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1、初中 数学 （第 3 题） 直角三角形与勾股定理 一、选择题 1、(2011 浙江杭州模拟14) 如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB上的点 E 处. 已知 AB=38, B=30, 则 DE的长是 ( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 答案： B 2. （2011 湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7， 面积为 6， 则斜边长为（） A. 5 B. C. 7 D. 答案： A 3 （ 2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90，以AD、AB、BC为斜 边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ， 且S1 +
2、S3 =4S2，则CD=（） A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案： B 4 （ 2011 年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为 6，则斜边长为（） A. 5 B. C. 7 D. 答案： A 二、填空题 1 、 （2011 年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形 的边长为5cm ，则正方形A 、B、C 、 D的面积和是 答案： 25cm 2 2 （ 2010 2011 学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测 试题 ）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：
3、5， 按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两 边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA， SB， 已知 SA+SB=13 ， 则纸片的面积是. B A C D 初中 数学 答案： 36 3、(2011 浙江杭州模拟15) 如图，将含 30角的直角三角尺ABC绕点 B顺时针旋转150后 得到 EBD ，连结 CD.若 AB=4cm. 则 BCD的面积为 答案： 2 3cm 4(2011 年宁夏银川 ) 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm， 则阴影部分的面积_cm 2 答案： 2 49 5.(2011 浙江省杭州市 8 模) 如图 1，是我国古代
4、著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全 等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外 延长一倍，得到图2 所示的“数学风车” ，则这个风车的外围周长是_； (第 5 题图 ) 答案 :76 6、 （ 2011 年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处 放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C处，已知 AB BD ， CD BD ， 且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米， PD=12米， 那么该古城墙的高度是米. 答案： 8 第 2 题图 SA SB 第 4题图 A C E D B
5、F 30 45 图 2 A B C 图 1 AB C A B P D C 第 6 题图 初中 数学 7、 （2011 年浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为3 米， B时又测得该树的 影长为 12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_米. 答案： 6 第 8 题图 8、 （2011 年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个 全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向 外延长一倍，得到图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_； 答案： 76 9. ( 浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模
6、拟试卷 ) 如图，将边 长为33的等边ABC折叠，折痕为DE，点B与点 F重合，EF 和DF分别交 AC 于点M、N，DF AB，垂足为D，AD 1 ，则重叠部 分的面积为. 答案： 39 3 44 + B组 1 （ 2011 年杭州三月月考）将一副三角板按如图1 位置摆放 , 使得两块三角板的直角边AC 和MD重合 . 已知AB=AC=8 cm,将MED绕点A(M) 逆时针旋转60 后( 图 2), 两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm 2 答案：31648 2 （ 2011 年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程 2 7120xx的两根恰好是一直角 三角形的两边长，则该直角三角形的面积
7、为。 答案： 6或7 2 3 3、 （ 2011 年浠水模拟2）如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全 （第 7 题） A时B时 图 2 A B C 图 1 AB C D N E F M C B A 图2 图1 A(M) E D C B E D C B A(M) (第 1题) 初中 数学 等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别 向 外 延 长 一 倍 ， 得 到 图2 所 示 的 “ 数 学 风 车 ” ， 则 这 个 风 车 的 外 围 周 长 是 _； 答案： 76 4. （2011 年杭州市模拟）侧棱长为15cm 的直三
