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1、初中数学 中考复习专题二次函数知识点归纳 二次函数知识点总结： 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体 实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 2 yax的性质： o o 结论： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 yaxc的性质： a的符号开口
2、方向顶点坐标对称轴性质 0a向上 00，y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时，y有最小值0 0a向下00，y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时，y有最大值0 初中数学 结论：上加下减。 总结： 3. 2 ya xh的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. 2 ya xhk的性质： a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上 0c，y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随 x的增大而减小；0x时，y有最小值c 0a向下0c，y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随 x的增大而增大；0x时，y有最大值c a的符号 开
3、口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0 初中数学 总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位 y=a (x-h)2+k
4、 y=a(x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 三、二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbxc的比较 请将 2 245yxx利用配方的形式配成顶点式。请将 2 yaxbxc配成 2 ya xhk。 总结： 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bac b hk aa ， a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上 hk，X=h xh时，y随
5、x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 初中数学 四、二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、 与y轴 的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 10x ，20x ，（若与 x轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称
6、轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 五、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y有最小 值 2 4 4 ac b a 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时，y随 x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 ac b a 六、二
7、次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数 ，0a） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数 ，0a） ； 3. 两根式： 12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与 x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式 的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线
8、开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 初中数学 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数 b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下， 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b时
9、，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 总结： 3. 常数项c 当 0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二
10、次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc关于y轴对
11、称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 初中数学 2 ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 4. 关于顶点对称 2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点mn，对称 2 ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形
12、状一定不会发生变化，因此a永远不变 求 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当 2 40bac时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二次 方程 2 00axbx
13、ca的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当 0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y； 2 当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符 号判断图象
14、的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的 一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 初中数学 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数； 下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： y= x2 2 y=2x 2 y=x 2 y=-2x 2 y= -x 2 y= - x2 2 0抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 初中数学 y=3(x+4) 2 y=3(x-2) 2 y=3x 2 y=-2(x+3) 2 y=-2(x-3) 2 y=-2x 2 y=2x 2-4 y=2x 2+2 y=2x 2 y=2(x-4) 2-3 y=2(x-4) 2 y=2x 2