珍藏点共线、线共点.pdf

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1、初中 数学 第三讲点共线、线共点 在本小节中包括点共线、 线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理 的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是： 通过邻补角关系证明三点共线； 证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点 共线。 例 1 如图，设线段 AB 的中点为 C， 以 AC和 CB 为对角线作平行四边形AECD， BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证： H，C，K 三点共线。 证连 AK，DG，HB。 由题意， ADECKG，知四边形 AKGD 是平行四边形，于是 AKDG。同样可证 AKHB。四边形 AHBK 是平

2、行四边形，其对 角线 AB，KH 互相平分。 而 C是 AB 中点，线 段 KH 过 C 点，故 K，C，H三点共线。 例 2如图所示，菱形 ABCD 中，A=120，O 为ABC 外接圆， M 为其上 一点，连接 MC 交 AB 于 E，AM 交 CB 延长线于 F。求证： D，E，F 三 点共线。 证如图，连 AC，DF，DE。 因为 M 在O 上， 则AMC=60=ABC=ACB， 有AMCACF，得 CD CF CA CF MA MC 。 又因为 AMC=BAC，所以 AMCEAC，得 AE AD AE AC MA MC 。 所以 AE AD CD CF ，又 BAD=BCD=120，

3、知 CFD ADE。所以 ADE=DFB。因为 ADBC，所以 ADF=DFB=ADE，于 是 F，E，D 三点共线。 O A F D M C B E AB C D E F H K G 初中 数学 例 3四边形 ABCD 内接于圆，其边 AB 与 DC 的延长线交于点 P，AD 与 BC 的 延长线交于点 Q。由 Q 作该圆的两条切线QE 和 QF，切点分别为 E，F。 求证： P，E，F 三点共线。 证如图。 连接 PQ，并在 PQ 上取一点 M，使得 B，C，M，P 四点共圆，连CM，PF。设PF 与圆的另 一交点为 E ，并作 QG 丄 PF，垂足为 G。易如 QE 2=QMQP=QCQ

4、B PMC=ABC=PDQ。 从而 C，D，Q，M 四点共圆，于是 PMPQ=PCPD 由，得 PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB， 即 PQ 2=QCQB+PCPD。 易知 PDPC=PE PF，又 QF2=QCQB，有 PE PF+QF 2=PDPC+QCAB=PQ2， 即 PE PF=PQ2-QF2。又 PQ 2QF2=PG2GF2=(PG+GF)(PGGF) =PF(PGGF)， 从而 PE =PGGF=PGGE ，即 GF=GE ，故 E 与 E 重合。 所以 P，E，F 三点共线。 例 4以圆 O 外一点 P，引圆的两条切线PA，PB，A，B 为切点。割线 PCD 交 圆 O

5、于 C，D。又由 B 作 CD 的平行线交圆 O 于 E。若 F 为 CD 中点，求 证：A，F，E 三点共线。 证如图，连 AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF， 延长 FC 交 BE 于 G。 易如 OA 丄 AP，OB 丄 BP， OF 丄 CP，所以 P，A，F，O，B 五点共圆，有AFP=AOP=POB= PFB。 又因 CDBE，所以有 PFB=FBE，EFD=FEB， 而 FOG 为 BE的垂直平分线，故EF=FB，FEB=EBF， 所以 AFP=EFD，A，F，E 三点共线。 2. 线共点的证明 证明线共点可用有关定理 (如三角形的 3 条高线交于一点 )，或证明第 3 条

6、直 线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。 例 5以ABC 的两边 AB，AC 向外作正方形 ABDE，ACFG。 ABC 的高为 AH。求证： AH，BF，CD 交于一点。 C E (E ) A B D F P M Q G A P B D FC O EG 初中 数学 证如图。延长 HA 到 M， 使 AM=BC。连 CM，BM。 设 CM 与 BF 交于点 K。 在ACM 和BCF 中， AC=CF，AM=BC， MAC+HAC=180， HAC+HCA=90， 并且 BCF=90+HCA， 因此 BCF+HAC=180 MAC=BCF。 从而 MACBCF，ACM=CF

