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1、初中 数学 6.1 二次函数 教学目标 : 1. 探索并归纳二次函数的定义. 2.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学重点： 对二次函数概念的理解 教学难点： 由实际问题确定二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学过程：一、预习 （一） 情境创设1、一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半 径 r 之间的函数关系式是。 2、用 16m 长的篱笆围成长方形的园养小兔，园的面积y()与长方形的长x(m)之间的函 数关系式为。 3、要给一个边长为x (m) 的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240 元，踢
2、脚线价格为每米30 元，如果其它费用为1000 元，那么总费用y（元）与x（m）之 间的函数关系式是。 （二）归纳提高： 上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 一般地，我们称表示的函数为二次函数。其中 是自变量，函数。 一般地，二次函数cbxaxy 2 中自变量x 的取值范围是，你能 说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ 三、例题讲解 例 1、（ 1）当 k 为何值时，函数1)1( 2 kk xky为二次函数？ （2）m 取哪些值时，函数) 1()( 22 mmxxmmy是以 x 为自变量的二次函数？ 例 2、 写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
3、型的函数 正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系； 圆的面积y（cm 2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系； 某种储蓄的年利率是1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所 存年数 x 之间的函数关系； 菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm 2）与一对角线长 x（cm）之间的 函数关系 例 3、 如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135的两面墙，另外 两边是总长为30 米的铁栅栏（1）求梯形的面积y 与高 x 的表达式；（ 2）求 x 的取值 第 1 课时 初中 数学 范围 四、课堂小结（引导学生总结）形如cb
4、xaxy 2 的函数只有在0a的条件下才是二 次函数 五、课堂检测 1下列函数中，哪些是二次函数？ （1）0 2 xy（2） 2 )1()2)(2(xxxy （3） x xy 1 2 （4）32 2 xxy 2、一个长方形的长是宽的1.6 倍，这个长方形的面积S 与宽 x 之间函数关系式为 3、一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r 之间的函数关系式 4、用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间 的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围 4、 已知函数 7 2 )3( m xmy是二次函数，求m 的值 5、
5、已知二次函数 2 axy，当 x=3 时， y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值 6、已知正方形的面积为)( 2 cmy，周长为 x（cm） (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数 7、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的 部分做成一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积S（cm 2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积 7、 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形， 矩形的一边长2.5 m 求隧道截面的面积S（ m2）关于上
6、部半圆半径r（m）的函数关系式； 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积 （取 3.14， 结果精确到0.1 m 2） （第 6题） 初中 数学 6.1二次函数班级姓名成绩 1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中 a、 b、 c 为常数）， 当 a_时， 是二次函数； ?当 a_， b_时，是一次函数；当a_，b_，c_时，是正比例函数 2已知函数y=（m+2） x 2 mm是关于 x 的二次函数，则满足条件的 m 值为 _ 3化工厂在一月份生产某种产品200t ，三月份生产yt ，则 y 与月平均增长率x 的关系是 _ 4把函数y=（23x）（ 6x）化成 y=ax 2+bx+c （
