珍藏初中数学竞赛中最值问题求法应用举例.pdf

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1、初中 数学 初中数学竞赛辅导专题（三） 初中数学竞赛中最值问题求法应用举例 最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、 任何一年的竞 考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）根据非负数的性质求最值。 1、若 M =（Xa） 2 +b ，则当 Xa = 0 时 M有最小值 b 。 2、若 M = （Xa） 2 + b , 则当 Xa = 0 时 M有最大值 b 。 3、用（ ab） 20 ，a0, a0 的方法解题。 【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】 例题（ 1） 、若实数 a ，b ，c 满足 a 2 + b 2 + c 2 =

2、9，则代数式（a b ） 2 + （b c） 2 +（c a ） 2 的最大值是（） A27 B、 18 C、15 D、 12 解：(ab) 2+(bc)2+(ca)2= 2(a2+b2+c2)2ab2bc2ca = 3(a2+b2+c2) a 2b2c22ab2bc2ca = 3(a2+b2+c2) (a2+b2+c22ab2bc2ca) =3(a 2+b2+c2) (a+b+c)2 = 27 (a+b+c) 2 27 . a 2+b2+c2 = 9 , a,b,c 不全为 0 。当且仅当 a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。 【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(

3、a 2b2c2) 后用完全平 方式。 】 例题（2） 、如果对于不小于 8 的自然数 N ，当 3N+1是一个完全平方数时， N + 1 都能表示成 K个完全平方数的和，那么K的最小值是（） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 解：设 3N+1 是完全平方数，设 3N+1 = X 2 （N 8 ） ，则 3 不能整 除 X，所以 X可以表示成 3P1 的形式。3N 1=（3P1） 2= 9P26P+1=3X2 2X+1=X 2+X2+（X1）2。即 3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以 K的最小值为 3 。选 C 。 【说明，本例的关键是如何把3X 2拆成 X2X2X2，然后配方求解

4、。】 例题（ 3） 、设 a、b 为实数，那么 a 2abb2a2b 的最小值是 。 解：a 2abb2a2b = a2(b 1)ab22b = a2(b1)a( 2 1b ) 2 4 3 b 2 2 3 b 4 1 =(a 2 1b ) 2 4 3 (b 1) 2 1 1 。只有当a 2 1b = 0 且 b1= 0 时，即 a=0，b=1时取等号。 所以原式的最小值是 1。 【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】 例题（ 4） 、已知实数 a、b 满足 a 2abb2=1 ，则 a2abb2 的最小值和最大 值的和是。 解：设 a 2abb2 = K, 与 a2abb

5、2 =1 联立方程组 , 解得： a2b2 = 2 1 (1 K),ab = 2 1 (1K)。 (ab) 20, a2b22ab= 2 1 (1K)2 2 1 (1K)0, K3 . 初中 数学 (a b) 20, a 2b22ab = 2 1 (1K)2 2 1 (1K)0, K 3 1 . 得 3 1 K3 。 所以 a 2abb2 的最小值是 3 1 ，最大值是 3 ，这两个 值的和是 3 3 1 。 【本题的关键在于直接运用（ab） 20 】 例题 5、若 a、b 满足 3a5b= 7 ，则 S = 2a3b的最大值为 -，最小值为-。 解：联立 3a5|b| = 7和 S = 2a

6、3|b| 两式，解得 19a= 215S， 19|b|=14 3S 。 19a0, 215S0,S 5 21 。 19b0, 143S0 , S 3 14 , 得 5 21 S 3 14 。所以 S的最大值为 3 14 ， 最小值为 5 21 。 【说明：这里直接运用了a0 和b0 】 （二） 、直接运用 a 2b2 2ab ( ab 2ab ) 性质求最值。 例题（ 6） 、若 X 0 ，则函数 Y = 3 X 3 1 X 2 1 X X的最小值。 解：原式 = 3 X 3 1 X 2 ) 1 ( X X = 3 X 3 1 X X X 1 2 3 3 1 X X2 X X 1 = 2 2