7、B。 所以 MKF=KCF+KFC=KCF+MCF=90， 即 BF 丄 MC。 同理 CD 丄 MB。AH，BF，CD 为MBC 的 3 条高线，故 AH，BF，CD 三线交于一点。 例 6设 P 为ABC 内一点， APBACB=APCABC。又设 D，E 分别 是APB 及APC 的内心。证明： AP，BD，CE 交于一点。 证如图，过 P 向三边作垂线，垂足分别为 R， S，T。 连 RS ，ST，RT，设 BD 交 AP于 M，CE 交 AP 于 N。 易知 P，R，A，S；P，T，B，R； P，S，C，T 分别四点共圆，则 APB ACB=PAC+PBC =PRS +PRT =SR

8、T 。 同理， APCABC=RST ， 由条件知 SRT =RST ，所以 RT=ST。 又 RT=PBsinB，ST=PCsinC， 所以 PBsinB=PCsinC，那么 AC PC AB PB 。 由角平分线定理知 MP AM PB AB PC AC NP AN 。 故 M，N 重合，即 AP，BD，CE 交于一点。 例 7O1与O2外切于 P 点，QR 为两圆的公切线，其中Q，R 分别为O1， O2上的切点，过 Q 且垂直于 QO2的直线与过 R且垂直于 RO1的直线交 于点 I，IN 垂直于 O1O2，垂足为 N，IN 与 QR 交于点 M。证明：PM，RO1， QO2三条直线交于

9、一点。 M E D B HC FK G A A B C T RS MN D E P 初中 数学 证如图，设 RO1与 QO2交于点 O， 连 MO，PO。 因为 O1QM=O1NM=90，所以 Q，O1，N，M 四点 共圆，有 QMI=QO1O2。 而IQO2=90=RQO1， 所以 IQM=O2QO1， 故QIMQO2O1，得 MI OO QM QO 211 同理可证 MI OO RM RO 212 。因此 2 1 RO QO MR QM 因为 QO1RO2，所以有 2 11 RO QO OR OO 由，得 MOQO1。 又由于 O1P=O1Q，PO2=RO2， 所以 2 1 2 11 PO

10、 PO RO QO OR OO ， 即 OPRO2。从而 MOQO1RO2OP，故 M，O，P 三点共线，所以 PM，RO1，QO2三条直线相交于同一点。 3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用 定理 1(塞瓦(Ceva)定理 ): 设 P，Q，R 分别是 ABC 的 BC，CA，AB 边上的点。若 AP，BQ，CR 相交 于一点 M，则 1 RB AR QA CQ PC BP 。 证如图，由三角形面积的性质，有 BMC AMC S S RB AR , AMC AMB S S PC BP , AMB BMC S S QA CQ . 以上三式相乘，得1 RB AR QA CQ PC BP . O1

11、O2 NP I Q R M O A BC P M Q 初中 数学 定理 2 (定理 1 的逆定理 ): 设 P，Q，R 分别是 ABC 的 BC，CA，AB 上的点。若1 RB AR QA CQ PC BP ， 则 AP，BQ，CR 交于一点。 证如图，设 AP 与 BQ 交于 M，连 CM，交 AB 于 R 。 由定理 1 有1 BR AR QA CQ PC BP . 而1 RB AR QA CQ PC BP ，所以 RB AR BR AR . 于是 R 与 R 重合，故 AP，BQ，CR交于一点。 定理 3 (梅涅劳斯 (Menelaus)定理): 一条不经过 ABC 任一顶点的直线和三角