7、a0）的形式 _ 5下列函数关系式中，二次函数的个数有（） （1）y=3x 2+2xz+5；（ 2）y=5+8xx2；（ 3）y=（ 3x+2）（ 4x 3） 12x2； （4）y=ax 2+bx+c； （5）y=mx 2+x；（ 6）y=bx2+1（ b0）;（7）y=x2+kx+20 A3 B4 C5 D6 6满足函数y=x 24x4 的点是 （ ）A （4，4）B （3，1）C （ 2，8）D（ 3 2 ， 17 4 ） 7若 y=（m3） 2 32mm x 是二次函数，求m 的值 8某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可售出100 件， ?现在他采 用提高售出价，
8、 减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1 元，其销售量就要减 少 10 件，如果他每天所赚利润为y 元，试求出y 与售出价x 之间的函数关系式 9、如图 2-1-1，正方形 ABCD 的边长为4，P 是 BC 边上一点， QPAP 交 DC 于 Q，如果 BP=x， ADQ 的面积为y，用含 x 的代数式表示y 10、书P8 1-5 第 1 课时 初中 数学 第 2 课时6.2 二次函数的图象与性质（1） 教学目标 :会用描点法画出二次函数 2 axy的图象，概括出图象的特点及函数的性质 教学重点： 会用描点法画出二次函数 2 axy的图象，掌握它的性质 教学难点： 渗透数型结合思想
9、教学过程：一、预习 1、我们已经知道，一次函数12xy，反比例函数 x y 3 的图象分别是、 ，那么二次函数 2 xy的图象是什么呢？ 2、用描点法画出二次函数 2 yx图像，并观察图像的特征。 （1）描点法画函数 2 xy的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ 列表 x,3 2 1 0 1 2 3 , Y=x 2 , 描点、连线 （2）观察函数 2 xy的图象，你能得出什么结论？ 练习：画出二次函数 2 yx图像，（在书上第10 页画）观察函数 2 xy的图象，你能得 出什么结论？ 二、例题精讲 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函
10、数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1） 2 2xy（ 2） 2 2xy 解列表 x ,-3 -2 -1 0 1 2 3 , 2 2xy, 2 2xy, 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线， 初中 数学 共同点 ：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点 不同点 ： 2 2xy的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向 右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升 2 2xy的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向 右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 回顾与反思在列表、 描点时， 要注意合理灵活地取值以及图
11、形的对称性，因为图象是抛物 线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 例 2已知 4 2 )2( kk xky是二次函数，且当0x时， y 随 x 的增大而增大 （1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴 例 3已知正方形周长为Ccm，面积为S cm 2 （1）求 S和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时， S4 cm2 分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时， 自变量 C 的取值应在取值范围内 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点（2）横轴、
12、纵轴字母应为题中的字母C、S， 不要习惯地写成x、y（ 3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分 三、课堂小结（引导学生总结）1、二次函数的图像为。 2、二次函数 2 yax（0a）的图像特点： 当a0 时， 当a0 时， 四、课堂检测1书 P10-11 第 1 题（ 1）、第 2 题（ 1）（在书上完成） 2（ 1）函数 2 3 2 xy的开口，对称轴是，顶点坐标是； （ 2）函数 2 4 1 xy的开口，对称轴是，顶点坐标是 3已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成 x 的函数，并画出图 初中 数学 第 2 课时 6.2 二次函数的图象与性质（1）班级姓名成绩 1、（
13、1）函数 2 3 2 xy的开口，对称轴是，顶点坐标是； （ 2）函数 2 4 1 xy的开口，对称轴是，顶点坐标是 2、点 A（2，-4）在函数y=-x 2 的图像上，点A 在该图像上的对称点的坐标是。 3、二次函数y= 2 2 1 x与 y=- 2 2 1 x的图像关于对称。 4、若点 A（ 1，a）B（b， 9）在函数y=x 2 的图像上，则a= ,b= . 5二次函数y=mx 2 2m 的图象有最高点，则m=_ 6、已知二次函数y=mx 2 26mm 中，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，则m=_ 7已知 a0 时，随着x 值的增大， y 值如何 变化？（4）当 x 取何值时，
