《新课程理念下的数列教学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课程理念下的数列教学.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、新课程理念下的数列教学 北京大学附属中学李勇成常青 数列是高中数学知识体系中的重要内容，更是高考的重要考点之一。数列知识是解决 大多实际问题的有用模型，数列问题是数学思想方法的良好载体。同时， 作为新课程的重要 组成部分， 数列对学生思维能力、运算能力、实践能力、 创新意识的培养具有极其重要的价 值，尤其对于“观察、猜测、抽象、概括、论证”这样一种发现问题和解决问题的途径的训 练具有不可替代的作用。 （1）数列在现实生活中的作用 引导学生学会从生活中发现问题，利用所学的知识加以解决是新课标的一项目标。数 列在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度配制、养老保险、污水净化、 环境绿化
2、等问题都和数列有着密切的联系. 在掌握数列的基本知识的基础上，如何把实际问 题和数列联系起来是解决问题的关键。 例如：小王最近购得新房一套，由于资金紧张，所以采取从银行贷款的方案，如果从 银行贷款万元，期限20 年，年利率为（复利计息），下面有两种还款方案，分别计算 总还款额为多少？ 方案一（等额还款）：购买后一年开始还款，每年还款一次，每次还款金额相同。 方案二（等本金还款）：购买后一年开始还款，每年还款一次，每次还款金额中所含 本金相同。 如果，如何评价这两种方案？ 银行信贷问题是经济生活领域中常见问题，从上诉例子中，可以看到等差数列、等比 数列以及等差、 等比数列求和问题的应用。如果我们
3、留意观察，会发现生活中出现的很多问 题都是离散型问题，而数列为离散型问题的研究提供了一种实现的途径。 （2）数列对于培养思维能力的作用 数列在培养学生的思维能力方面也具有不可替代的价值。“观察、 猜测、抽象、 概括、 论证”这种发现问题和研究问题的方法在数列学习中体现的淋漓尽致。很多数列问题都蕴涵 了这种思维模式。下面通过实例来进行说明。 例：设是集合可以表示成两个或两个以上的连续正整数的和中所有的数 从小到大排成的数列，此数列的前项和为。 （1）判断 7，10， 16 是不是数列中的项？说明理由。 （2）求； （3） 已知， 即： 15 有 3 种表示形式，25 有两种表示形式。试写出有3
4、种表示形式的最小的3 个数。 此外，数列问题中渗透递归的思想、极限思想，这些都是初等数学与高等数学重要的 衔接点， 在教学中适当的渗透对培养学生思维能力、做好初等数学与高等数学的衔接有积极 意义。 （3）数列是深化函数思想的载体 数列是定义在正整数集或其子集的一种函数，基于这一点，数列问题中表现出很多函 数知识的特征， 解决数列问题常常要用到函数思想方法，灵活运用函数思想对于优化思维方 法，简化解题过程有重要的作用。 首先，数列的定义的函数本质。 比如：数列求数列某一项就是已知自变量求函数值；已知数列的某一项值，求项数是 已知函数值求自变量。某些数列通项公式求解利用复合函数的思想，例如：求数列
5、 的第 2 项、第 4 项、第 8 项，, ，第项组成的新数列的通项公式： ，这个问题可能很多学生会觉得无从下手，一旦把它看成函数的问题， 就非常容易理解。 其次，数列性质体现函数的特点。 数列是函数，所以在性质上具有共同或相似的性质，但又因为数列是一种“特殊的” 函数，这种特殊性也决定了他们性质上不同的部分。 比如，在求数列的最小项时，我们利用二次函数来解决问题。数列的增 减性与函数的单调性明显相关，但不是等同， 这一点要特别注意。比如：数列 是递增数列，而函数在却不是增函数。 再如，研究数列的最大的项时，我们由 的符号讨论数列的增减性，与函数单调性的讨论如出一辙。 再次、特殊数列与特殊函数
6、的对应关系。 在数列学习中，对等差与等比数列的研究是这一章的主体内容，这些特殊数列与函数 的关系也值得我们思考和研究。 等差数列： 通项公式为一次函数，求和公式为常数项为0 的二次函数。 等差数列的公差是一次函数的平均变化率，也是一次 函数的导函数；等差数列的求和是一次函数与轴所围成的面积，也是一次函数的积分。 等差数列的单调性由公差d决定，与一次函数单调性由一次项系数决定刚好吻合。 等比数列： 通项公式，表达形式是常数乘以指数函数（或者是不为0 的常函数），因此，等比数列的性质与指数函数有一定的联系，这里不再一一列举。此外， 周期数列与函数的周期性等等很多特殊数列与函数之间都有对应关系。 总
7、之，函数思想是高中数学知识的一条主线，把握这一点可以帮助学生认知数列。能 够引导学生完善数学知识体系，明确知识之间的联系，让学生感受到数学体系的和谐美。 值得注意的是，我们在教学中，不应该把函数思想“灌输”给学生，而应该“渗透” 给学生。 比如，不要生拉硬拽的把“函数的本质”强加到数列的教学中，要随着学习的深入让 学生自然的理解和发现，在数列全章学完后，可以让学生自己做总结出来。 再如，等比数列的单调性以及等比数列与指数函数的关系，不必在新课时就让学生讨 论，也不用把所有的问题都在课上解决，可以提出问题，让学生思考，作为教师，我们要要 充分相信学生， 不要剥夺学生学习和发现的乐趣，给学生思考的
8、空间，才能激发他们学习的 兴趣，达到更好的教学效果。 （4）数列是培养计算能力的载体 数列这一章的教学， 计算是关键， 这一章几乎可以涉及到高中所有的计算方法和技巧。 比如：在等差数列中，,五个量，可以知三求二，已知通项公式求某 一项，是代数运算，已知某一项和通项公式，求项数，是方程的求解，类似地，数列问题中 可以涉及一次二次、指数、对数、根式等所有的代数运算和解方程。 等差数列中，知道任意两项，都可以用待定系数法求出数列的通项公式和前项和公 式。待定系数法是高中的运算重要技巧。 又如，数列问题中体现多种运算技巧，比如，等差数列中， 等等，通过思考，寻找技巧简化计算是计算问题中重要的思想，在这
9、些 数列问题中体现的非常突出。 数列中涉及累加、累乘、错位相减等多种计算方法，这些方法，提高了学生的思维能 力，让学生看到了数学的神奇。 （5）数列在高考试卷中的地位 数列的相关知识是高中数学新课程的重点之一，它包括数列的概念、等差数列、等比 数列以及数列的极限等内容。在近几年的高考试题中均有数列题目出现，学好这部分内容， 应系统、 全面地掌握好数列的基本知识，弄清数列和其它知识的联系。同时掌握数列所蕴含 的独特的解题方法和思维模式，也是学好数列所必不可少的。 高考试题链接： （2007 海南宁夏文科卷16）已知是等差数列 , 其中前 5 项的和 , 则其公差 . （2007 北京卷理15） 数列中，（是常数，） ， 且成公比不为的等比数列 （1）求的值； （2）求的通项公式 (2007山东理科卷17) 设数列满足, . （1）求数列的通项 ; （2）设, 求数列的前项和. 总的来说，数列在数学课程中占有极其重要的地位。如何通过数列的教学让学生体会 数学的奥秘，激发学生主动思考的意识，是我们数学教育者都应思考的问题。