12、形三边BC，CA，AB(或它们的延 长线)分别交于 P，Q，R，则 1 RB AR QA CQ PC BP 证如图，由三角形面积的性质，有 BRP ARP S S RB AR , CPR BRP S S PC BP , ARP CRP S S QA CQ . 将以上三式相乘，得1 RB AR QA CQ PC BP . 定理 4 (定理 3 的逆定理 ): 设 P，Q，R 分别是 ABC 的三边 BC，CA，AB 或它们延长线上的3 点。若 1 RB AR QA CQ PC BP ， 则 P，Q，R三点共线。 定理 4 与定理 2 的证明方法类似。 塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共

13、线以及与之有关的题目 中有着广泛的应用。 例 8如图，在四边形ABCD 中，对角线 AC 平分 BAD。在 CD 上取一点 E， BE 与 AC 相交于 F，延长 DF 交 BC 于 G。求证： GAC=EAC。 证如图，连接 BD 交 AC 于 H， 过点 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I，过点 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长线于 J。 对BCD 用塞瓦定理，可得 1 EC DE HD BH GB CG A R Q B CP H C A D B G I J EF 初中 数学 因为 AH 是BAD 的角平分线， 由角平分线定理知 AD AB HD BH 。 代入式得 1

14、EC DE AD AB GB CG 因为 CIAB，CJAD，则 AB CI GB CG ， CJ AD EC DE 。 代入式得 1 CJ AD AD AB AB CI . 从而 CI=CJ。又由于 ACI=180 BAC=180 DAC=ACJ， 所以 ACIACJ，故 IAC=JAC，即GAC=EAC. 例 9ABCD 是一个平行四边形， E 是 AB 上的一点， F 为 CD 上的一点。 AF 交 ED 于 G，EC 交 FB 于 H。连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 BC 于 M。 求证： DL=BM. 证如图，设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J，与 DC 的延长线

15、交于点 I。 在ECD 与FAB 中分别使用 梅涅劳斯定理，得 1 HE CH IC DI GD EG ，1 JA BJ HB FH GF AG . 因为 ABCD，所以 GF AG GD EG ， HB FH HE CH . 从而 JA BJ IC DI ，即 CI CICD AJ AJAB ，故 CI=AJ. 而 LA DL AJ DI CI BJ MC BM ， 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以 BM=DL。 例 10在直线 l 的一侧画一个半圆T，C，D 是 T 上的两点， T 上过 C 和 D 的切 线分别交 l 于 B 和 A，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段 A

16、C 和 BD 的 交点， F 是 l 上的点， EF 垂直 l。求证： EF 平分 CFD。 证如图，设 AD 与 BC相交于点 P，用 O 表示半圆 T 的圆心。过 P 作 PH 丄 l 于 H，连 OD，OC，OP。 由题意知 RtOADRtPAH， 于是有 DO HP AD AH . 类似地， RtOCBRtPHB， 则有 G AEBJ L DF C I M H D l ABO F(H) EC P 初中 数学 CO HP BC BH . 由 CO=DO，有 BC BH AD AH ，从而1 DA PD CP BC HB AH . 由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC，BD，PH 相交于一点，

17、即E 在 PH 上，点 H 与 F 重合。 因ODP=OCP=90，所以 O，D，C，P 四点共圆，直径为 OP. 又 PFC=90，从而推得点 F 也在这个圆上，因此 DFP=DOP=COP=CFP， 所以 EF 平分 CFD。 例 11如图，四边形 ABCD 内接于圆，AB，DC 延长 线交于 E， AD、 BC 延长线交于 F，P 为圆上任意 一点， PE，PF 分别交圆于R，S. 若 对 角 线 AC 与 BD 相交于 T. 求证： R，T，S三点共线。 先证两个引理。 引理 1: A1B1C1D1E1F1为圆内接六边形， 若A1D1，B1E1， C1F1交于一点，则有 1 11 11