7、= 4 。所以原式的最小值是 4 。 【说明：这个公式的来源是由(ab) 20 直接推出的。】 例题（ 7） 、已知 a 、b、c、d 均为实数，且abcd = 4 ，a 2b2c2 d 2 = 3 16 ，求 a 的最小值与最大值。 解 ： a b c d = 4 , b c d = 4- a , (b cd) 2 = b2c2d22bc2cd2bd b2c2d2(b2c2) (c 2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2) b c d = 4 a, (b c d) 2 = (4 a) 2 . a 2b2c2d2 = 3 16 , b 2c2d2 = 3 16 a 2 。 （4a）

8、2 3( 3 16 a 2) , 化简得 a(a 2) 0 ,解得 0 a 2 。 a 的最小值是 0 ，a 的最大值是 2 。 初中 数学 【说明，本例的关键是划线部份的变换逆用了a 2b22ab, 从而达到了把 (bcd)以及 b 2c2d2 都用 a 替换的目的。】 （三） 、用一元二次方程根的判别式=b 24ac（结合韦达定理）求最值。 例题（ 8） 、已知实数 a、b、c 满足 abc = 2 ，abc = 4 ，1 求 a、b、 c 中最大者的最小值；2 求a b c的最小值。 解：1 ，设 a 为最大者，则由题意得 b c=2a,bc= a 4 , 由韦达定理得 b、 c 是关于

9、 X 的二次方程 X 2(2a)X a 4 =0 的两个实数根。 =（2a） 2 41 a 4 0 , 展开后整理并分解因式得 (a 24)(a 4)4 , a 4。所 以最大数 a 的最小值是 4 。 【即当 b=c=-1 时 a 取最小值。划线部份转化为二次方程根与系数关系是关 键。另外设 a、b、c 哪个最大是等价的。】 2 、由 1 知最大数 a 的最小值为 4，所以 a、b、c 不可能全为正，那么只 可能是两负一正，若a 为正，则 b、c 均为负， a b c= a bc = 2a 20 , a4, a b c6 . a+ b c的最小值是 6 。 例题（ 9） 、求函数 Y = 1

10、 2 1 563 2 2 XX XX 的最小值。 解：原式可化为（ 2 1 X 2X1）Y =3X26X5 ，整理得（ 6Y）X2（12 2Y）X（102Y）=0，因为 X的取值范围是全体实数，所以关于X的二 次方程有实数根， = （122Y） 24（6Y） （102Y）= 4Y240Y 96 0 。 即 Y 210Y24 0 ， 由 （Y4） （Y6） 0 得 4 Y 6 。 所以 Y的最小值为 4 。 【说明：本题也可以用以下的方法来做。 Y= 22 10126 2 2 XX XX = 22 2)22(6 2 2 XX XX = 6 1) 1( 2 2 X ，当（X 2+1）1 最 小时，

11、 1) 1( 2 2 X 最大，从而得 Y最小值是 4 。 】 例题（10） 、如图（1-1） ，在ABC中，D、E分别是 BC 、AB上的点，且 1= 2=3 ，如果ABC 、EBD 、ADC 的周长依次为 m,m1,m2, 求证： m mm 21 初中 数学 的最小值是 4 5 。 证 明 ： 由 1= 2 ， C是 公 共 角 ， 得 ABC DAC， j 图（1-1） 3 2 1 BC A D E m m 1 = b DC = a b ， DC= a b 2 ， 2=3 得 DE AC ， BDE BCA ， m m2 = b DE = a BD ，而 a BD = a DCa = 2

12、 22 a ba = 1（ a b ） 2 。令 K= m mm 21 则 K = a b 1( a b ) 2, 即( a b ) 2 a b K1= 0， a 、b 为实数， = （1） 24（K1） 0 ，得 K 4 。 m mm 21 的最小值为 4 。 例题（11）已知矩形 A的边长分别为 a、b，如果总有另一矩形B，使得矩形 B 与矩形 A的周长之比和面积之比都等于K。 试问 K是否存在最小值， 若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由。 解： K存在最小值。设矩形 B的边长分别为 m 、 n ， 根据题意得： )(2 )(2 ba nm =K， ab mn =K，m n =