8、棱柱的三个侧面面积分别为252 2 cm、 25 5 2 cm和 25 3 2 cm，则该棱柱上底面的面积为 2 cm 答案： 25 6 18 5. （2011 年海宁市盐官片一模）已知cba,是直角三角形的三条边，且cba，斜边上 的高为h，则下列说法中正确的是。 （只填序号） 222422 )1(hbahba； 22224 cbhcb； 由cba,可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是 2 2 b . 答案： 6 （2011 北京四中一模） 在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B两处之间的距离， 先从 A处出发与AB成 90方向，向前走了10 米到 C处，在 C处测得 ACB 6
9、0( 如图所 示) ，那么 A，B之间的距离约为米（计算结果精确到0.1 米) 答案： 17 7. （ 2011 深圳市中考模拟五） 等腰三角形的腰长为2， 腰上的高为1， 则它的底角等于 图 2 A B C 图 1 AB C 初中 数学 答案 : 15或 75 三、解答题 1、(2011 浙江杭州模拟14) 如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点M以每秒 1个单位 长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向 点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与折线A-C-B 的交点为Q点M运动的时
10、间为t（秒） （1）当0.5t时，求线段QM的长； （2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C 、P、Q为顶点的三角形为直角三角 形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤） ；若不可以，请说明理由 （3）若PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围； 答案： 来源 : 学* 科*网 Z*X*X*K 解： （1）由RtAQMRtCAD,2 分 来源 : 学, 科, 网 CD AD AM QM 即 4 0.52 QM ，1QM ,1 分 （2）1t或 5 3 或 4,3 分 （3）当 0t2 时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E 由（ 1）可得 CD AD AM
11、QM 即QM=2tQE=4-2t ,2 分 SPQC = 2 1 PCQE=tt2 2 ,1 分 即tty2 2 来源 : 学。科。网 初中 数学 当t 2时，过点C作CFAB交AB于点F，交PQ于点H. 4(2)6PADADPtt 由题意得， 4BFABAF CFBF 45CBF 6QMMBtQMPA 四边形AMQP为矩形 PQABCHPQ，HF=AP=6- t CH=AD=HF= t-2 ,1 分 SPQC = 2 1 PQCH=tt 2 2 1 ,1 分 即y=tt 2 2 1 综上所述)20(2 2 ttty或y=tt 2 2 1 ( 2BC ） ， ACB=90 0，CD AB ，D
12、为垂足， CM平分 ACB,且 BC 、 AC是方程 x 2-14x+48=0 的两个根，求 AD 、MD的长。 初中 数学 （2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设 a、b、c、d 都是正数，满足a： b=c：d, 且 a 最大。求证：a+db+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1） 答案： 解： （1）显然，方程x 2-14x+48=0 的两根为 6 和 8， 1分 又 ACBC AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10 ACD ABC ，得 AC 2= ADAB AD=6.4 -2分 CM平分 ACB AM ：MB=AC ：CB 解得， AM= 7 40
13、 - 1 分 MD=AD-AM= 35 24 -1分 （2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得AB CD=AC BC 2AB CD=2AC BC -1分 又勾股定理，得AB 2=AC2+BC2 AB 2+2AB CD =AC2+BC2+2AC BC(等式性质 ) AB 2+2AB CD =（AC+BC ）2-1 分 AB 2+2AB CD+CD2 （AC+BC ）2-2 分 (AB+CD) 2 （ AC+BC ）2 又 AB 、CD 、AC 、 BC均大于零 AB+CDAC+BC 即 a+db+c-1分 3. （2011 年北京四中中考全真模拟17 ）如图，
14、有两棵树，一棵高10 米，另一棵高4 米，两树 相距 8 米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ 初中 数学 1 、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和 （或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三 角形 ABC中， AB=AC,BD为腰 AC上的高。 (1) 若 BD=h ，M时直线 BC上的任意一点，M到 AB 、AC的距离分别为 12 hh，。 若 M在线段 BC上，请你结合图形证明： 12 h +h= h；图 当点 M在 BC的延长线 上时， 12 hh，h 之间的关系为 . （请直接写
15、出结论，不必证明） （2）如图，在平面直角坐标系中有两条直线 1 l：y = 3 4 x + 6 2 l：y = -3x+6 若 2 l上的一点M到 1 l的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。 （1 ）证明：连结AM ABCABMACM SSS , EM AB , MF AC, BDAC 1 2 AC.h = 1 2 AB. 1 h + 1 2 AC. 2 h 又 AB = AC h = 1 h + 2 h,2 分 1 h - 2 h = h ,3 分 （2）由题意可知，DE = DF =10,来源 :Z*xx*k.Com EDF是等腰三角形。 ,4 分 当点 M在线段 EF上时，依据