18、 11 11 11 11 AF FE ED DC CB BA . 如图，设 A1D1，B1E1，C1F1交于点 O，根据圆内接多 边形的性质易知 OA1B1OE1D1，OB1C1OF1E1， OC1D1OA1F1，从而有 OD OB ED BA 1 1 11 11 ， OB OF CB FE 1 1 11 11 ， OF OD AF DC 1 1 11 11 . 将上面三式相乘即得1 11 11 11 11 11 11 AF FE ED DC CB BA ， 引理 2： 圆内接六边形 A1B1C1D1E1F1，若满足 1 11 11 11 11 11 11 AF FE ED DC CB BA

19、则其三条对角线 A1D1，B1E1，C1F1交于一点。 该引理与定理 2 的证明方法类似，留给读者。 例 11 之证明如图，连接PD，AS，RC，BR，AP，SD. 由EBR EPA， FDSFPA，知 E B R C T A P S D F B F A E 1 O C D 1 1 1 1 1 初中 数学 EP EB PA BR , FD FP DS PA . 两式相乘，得 FDEP FPEB DS BR . 又由 ECR EPD，FPD FAS，知 EP EC PD CR ， FA FP AS PD . 两式相 乘，得 FAEP FPEC AS CR 由，得 FDEC FAEB CRDS A

20、SBR . 故 AB SA DS CD RC BR CE DC FD AF BA EB . 对EAD 应用梅涅劳斯定理，有 1 CE DC FD AF BA EB 由，得 1 AB SA DS CD RC BR . 由引理 2 知 BD，RS ，AC 交于一点，所以 R，T，S三点共线。 练习 A 组 1. 由矩形 ABCD 的外接圆上任意一点M 向它的两对边引垂线MQ 和 MP，向另 两边延长线引垂线MR，MT。证明：PR与 QT 垂直，且它们的交点在矩形的 一条对角线上。 2. 在ABC 的 BC 边上任取一点 P，作 PDAC，PEAB，PD，PE 和以 AB， AC 为直径而在三角形外

21、侧所作的半圆的交点分别为D，E。求证： D，A，E 三点共线。 3. 一个圆和等腰三角形ABC 的两腰相切，切点是D，E，又和 ABC 的外接圆 相切于 F。求证： ABC 的内心 G 和 D，E 在一条直线上。 4. 设四边形 ABCD 为等腰梯形，把 ABC 绕点 C 旋转某一角度变成 A B C 。 证明：线段 A D, BC 和 B C 的中点在一条直线上。 5. 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P。设三角形 ABP，BCP， 初中 数学 CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是O1，O2，O3，O4。求证：OP，O1O3，O2O4 三直线交于一点。 6.

22、 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4 条垂线交于一点。 7. ABC 为锐角三角形， AH 为 BC 边上的高，以AH 为直径的圆分别交AB， AC 于 M，N；M，N 与 A 不同。过 A 作直线 lA垂直于 MN。类似地作出直线 lB与 lC。证明：直线 lA，lB，lC共点。 8. 以ABC 的边 BC，CA，AB 向外作正方形， A1，B1，C1是正方形的边BC， CA，AB 的对边的中点。求证：直线AA1，BB1，CC1相交于一点。 9. 过ABC 的三边中点 D，E，F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF， FD，DE 交于 I，L，M。求证： I，L，M 在一条直线上。 B 组 10. 设 A1，B1，C1是直线 l1上的任意三点， A2，B2，C2是另一条直线l2上的任 意三点， A1B2和 B1A2交于 L，A1C2和 A2C1交于 M，B1C2和 B2C1交于 N。 求证： L，M，N 三点共线。 11. 在ABC，A B C 中，连接 AA ，BB ，CC ，使这 3 条直线交于一点S。 求证： AB 与 A B 、BC 与 B C 、CA 与 C A 的交点 F，D，E 在同一条直线 上(笛沙格定理 )。 12. 设圆内接六边形ABCDEF 的对边延长线相交于三点P，Q，R，则这三点在 一条直线上 (帕斯卡定理 )。