13、K(a b),mn = Kab ；则 m 、n 是关于 X的方程 X 2K(a b)XKab = 0的两个根。必须满足=K 2（m+n ）4Kmn 0 , K0, K 2 )( 4 nm mn 。K的最小值是 2 )( 4 nm mn 。 【说明：二次方程根的判别式往往和韦达定理结合在一起应用】 （四） 、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。 例题（ 12）已知 0a4, 那么 a-23a的最大值等于（） A 1 B. 5 C. 8 D. 3 解： 根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。根据绝对值的几何意义， a=2 ,a=3 是两个零点，结合0a4 分成 0a2,2e 时，原式

14、 =2dae，当 d=9,a=1,e=0 时，原式的最大值为 17 。所以原式的最大值为17 。 例题（ 14） 、1 ，求代数式 X1 X2 X3, X2003 的最小值。2 ，求代数式 X1 X2 X-3, X-2004的 最小值。 解：1 ，本题用分段讨论法肯定是不恰当的，也太麻烦了。应该用绝对值 的几何意义来解比较妥当。 因为 X1的意义是： 在数轴上表示实数X的点 到表示 1 的点的距离。所以只有当X在表示点 1、2、3、, 、 2003 的正中位置 时，即当 X=1002时，X1X2 X3, X2003的值 最小，即原式最小值为10011000999, 21012, 999 100

15、01001 = 2 （123, 1001）= 1003002。2 ，因为 1、2、3、, 、 2003、2004 的正中位置在数 1002 和 1003 之间，所以当 X 在 1002X1003 范围内取任意一点值时， 原式都能取到最小值。 当 X=1002或 X=1003时原式的 值最小。现用 X=1002计算，原式的最小值为10011000999, 210 12, 100010011002 = 2（12, 1001）1002 = 1004004 。 【说明：对于求 Xa1Xa2 Xa3 Xan型代数式的最小 值，有如下结论可以应用：当an是奇数时，在 X= 2 1 n a 时，代数式的值最

16、小； 当 an是偶数时，在 2 n a X 2 2 n a 时代数式的值最小。】 （五） 、用二次函数图象性质求最值。 例题（ 15） 、若 y1, 且 2xy = 1. 则 2x 216x3y2 的最小值是。 解： y1, 1y1, 由 2xy=1 得 y=12x，即 112x1, 0x1. 又y=12x, y 2=4x24x1, 2x216x3y2 = 14x 24x3 = 14(x 7 1 ) 2 49 133. 0x1, 而二次函数的图像对称轴是直线x= 7 1 ，在对称轴的 右侧， y 随 x 增大而增大，当x=0 时，原代数式的最小值是3 。 （当 x=1 时有最大值 21。 初中

17、 数学 例题（ 16） 、设 m是不小于 1 的实数，使得关于X 的方程 X 22(m2)Xm2 3m 3 = 0 有两个不相等的实数根X1，X2。求 1 2 1 1X mX 2 2 2 1X mX 的最大值。 解：原方程有两个不相等的实数根， 0，解得 m 0 ,且acb4 2 = b 22ac , 求 b24ac 的最 小值。 【把已知条件两边平方后得ac = b 1, 代入 b 24ac 就能求得最小值 4。 】 2、已知在直角坐标系中有三点A（0，1） 、B（1，3） 、C（2，6） ，直线Y=aX b 上横坐标为 0、1、2 的三点为 D、E、F，试求 a、b 的值，使 DA 2EB

