、0，y=10 时，用上述方法产生的密码是：。 （写出一个即可） 12、已知，如图1，现在 bbaa, 的正方形纸片和ba的矩形纸片各若干块，试选用这 些纸片 （每种纸片至少用一次）在图 2 的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重 叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为 22 45baba， 并标出此矩形的长和宽。 13、若整式14 2 Qx，是完全平方式，请你写出一个满足条件的单项式Q 是。 a a a b b b 知识决定命运百度提升自我 14、计算： ? 22 999200320012002 ?) 10 1 1() 3 1 1)( 2 1 1( 222 ?

16、 nnn nnn 741482741 42842421 ? 1)12()12)(12)(12( 1642 15、当baybax,，求代数式 222222 )()(yxyx的值。 16、已知 2 25 3 yx，求代数式)3()182( 22 ayaxayax的值。 17、已知，yx ,都是自然数，且满足方程549 22 yx，求yx ,的值。 知识决定命运百度提升自我 18、试说明两个连续奇数的平方差是8 的倍数。 19、填空： 2 x +( ) 2 yxy （） 2 2 100 x ( ) 2 49 yxy （） 2 x369 2 ( )=（） 2 （）16 2 a（） 2 3 2.001.

17、0a（）=（） 2 22 4 1 yx( ) 4 z（） 2 20、 22 912xxyk 是一个完全平方式，那么k 应为（） A、2B、4C、2y 2 D、 4y 4 21、若16)3(2 2 xmx是完全平方式，则m 的值等于（） A、5B、3C、7D、7 或 1 22、分解因式，若 22 ) 2 1 ( 4 1 amaa，则 m 的值等于（） A、2B、2C、1D、1 23、若169 2 kxx是一个完全平方式，则k。 24、如果 22 8maba 是一个完全平方式，则m 的值是（） A、b 2 B、2b C、16b 2 D、4b 25、已知19991998,19981998,19971

18、998xcxbxa， 求cabcabcba 222 的值。 26、已知01364 22 baba，求 ab 的值。 27、若 ab1，ab 2，则 22 3baba。 知识决定命运百度提升自我 28、 已知 a、 b、 c 是 ABC 的三边的长，并且有 accabb22 22 成立， 则 ABC 是 （） A、等边三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、锐角三角形 29、已知 0222 222 bcaccba ，求 ab 的值。 30、若 44 2 aa 的值为 0，则 5123 2 aa 的值为（） A、 11B、11C、7D、7 31、计算： 20191832 222222 。 32、观察

19、下列各式：2111 2 ，3222 2 ，4333 2 ，, 请你猜想到的规律 用自然数n（n1）表示出来：。 33、请先观察下列算式，再填空：,1813 22 2835 22 7 2 528 （ ） ；9 2( ) 2=84； ( ) 29285； 13 2( ) 2 8（） 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：。 34、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解。 你编写的三项式是，分解因式的结果是 35、多项式19 2 x加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项 式可以是。 （填上一个你认为正确的即可） 36、如图1，在边长为a 的正方形挖掉一个边长

20、为b 的小正方形（ ab） ，把余下的部分剪 拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等 式是（） A、)( 22 bababaB、 222 2)(bababa C、 222 2)(bababaD、 22 2)(2(babababa 37、请你观察图，依据图形面积间的关系，不需添加辅助线，便可得到一 个你非常熟悉的公式，这个公式是。 38、若nmxx 2 是一个完全平方式，则m，n 的关系是。 39、如图， 边长为 a、b 的矩形， 它的周长为14，面积为 10，则 22 abba b a 图 1 a b 图 2 a b x x xy y y xy 知识决

21、定命运百度提升自我 的值为。 40、已知多项式 24 44xx 加上一个单项式后，所得的三项式是一个完全平方式，则这个单 项式是。 41、若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则代数式 22 )(bca的值（） A、一定是正数B、一定为负数C、可能为正数，也可能为负数D、可 能为 0 42、先分解因式，再求值： 22 12abb，其中 a 3，43b。 知识决定命运百度提升自我 提高部分： （二） 其他方法： 因式分解的四种常用方法分别是：提公因式法、 运用公式法、 分组分解法、 形如 x 2 +（ p+q）x+pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。 1、因式分解时要注意四种方法的

22、使用次序：先提公因式再运用公式再用十字相 乘法最后考虑分组分解法。 2、三项式 通常用 公式法或十字相乘法分解因式； 四项或四项以上的式子通常用 分组分 解法 。 3、因式分解一定要彻底，分解到各个因式都不能再分解为止。 4、因式分解最终结果一定要进行整理：如果有同类项，应当合并；如果在相同因式， 如： （x+y） （x+y） （x y）应当写成（ x+y） 2（x y） ；如果有中括号应当去掉中括号 , 总 之应当满足最简原则！ （ 1）十字相乘法：不能直接用完全完全平方公式分解的，形如x 2+（p+q）x+pq 的二次三项 式，可以考虑十字相乘法。（不熟悉这法的同学可以不看） 例 1、若

