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1、初中数学 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ 几何变换 一、辅助元素法 通过添设辅助元素（辅助线、辅助变量、辅助函数等）以使数学问题化或易于求解的 方法，叫做辅助元素法，它与待定系数法并列为数学题的两种最重要的方法。 前面讨论的换元法，就是常见的辅助元素法之一，它是通过设置辅助变量来求解代数、 三角函数问题的；在解题过程中，还经常用引入中间变量（或称参数），它们通常与消元法 结合运用，这里主要介绍其他几种添设辅助元素解题方法。 ( 一)添设辅助线 灵活而合理的添作辅助线, 以使问题获得简洁的解法, 是平面几何解题中的重要技巧, 通 常可以通过对问题的分析, 从已知条件与求证结认论之
2、间的联系出发去寻求合理的辅助线, 添作辅助线也是初中几何教学的重点与难点。 过几何图形中的一些特殊点，如： 1顶点； 2 中点；垂线（或高）；各种交点；平行线（平移）； 截长（截取）补短（延长）7圆心； 8切点； 9两圆相交的公共弦； 10旋转； 11对称。 , 下面我们再举一部分例题 例 1 已知， AD 是ABC的中线， AE是 ABD的中线，BABD，求证：2CAAE 例 2在ABC中 ,D 为 BC上的一点 ,(0) DC BD ,E 为 AD上一点 ,(0) AE b b ED , 连 B,E, 并延长交AC于 F, 求: EF BE (用 a ,b表示 ). 例 3已知在圆O上，顺
3、次有A，B，C，D，BMAC，垂足为 M ， 求证： AM=CD+CM （证明一条线段等于两条线段的和，可通过“延长”或“截取”，转化为证明两条线段相等） 例 4在ABC中， AP是A的平分线， D，E分别是 AB ，BC边上的点，且BD=CE ，又 G，H 分别 BC ，DE的中点。求证：HG/AP 例 5圆 O交圆于 A，B，PE为 圆 O直径， PA 的延长线交圆于 C，PB交圆于 D， CD 初中数学 的延长线交PE于 F。求证： CFPE （二）构造法 “构造” 是建设、 制作的意思，在数解题过程中，有许多问题在用一般的思路分析受阻， 用通常的方法解决有困难时，可在原有的条件和结论的
4、基础上进行引申，拓展、联想和类比， 在已知和未知间搭成一座桥梁，即通过学习构造一定的数学模型（或背景） 来完成解题这种 方法称为构造法。 现主要介绍构造几何图形、构造方程、构造函数三个问题 1. 构造几何图形。不仅是几何学, 就是代数问题, 三角问题都可以利用构造几何图形来解决。 例 6已知01,01ab， 求证： 22222222 21212212 2ababaabbabab 例 7 P 为正方形ABCD 内一点，,2 ,3 ,(0)PAk PBk PCk k， 求： （1）APB的度数；（2）正方形的边长； （3）求 PD的长。 2构造方程。通过作出问题中所涉及的元素的辅助方程，并利用方程
5、或方程组的理论以及 诸如判别式；韦达定理知识帮助解题，可以与“方程思想”及“判别式”联系。 例 8在正方形ABCD 中， N是 DC的中点， M是 AD上异于 D的点，且NMBMBC，求 tanABM的值。 3构造函数。从数学问题本身的特点出发，构造辅助函数，再利用函数的特征、性质等来 进求解， 对于有关方程、 不等式、 函数最大最小值等问题，均可构造函数来解决，可以与“方 程函数思想” 、 “解析法”相联系。 例 9在直角坐标中有四个点 ( 8,3), ( 4,5), (0, ),( ,0)ABCn D m ， 求 ：当四边形ABCD的周长最小时 m n 的值。 二、等积变换 几何学的产生，
6、 源于人们测量土地面积的需要，故有关面积计算，应用面积法证题是平 面几何中的一个重要内容，用不同的方法计算同一块面积得到一个面积等式，再对这个面积 等式进行整理或变换，所获得的证题方法称为等积变换，主要体现在面积法割补法，它们没 有本质区别。 （一）面积法 例 10 （三角形内角平分线性质）在ABC中， AD为BAC的平分线， 初中数学 求证： ABBD ACDC 例 11正三角形所在平面上有一点P，确定 P到三边的距离与正三角形高之间的关系。 （二）割补法 例 12将边长为1 的正方形 ABCD 绕 A点按逆时针方向旋转 0 60至 ABC D的位置， 求 两个正方形重叠部分的面积。 例 1
7、3在直角坐标系中，矩形OABC 顶点 B的坐标为（ 15，6） ，直线 yxb 恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求b 的值。 例14 已 知M 、 N是 直 角 三 角 形ABC 斜 边 上 的 三 等 分 点 ， 且 cos ,sin ,(CMCN为任意角) ，试求：斜边AB的长。 三、关于一题多解问题 在解题过程中，人们对解决问题的原则、方案、途径和方法存在着不同的思维形式，因此，对 一个数学命题要采用不同方法给予解答，一题多解问题主要体现在添加不同的辅助元素，然后应 用各个相关的知识点去解决。 例 15. 在 ABC中， 0 60 ,BCDAB于 D， AEBC于 E， 求证：
8、 1 2 DEAC 例 16. 已知 ABC中， AD是高， 0 45BAC ，BD=3 ，DC=2 ， 求 ABC的面积。 体验习题 如图所示， 0 45AOPBOP ，PC/ ； PDOA，若 PC=4，求 PD 已知在 ABC中，平分BAC，求证： 3已知实数，满足 22 1aab b ，且 22 tabab 求的取值范围 4已知，是四个不同的有理数且 ()()1,()()1ac adbc bd ， 求 ()()ac bc A BC xy M N 初中数学 5设，为整数，且方程 2 10axbx 的两个不同的正根都小于，求的最小值 6如图所示，点和三等分，点和三等分， 与，分别交于点，
9、求四边形的面积与ABC的面积比 7某同学把一个边长为的正方形剪成块，然后拼成一个矩形，如图 所示，你认为这样的方法正确吗？用一句话说明理由 8如图，求多边形的面积（自己测量长度） 9抛物线 2 (0)axbx c a经过（，） ，（，） ，（，） （）求函数解析式； （）为的中点，有一甲虫从点出发经过轴上某一点到抛物线对称轴上的某点 ，再到点，求甲虫爬行的最短时，求E，F 的坐标。 （3）在（ 1） 、 （2）的基础上，求出四边形AMEF 的周长。 10如图所示，已知正角形ABC内一点， PA=2 ， 2 3PB ，PC=4 ， 求： ABC的周长 11 如 图 所 示 ， 已 知 五 边 形ABCDE 中 ， AB=AE ， BC+DE=CD ， 0 120BAEBCD， 0 180ABCAED，连 AD ， 求证： AD平分CDE A B C P A B C D E A K H G F E D C B (1) (2) 5 5 (4) 5 3 3 (4) 5 5 (3) 5 (1) (2) (3) 5 3 3 5 3