18、2 FC 2 取得最小值。 【把 D 、E、F 三点的纵坐标用含a、b 的代数式表示，然后把DA 2EB2FC2 用含 a、b 的二次式表示，配方后求出最小值。当a=5/2,b=5/6, 最小什为 1/6 。 】 3、设 X1，X2是关于 X 的方程 X 2aXa = 2 的两个实数根，则（ X 12X2） （X2 2X1）的最大值为。 4、求函数 Y=X 4X21 的最小值。 【Y=（X 21）2 4 3 ，当 X=0时 Y最小值是 1。 】 5、四边形 ABCD 的面积为 32，AB 、CD 、AC的长都是整数，且它们的和为16， 1 这样的四边形有几个？ 2 这样的四边形边长的平方和的最

19、小值是多 少？ 【先由 AB=a 、CD=b 、AC=m都是正整数 , 且四边形 ABCD面积=三角形 ABC 面积三角形ACD面积=1/2aha1/2bhb1/2(a b)m , 当且仅当ha=hb=m 时等号成立，这时 AB CD ，即四边形 ABCD 为平行四边形或梯形，且AC是 高。又从（ ab）m 32,a bm=16 得满足条件的四种情况。 】 6、设实数 a,b 满足 a 2bc8a7=0 b 2c2bc6a6=0， 则 a 的最大值与最小值的和 是_。 【先由原方程组求出b 2c2,bc 用 a 表示的代数式，再由 (b c)20 解不 等式 a 210a90 求得 1a9,

20、所以 a 的最大值为 9，最小值为 1。 】 7、如果 a,b,c 是实数，且满足关系式b 2c2=2a216a14与 bc=a24a5， 那么 a 的最大值与最小值的和是 _ . 【用(b-c) 20】 8、若 M= （X1） （X+2） （X+3） （X+4）+50，则 M的最小值是 _ . 9、若 M=4X 2-12XY+10Y2+4Y+9 ，则当 X=_Y=_ 时 M的值最小， M的最小 值为_。 10、正实数 X、Y、Z 满足 XY+YZ=10 ，则 X 25Y24Z2 的最小值是 _。 【由 XY+YZ=10 得 4XY+4YZ=40 ，则 X 25Y24Z2=（X-2Y）2（Y-

21、2Z）2 40，当 X=2Y且 Y=2Z时原代数式有最小值40。 】 11、实数 P、Q 、R满足 P+Q+R=5 ，PQ+QR+RP=3，则 R的最大值是 _。 初中 数学 【令 P=（5-R）/2 d，Q= （5-R）/2 d，代入 PQ+QR+RP=3得 3R 210R 13=-4d 2， 解不等式 3R2-10R-130 得 R的最大值是 13/3 。 也可用法解。】 12、若 X为正实数，求 Y=X 2X X 1 的最小值。 【Y=（X-1） 2+（ X- X 1 ） 21，当 X=1时 Y有最小值 1。 】 13、已知 xy=1, 那么代数式 4 1 x 4 4 1 y 的最小值是

22、 _ 。 14、若 x0,则函数 y= 3 x 3 1 x 2 1 x x的最小值是 _ 。 15、若 x0, 则 y= x xxx 442 11 的最大值是 _ 。 【y= 442 11 1 xxx x = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x 32】 16、已知函数 y=x 2(a-1)x+2a2-2a-100, 且存在实数 x，使得 y0, 则满足条 件的最大整数 a 的值是 _ 。 【 0】 17、若 x 为实数，求函数 y= 1 7525 2 x xx 的最小值。 【用根的判别式，66。 】 18、求函数 y= 1 433 2 2 xx xx 的最大值。 【13/3】

23、19、已知实数 a,b,c 满足 abc=0,abc=8, 且 c0, 则 c 的最小值是 _。 【用韦达定理和根的判别式，2 3 4】 20、已知 x,y,z是实数，并且满足x+y+z=0,xyz=2, 则 z 的最小值是 _ , x y z最小值是 _ 。 【用法，结果为2、4】 21、在四边形 ABCD 中，AD=DC=1 ，DAB= DCB=90 0，BC ，AD的延长线交于 P， 求 AB SABP的最小值。 【设 PD=x,得 AB SABP= ) 1(2 ) 1( 2 x x =y, 用法求得最小值是2-3。 】 初中 数学 22、已知 3 12x 1x 2 35x , 求 x-