16、（ 1）中结论， h = EO=6 ， M到 DF（即 x 轴）的距离也为3. y x E D O F y x E D O F 初中 数学 点 M的纵坐标为3，此时可求得M(1,3) ,6 分 当点 M在射线 FE上时，依据（ 1）中结论 h = EO=6 ， M到 DF（即 x 轴）的距离也为9. 点 M的纵坐标为9，此时可求得M(-1,9) ,8 分 故点 M的坐标为 (1,3) 或(-1,9) 4、 （ 2011 年江苏盐都中考模拟） )2010(30tan212 解：原式 =13 3 4 （4 分） 5 （ 2011 年黄冈中考调研六）( 满分 14 分) 如图 ,以等边 OAB的边
17、OB所在直线为x轴, 点 O 为坐标原点 , 使点 A在第一象限建立平面直角坐标系，其中 OAB边长为 6 个单位， 点 P从 O 点出发沿折线OAB向 B点以 3 单位 / 秒的速度向B点运动 , 点 Q从 O点出发以2单位 /秒的速 度沿折线OBA向 A 点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒） ，当两点相遇时运动 停止。 点 A坐标为 _，P、Q两点相遇时交点的坐标为_; 当t=2 时，S OPQ_; 当t=3 时， OPQ S _; 设 OPQ 的面积为S，试求S关于t的函数关系式; 当 OPQ的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P、Q为顶点的三角形 是 Rt
18、，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。 答案 (1) A点坐标为 3,33、交点坐标为（ 27 3 (,3) 55 (2) 当 t=2 时，S OPQ 6 3；当 t=3 时，S OPQ 9 3 2 x y O A B x y O A B x y O A B 初中 数学 (3) 2 2 3 3(02) 2 3 36 3 (2) 2 15 327 3(3) 2 tt Sttt tt 3 18 5 (4) 对 （3） 中的分段函数进行计算后得知当 t=2 ， S有最大值， 此时 P与 A重合，OP=6 ，OQ=4 ， 过 P作 PC OB于 C点，计算得OC=3 ，AC=3 3，C
19、Q=1 ，PQ=2 7 如图，过P作 PM PQ交 y 轴于 M点，过 M作 MN AC于 N，则 MN=OC=3，易得 RtPMN QPC ，有 MNPN PCCQ 即 3 1 3 3 PN ，得 PN= 3 3 ，MO=NC= 8 3 3 故 M点坐标为 8 (0,3) 3 过 Q作 MQ PQ交 y 轴于 M点，通过 MOQ QCP ，求得 M坐标为 4 (0,3) 9 以 PQ为直径作 D， 则 D半径 r 为7， 再过 P作 PE y 轴于 E点， 过 D作 DFy 轴于 F 点，由梯形中位线求得 DF=7 2 ，显然 r DF，故 D与 y 同无交点， 那么此时在y 轴上无 M点使
20、得 MPQ 为直角三角形. 综上所述，满足要求的M点 8 (0,3) 3 或 4 (0,3) 9 6. (2011 浙江省杭州市 8 模) （本题满分8 分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造 了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空 心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆 子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒 下去。小灵画出剖面图， 进行细致研究： 圆弧的圆心为点O， 过点O的木杆CD长为 260 ,OA、 D D 初中 数学 OB为圆弧的半径长为90 （作为木
21、杆的支架） ， 且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为 30。 当木杆CD向右摆动使点B落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到 直线l的距离DF是多少？ （第 6 题） 解：由弧 AB的长可得，AO B60， 从而BO ECO B 30， （ 2分） O B90cm， O E360cm， （2 分） D E170+360 cm ， （2 分） D F180+ 385 cm （2 分） 7. （ 2011 广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m 的速度沿着仰角为60的方向上升，20 分钟后升到B处，这时 气球上的人发现在A的正西方向俯角为45的 C处有
22、一着火点， 求气球的升空点A与着火点 C的距离（结果保留根号）. 答案：过 B作 BD CA于 D，则 AB 600m ，AD 300m ，BDCD 3003m ，CA 300(3 1)m。 8. （2011 深圳市全真中考模拟一）ABC中， BC a，AC b，AB c若90C，如 图 l ，根据勾股定理，则 222 abc 。若 ABC不是直角三角形，如图2 和图 3，请你类比 勾股定理，试猜想 22 ab与 2 c的关系，并证明你的结论 B C A 东西 45 60 初中 数学 图 1 C B A 图2 C B A 图3 C B A 答案：解：若ABC是锐角三角形，则有 222 abc,
23、 (1分) 若 ABC是钝角三角形，C为钝角，则有 222 abc。 (2分) 当 ABC是锐角三角形时， b a c D A C B 证明：过点A作 ADBC，垂足为 D，设 CD为x，则有 BD ax, （3分） 根据勾股定理，得 22222 ()bxADcax 即 22222 2bxcaaxx。 222 2abcax,（5 分） 0,0ax， 20ax。 222 abc。 ,（6 分） 当 ABC是钝角三角形时， 初中 数学 c a b D A B C 证明：过 B作 BDAC ，交 AC的延长线于D。 设 CD为x，则有 222 BDax,（7 分） 根据勾股定理，得 2222 ()bxaxc 即 222 2abbxc。 ,（9 分） 0,0bx， 20bx， 222 abc。 , （10 分）