23、x 2+y24x6y+13=0，求 x+y 的值。 此题要用到拆项的思想 解： x 2+y24x6y+13 不熟悉这法的同学可以不看 =（x 24x + 4）+（y26y + 9） 将 13 拆成两项4、9 =（x2） 2+（y3）2 分别形成两个完全平方式 （ x2） 2+（y3）2 =0 03 02 y x 解得 3 2 y x x+y=2+3=5 例 2、分解因式：x 2+xy12y2 解：原式 =（x3y） （x+4y） 此题易错把结果写成（x3） （x+4） ，所以建议你在每一例的顶部写上此列所 代表的项中的字母 例 3、分解因式：x 2 6 1 x 6 1 解：原式 =（x 2 1

24、 ） （x+ 3 1 ） 此题的系数是分数，如果你不习惯分数形式的十字相乘，也可先提出此分 数，解题过程如下： 解：原式 = 6 1 （ 6x 2x1）= 6 1 （2x1） （3x+1） 例 4、分解因式： （x 24x）22（x24x） 15 解：原式 =（x 24x）+3 （x24x） 5 把（ x 24x）看成一个整体，整个式子看成一个二次三项式 =（x 24x+3） （x24x5） 因式分解一定要彻底，这两个式子可分别用十字相乘法分解 =（x1） （x3） （x+1） （x5） 1 1 -3 4 xy 1 3 - 1 2 1 1 x2 -4x 1 1 3 -5 知识决定命运百度提升自

25、我 （ 2）分组分解法： 分组分解法是综合性较强的一种方法，也是学生们不易掌握的一种方法。它有以下几种 情形： 、分组后直接提公因式，再进一步提取公因式 例 1 ：把 a 2ab+ac-bc 因式分解 解：原式（a 2 ab）+(ac-bc) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c) 、分组后直接运用公式法，此种方法又可分为三类 1、分组后直接运用公式法，再进一步提取公因式 例 2.：把 a 2-b2+a-b 因式分解 解：原式（a+b）(a-b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1) 2、分组后直接运用公式法，再进一步运用公式法 例 3：把 a 2-2ab+b2-c2 因式分解

26、 解：原式 (a 2 -2ab+b 2 ) -c2 =（a-b） 2-c2 =(a-b+c)(a-b-c) 3、分组后直接运用公式法，再进一步用十字相乘法 例 4：把 a 2-2ab+b2 a+b-2 因式分解 解：原式 (a 2 -2ab+b 2 )-(a-b) =（a-b） 2-(a-b)-2 =(a-b)+1(a-b)-2 =(a-b+1)(a-b-2) 、分组后直接运用十字相乘法，此种方法又可分为二类 1、分组后直接运用十字相乘法，再进一步提取公因式 例 5：把 a 2 -2ab-3b 2 +2a-6b 因式分解 解：原式 (a+b)(a-3b)+2(a-3b) =(a-3b) (a+

27、b)+2 =(a-3b)(a+b+2) 2、分组后直接运用十字相乘法，再进一步运用十字相乘法 例 6： 把 a 2-ab-2b2 +a+4b-2 因式分解 解：原式 (a+b)(a-2b)+2a-a+2b+2b-2 =(a+b)(a-2b)+2(a+b)-(a-2b)-2 =(a+b)-1 (a-2b)-2 =(a+b-1)(a-2b-2) 练习 1、填空题 ?_)_)(_(_22cabcab 知识决定命运百度提升自我 ? _)(_(22 22 yxxyyx ?分解因式：_21 22 baba ?若)3)(7( 2 xxBAxx，则 _A ， _B ?若2ba，4ca，则_)(32 22 cb

28、cbcb ?当012)1)( 2222 yxyx时，_ 22 yx ?将18772 22 yxyxyx分解因式，得 2、选择题 ?用分组分解法把1baab分解因式，不正确的分组方法有（）个。 )1()(baab)1()(abab)()1(baab)1(baab A、1 B、2 C、3 D、4 ?分解因式67 2 xx，等于（） A、)2)(3(xxB、)1)(6(xxC、)2)(3(xxD、)1)(6(xx ?若)3)(5(xx是二次三项式15 2 kxx的因式，那么k 的值是（） A、8 B、- 8 C、2 D、- 2 （4）无论 x、y 为任何实数，多项式824 22 yxyx的值总是（） A、正数B、负数C、0 D、不能确定 3、分解因式 (1) (x 25x)(x25x2)24 (2) x 3 x2yxy2y3； (3) 2x 3-13x2 +25x-14 知识决定命运百度提升自我