24、1 - x3最大值和最小值。 【4， -36/11 。 】 23、设 x 为实数，y=x2 x-4 , 求 y 取最小值时的所有实数x 。 【-2 x4 。 】 24、已知 y=x-1 - 2x x2，且 -2x1，则 y 的最大值与最小 值的和是（） A0 B. 2 C. 4 D. 5 【选 B】 25 、m-2m-4 m-6 m-8最小值是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【选 B】 26 、设 a 为实数，若二次函数y=x 2-4ax5a23a 的最小值为 m ，当 a 满足 0 a 2-4a-2 10 时，求 m的最大值 。 【由 0a 2-4a-2 10 得 2+ 6a

25、6 或-2 a2-6, 求得 m的最大值为 18。 】 27 、设 P是实数，二次函数 y=x 22Px-P 的图像与 X轴有两个不同交点 A（x1， 0） 、 （x2,0 ）, 若 A、B 两点之间的距离不超过 2P-3，求 P 的最大值。 【9/16】 28 、印刷一张矩形广告，它的印刷部份的面积是32dm 2, 上、下各空白 1dm,两 边各空白 05dm ， 设印刷部份从上到下的长度是xdm,四周空白处的面积为 Sdm 2, 要使四周空白处的面积最小，这张矩形广告纸的长和宽各是多少？ 【用法或 x1/x 2 x x 1 , 长是 9dm ，宽是 6dm.】 29 、在平面直角坐标系中，

26、二次函数图象的顶点坐标为（4，-3） ，且在X 轴上截得的线段AB长为 6，请在 Y 轴上求一点 P， （不写作法）使 PA+PB 的值最小，并求 P点坐标。 【轴对称法， 27】 30 、平面直角坐标系中，有点P（-1，-2）和 Q （4，2） ，取点 R （1，m ）, 求 当 m为何值时， PR+QR 有最小值。 【因为点 P、Q在直线 x=1 的两侧，所以只要求出过点P、Q的直线方程， 然后求直线 PQ直线 x=1的交点坐标。m=-2/5】 31 、若 a,c,d是整数，b 是正整数，且满足 a+b=c,b+c=d,c+d=a. 那么 a+b+c+d 初中 数学 的最大值为（） A.

27、1 B. 5 C. 0 D. 1 【选 B】 32 、已知 x 2+xy+y2=2,求 x2-xy+y2 的最大值和最小值。【6，1/3 】 33 、已知 a,b 是正数，抛物线 y=x 2ax2b 与 y=x22bxa 都与 x 轴有公共 点，则 a 2b2 的最小值是 _ 。 【当 a=4，b=2时，最小值为 20。 】 34 、 已知 x,y,z是三个非负有理数，且满足 3x+2y+z=5,x+y+z=2, 设 S=2x+y-z, 求 S的最大和最小值。 【 把 y、z 用 x 表示，然后确定x 的取值范围，就可通过解不等式组求S 的最值。 】 35 、在ABC 中， ACB，且 2B=

28、5A。求 B的最大和最小值。 【75 0，1000】 36 、圆周上依次相连排列着十个圆，要将1，2，3，, ， 10 这十个数分别填 入十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某个整数 M ，求 M的最小值并完成你的填图。 【根据题意建立不等式组，确定M 275，M的最小值为 28，填法有多种： 如 10，7，6，3，2，9，8，5，4，1 就是一种。】 37 、如图，ABC的边 AB=2 ，AC=3 ，分别表示以AB 、BC 、AC为边的正 方形，则图中阴影部分面积和的最大值是_ 。 j 3 2 图（ 5-1）（3） （ 2） （1） A B C j 3 2 图（ 5-2）