14、 y 值最大？最大值是多少？ 10、已知二次函数y=ax 2 经过点 A（ 2，4） （1）求出这个函数关系式； （2）写出抛物线上纵坐标为4 的另一个点B 的坐标，并求出SAOB； （3）在抛物线上是否存在另一个点C，使得 ABC 的面积等于AOB 面积的一半？ 如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由 初中 数学 第 3 课时6.2 二次函数的图象与性质（2） 教学目标 : 会画出kaxy 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 教学重点： 通过画图得出二次函数性质 教学难点： 识图能力的培养 教学过程：一、预习 1、一次函数xy2与12xy的图象的关系吗？ 你能由此推
15、测二次函数 2 xy与1 2 xy的图象之间的关系吗？，那么 2 xy 与 2 2 xy 的图象之间又有何关系？ 二、例题精讲 例 1在同一直角坐标系中，画出函数 2 2xy与22 2 xy的图象 解列表 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2623 所示 回顾与反思当自变量x 取同一数值时， 这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象 上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索观察这两个函数， 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不 同？你能由此说出函数 2 2xy与22 2 xy的图象之间的关系吗？ 例 2在同一直角坐标系中，画出函数1 2 xy与1 2 xy的
16、图象，并说明，通过怎 样的平移，可以由抛物线1 2 xy得到抛物线1 2 xy 解列表 x ,-3 -2 -1 0 1 2 3 , 2 2xy, 22 2 xy , 初中 数学 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2624 所示 可以看出，抛物线1 2 xy是由抛物线1 2 xy向下平移两个单位得到的 回顾与反思抛物线1 2 xy和抛物线1 2 xy分别是由抛物线 2 xy向上、向下 平移一个单位得到的 探索如果要得到抛物线4 2 xy，应将抛物线1 2 xy作怎样的平移？ 例 3、一条抛物线的开口方向、对称轴与 2 2 1 xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点 （1，1），求这条抛物
17、线的函数关系式 三、课堂小结：抛物线kaxy 2 的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，k）. （1）当 k0 时，抛物线kaxy 2 是由抛物线y=ax 2 向上平移k 个单位得到的； （2）当 k0 时，抛物线kaxy 2 是由抛物线y=ax 2 向下平移 k 个单位得到的. 四、课堂检测1书 P14、 1、2 1 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 2 2 1 xy，2 2 12 xy，2 2 12 xy 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置 你能说出 抛物线kxy 2 2 1 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2抛物线9 4 1 2 xy的开口
18、，对称轴是，顶点坐标是，它可以 看作是由抛物线 2 4 1 xy向平移个单位得到的 3函数33 2 xy，当 x 时，函数值y 随 x 的增大而减小当x 时，函 数取得最值，最值 y= x ,-3 -2 -1 0 1 2 3 , 1 2 xy, 1 2 xy, 初中 数学 第 3 课时6.2二次函数的图象与性质（2）班级姓名 1、在平面直角坐标系中，将二次函数 2 2xy的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析 式为（）A 22 2 xyB22 2 xyC 2 )2(2 xyD 2 )2(2 xy 2抛物线y=4x 24 的开口向 ，当 x= 时， y 有最值， y= 3抛物线 y=20 1
19、2 x 2 可以看作抛物线y=_沿 y 轴向 _平移 _?个单位得到的 4抛物线y= 1 2 x 2 3 的图象开口 _，对称轴是_，顶点坐标为_， ?当 x=_ 时， y 有最 _值为 _ 5若二次函数y=ax 2+bx+a21（a 0）的图像如图 1 所示，则a 的值是 _ (1) (2) 6函数 y=ax 2a 与 y= a x （a0）在同一直角坐标系的图象可能是（） 7二次函数y=mx 2+m2 的图象的顶点在 y 轴的负半轴上， 且开口向上， 则 m 的取值范围 为（）Am2 Bm2 B.-11 5. 二次函数 y=1-6x-3x 2的顶点坐标和对称轴分 别是（） A. 顶点 (1
20、,4) 对称轴 x=1 B.顶点 (-1,4) 对称轴 x= -1 C.顶点 (1,4) 对称轴 x=4 D.顶点 (-1,4) 对称轴 x=4 6、抛物线y=ax 2+2x+c 的顶点是（ 1 3 ，1），则 a=_，c=_ 7二次函数xxy2 2 的对称轴是 8二次函数122 2 xxy的图象的顶点是，当 x 时， y 随 x 的增大而减小 9抛物线64 2 xaxy的顶点横坐标是-2，则a= 10抛物线cxaxy2 2 的顶点是)1, 3 1 (，则a，c. 11 将抛物线 2 3 2 1 2 xxy如何平移，可得到抛物线32 2 1 2 xxy？ 12试写出一个开口向上，对称轴为直线x