29、（3） （2） （1） D A E B C F 【把三角形 ECD 绕点 C顺时针旋转 90 0， 得三角形 ECF ， 点 C为 FA的中点， BCF的面积 =ABC的面积，即ECF的面积 =ABC 的面积，所以阴影部 分面积和 =3ABC 的面积。而ABC的面积 1/2ACAB ，只有当 BAC=90 0 时等号成立。面积和的最大值为9。 】 初中 数学 38 、ABC中，BC=a ，AC=b ，以 AB为边向 ABC外作等边 ABD ，问当 ACB 为多少度时， C、D两点的距离最大？最大值是多少？若以AB为边向外作 正方形 ABDE ，问当 ACB为多少度时，点 C到正方形 ABDE

30、的中心 O的距 离最大？最大值是多少？ 图（6-1） A B C D E k j 图（6-2） O E A BC D F 【如图 6-1，把 DBC绕点 D逆时针旋转 60 0，点 B与 A重合，得 DAE DBC ，且DEC是等边三角形，当C 、A、E三点共线时， CD的值最大。 此时 ACB=120 0，CD的最大值是 ab. 在图 6-2 中，同理可得当 ACB=900 时，CO 的最大距离为2（ab） 。】 39 、将形状为等腰三角形的铁片改制成有一个内角为45 0 的平行四边形，问怎 样做才能使材料的利用率最高？（接缝处材料损失不计） 【取 AC 、BC中点 D、E，连结 DE ，把

31、CDE 绕点 E逆时针旋转 180 0，得 EBF ，则EBF ECD ，这时四边形 ADFB 是平行四边形。 它的面积就等于 ABC 的面积，材料利用率最高。 】 40 、代数式 rvz-rwy-suz+swx+tuy-tvx中，r 、s、t 、u、v、w、x、y、z 可以 取 1 或者-1。 （1）证明代数式的值为偶数；（2）求这个代数式所能取到的 最大值。 【 1 中六项的值均为 1 或-1，且个数同奇同偶， 所以和必为偶数； 2 六 式相乘积为 - （rstuvwxyz ） 2=-1, 所以这六项中至少有一项为 -1，这六项 的和最多是 5-1=4，取 u、x、y 为-1，其它字母为

32、1，原式的最大值为4. 】 41 、 设a、 b、 c 是互不相同的自然数，ab 2c3=1350， 则 abc的最大值是 _。 【 1350=23 352=（233）5213=（252）1233=（2352） 3 213，所以有四解。】 42、求能使 n 3100被 n10整除的最大整数 n 的值。 【 10 100 3 n n = 10 90010 33 n n = n 2-10n100 10 900 n ,n 的最大值为 890。 】 初中 数学 43 、一个正整数除以 5、7、9、11 的余数依次为 1、2、3、4，求满足上述条 件的最小正整数。 【设这个数为 P，则 P-1 能是 5

33、 的倍数， P-2 是 7 的倍数， P-3 是 9 的倍 数，P-4 是 11 的倍数，且 5、7、9、11、互质， 5、7、9、11 的最小公倍 数是 1731， 】 44、已知 x,y,z为自然数，且 xx(已知 yx),2000+x 1(z 是自然数 ) ， 所以 1x9995, 所以 x=999， x yz 的最大值是 4998。 】 45、设正整数 a、b、c、d 满足条件 a/b=b/c=c/d=5/8,则 a+b+c+d的最小值 是_。 【因为 a=5/8b, 所以 8b；同理 d=8/5c=64/25b,25b；所以 200b, 当 b=200时,a bcd=1157是最小值。】 46、已知 x+y+z=1,且 0x1,0 y1,2y+z 2 3 , 求 M=2x+5y+4z的最大值 和最小值。 【由 x+y+z=1,z=1-x-y,M=-2x+y+4,y=2x+M-4 ；又由 0x1，0y1， yx+ 2 1 ，得 x、y 只能在如图（ 7）所示的阴影区域内变化，而M 4 为直 线在 y 轴上截距，随着M的变动，形成了一系列平行直线，M-4在 0 到 1 之间变化，所以 4M 5，M的最小值是 4，最大值是 5。 】 X Y 图（ 7） y=2x+M-4 y=x+1/2 y=1 x=1 1 o 1 1/2 1/2 西塘中学杨孝华 2004、12、3