21、=2，且与y 轴的交点的坐标为（0，3）?的抛物 线的关系式为 _ 13、若抛物线y=(m-1)x 2+2mx+2m-1 的图象的最低点的纵坐标为零，则 m=_. 14已知抛物线 y=x 2+（m1）x 1 4 的顶点的横坐标是2，则 m的值是 _ 15、将抛物线 52 2 xxy 先向下平移 1个单位， 再向左平移 4个单位， 求平移后的抛物 线的函数关系式 初中 数学 第 7 课时6.2 二次函数的图象与性质（6） 教学目标 : 1。会通过配方求出二次函数)0( 2 acbxaxy的最大或最小值； 2在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质 求实际问题中的最大或
22、最小值 教学重点： 会通过配方求出二次函数)0( 2 acbxaxy的最大或最小值； 教学难点： 在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求 实际问题中的最大或最小值 教学过程：一、预习 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题： 某商店将每件进价为80 元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件 该 店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查， 发现这种商品单价每降 低 1 元，其销售量可增加约10 件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中， 设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函
23、数关系式为二次 函数，那么， 此问题可归结为：自变量 x 为何值时函 数 y 取得最大值？你能解决吗? 二、 探索新知 探求cbxaxy 2 二次函数对称轴，顶点坐标，及函数的最值。 小结 ：cbxaxy 2 二次函数对称轴 x= 顶点坐标（，） 若 a0, 则当 x= 时，函数有，y= 若 a0, 则当 x= 时，函数有，y= 三、 例题精讲 例 1：不配方，求下列二次函数的对称轴，顶点坐标，及函数的最值。 (1)y 3x 22x； (2)y x 22x (3)y 2x 28x8 (4)y 1 2x 24x3 例 2、通过配方，确定抛物线642 2 xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，求出它
24、 的最大值或最小值再描点画图 初中 数学 探索试一试，当25x35 时，求二次函数32 2 xxy的最大值或最小值 例 3已知抛物线9)2( 2 xaxy的顶点在坐标轴上，求a的值 例 4、 某产品每件成本是120 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表： x（元）130 150 165 y（件）70 50 35 若日销售量y是销售价 x的一次函数， 要获得最大销售利润， 每件产品的销售价定为多少元？ 此时每日销售利润是多少？ 四、课堂小结： 五、课堂检测： 1对于二次函数mxxy2 2 ，当 x= 时， y 有最小值 2已知二次函数bxay 2 ) 1(
25、有最小值 1，则 a与 b 之间的大小关系是（） Aab Ba=b Cab D不能确定 3、二次函数yax 24xa 的最大值是 3，则 a_ 4求下列函数的最大值或最小值（用公式） （1）xxy2 2 ；（2）122 2 xxy 5、由 配方，求下列函数的最大值或最小值 （1）532 2 xxy；（2）43 2 xxy 6已知二次函数mxxy6 2 的最小值为1，求 m 的值， 初中 数学 第 7 课时6.2二次函数的图象与性质（6）班级姓名 1、 cbxaxy 2 抛物线 （1）顶点坐标（，）（ 2）对称轴： （3）a 0 时，开口，当时，函数有最值为。当 时，函数值随着自变量的增大而增大
26、；当时，函数值随着自变量的增大而减小。a 0 时，开口，当时，函数有最值为。 当时， 函数值随着自变量的增大而增大；当时，函数值随着自变量的增大而减小。 2、求抛物线与x 轴的交点坐标，与y 轴的交点坐标，开口方向、对称轴、顶点坐标. 最大 值或最小值：（1） xxy42 2 （2）642 2 xxy （3）y=26 2 xx（4）1 3 4 3 1 2 xxy 3、当0a时，求抛物线 22 212aaxxy的顶点所在的象限 4. 已知抛物线hxxy4 2 的顶点 A 在直线14xy上，求抛物线的顶点坐标 5、如图2628，在 RtABC 中， C=90， BC=4，AC=8 ，点 D 在斜边
27、 AB 上，分别作DE AC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边 形 DECF，设 DE=x ，DF=y （1）用含 y 的代数式表示AE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S，求 S与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值 6、某商场试销一种成本为60 元/ 件的 T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不 得高 40% ，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元 / 件）符合一次函数bkxy， 且70x时，50y；80x时，40y；（ 1）求出一次函数bkxy的解析式； （2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为 多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？