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1、初中 数学 第二讲巧添辅助妙解竞赛题 在某些数学竞赛问题中, 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系, 通过圆的 有关性质找到解题途径. 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1 挖掘隐含的辅助圆解题 有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆” , 此时若能把握问题提供的信息, 恰当补出 辅助圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质, 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例 1如图 1, 在 ABC 中, ABAC, D 是底边 BC 上一点 , E 是线段 AD 上一点且 BED2CED A. 求证： BD2CD. 分析：关键是寻求BED2CED 与结论
2、的联系 . 容易想到作 BED 的平分线 , 但因 BEED, 故不能 直接证出 BD 2CD. 若延长 AD 交 ABC 的外接圆 于 F, 则可得 EBEF, 从而获取 . 证明： 如图 1, 延长 AD 与 ABC 的外接圆相交于点F, 连结 CF 与 BF, 则 BFA BCA ABC AFC, 即 BFD CFD .故 BF: CFBD: DC. 又 BEF BAC, BFE BCA,从而 FBE ABC ACB BFE. 故 EB EF. 作 BEF 的平分线交BF 于 G, 则 BGGF. 因 GEF 2 1 BEF CEF, GFE CFE, 故 FEG FEC. 从而 GFF
3、C. 于是 ,BF2CF. 故 BD2CD. 1.2 利用四点共圆 例 2 凸四边形ABCD 中, ABC60, BAD BCD 90, AB2, CD1, 对角线 AC、BD 交于点 O, 如图 2. 则 sinAOB _. 分析：由 BAD BCD90可知 A、B、 C、D 四点共圆 ,欲求 sin AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD 即可 . 解： 因 BAD BCD90, 故 A、B、C、D 四点共圆 . 延长 BA、CD 交于 P, 则 ADP ABC60. 设 AD x, 有 AP3x, DP2x. 由割线定理得 (2 3x)3x2x(1 2x). 解得 AD x23 2
4、, BC 2 1 BP43. 由托勒密定理有 BDCA(4 3)(232)2110312. 又 SABCDSABD SBCD 2 33 . A B G C D F E 图1 A B C D P O 图2 初中 数学 故 sin AOB 26 3615 . 例 3已知：如图3, ABBCCAAD, AH CD 于 H, CPBC, CP 交 AH 于 P. 求证： ABC 的面积 S 4 3 APBD. 分析：因SABC 4 3 BC 2 4 3 ACBC, 只 须证 ACBCAPBD, 转化为证 APC BCD. 这由 A、B、 C、Q 四点共圆易证 ( Q 为 BD 与 AH 交点 ). 证
5、明： 记 BD 与 AH 交于点 Q, 则由 AC AD, AHCD 得 ACQ ADQ. 又 AB AD, 故 ADQ ABQ. 从而 , ABQ ACQ. 可知 A、B、C、Q 四点共圆 . APC90 PCH BCD , CBQ CAQ, APC BCD. ACBCAP BD. 于是 , S 4 3 ACBC 4 3 APBD. 2 构造相关的辅助圆解题 有些问题貌似与圆无关, 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信 息, 此时可大胆联想构造出与题目相关 的辅助圆 ,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆 例 4如图 4, 四边形 ABCD
6、中, ABCD, ADDC DBp, BCq. 求对角线AC 的长 . 分析：由“ ADDCDBp”可知 A、B、C 在 半径为 p 的 D 上. 利用圆的性质即可找到AC 与 p、q 的关系 . 解： 延长 CD 交半径为p 的 D 于 E 点, 连结 AE. 显然 A、B、 C 在 D 上. ABCD, BCAE. 从而 ,BCAEq. 在 ACE 中, CAE90, CE2p, AEq, 故 AC 22 AECE 22 4qp. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆 例 5已知抛物线y x22x 8 与 x 轴交于 B、C 两点，点 D 平分 BC. 若在 x 轴上侧的A A 图3 B P
7、Q D H C A E D C B 图4 初中 数学 点为抛物线上的动点, 且 BAC 为锐角 , 则 AD 的取值范围是_. 分析：由“ BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外, 又点 A 在 x 轴上侧 , 从 而可确定动点A 的范围 , 进而确定AD 的取值范围 . 解： 如图 5, 所给抛物线的顶点为A0(1,9), 对称轴为x1, 与 x 轴交于两点B( 2,0) 、 C(4,0). 分别以 BC、DA 为直径作 D、 E, 则 两圆与抛物线均交于两点P(1 22,1) 、 Q(1 22,1). 可知 ,点 A 在不含端点的抛物线PA0Q 内时 , BAC 90. 且
8、有 3DPDQAD DA09,即 AD 的取值范围是3 AD9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆 例 6AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高 , B 的平行线交AD 于 M,交 AC 于 N. 求证： AB2 AN 2BMBN. 分析：因AB 2AN2( ABAN)( AB AN) BM BN, 而由题设易知 AMAN, 联想割线定 理, 构造辅助圆即可证得结论. 证明： 如图 6, 2 3 4 5 90, 又 3 4, 1 5, 1 2. 从而 , AMAN. 以 AM 长为半径作A,交 AB 于 F, 交 BA 的延长线于E. 则 AEAFAN. 由割线定理有 BMBNBF BE (
9、ABAE)( ABAF) ( ABAN)( ABAN) AB2 AN2, 即AB2AN 2 BMBN. 例 7如图 7, ABCD 是 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AD 和 BC 相交于 F, EP 和 FQ 分别切 O 于 P、Q.求证： EP 2FQ2EF2. 分析：因EP 和 FQ 是 O 的切线 , 由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ 向 EF 转化 . 证明： 如图 7, 作 BCE 的外接圆交EF 于 G, 连 结 CG. 因 FDC ABC CGE, 故 F、D、C、 G 四点共圆 . 由切割线定理
10、 , 有 EF 2( EGGF)EF EGEFGFEF EC EDFCFB ECEDFCFB A BD C PQ E y x 0(1,9) (-2,0) (4,0) 图5 E A N C DB F M 1 2 3 4 5 图6 A O Q P C B GFE D 初中 数学 EP 2FQ2, 即EP2FQ 2EF2. 2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例 8如图 8, ABC 与 AB C的三边分别为a、b、c 与 a、 b、 c, 且 B B ,A A 180. 试证： aa bb cc . 分析：因 B B, A A 180, 由结论联想到托勒密定理, 构造圆内接四边形加以证明. 证明：
11、作 ABC 的外接圆 , 过 C 作 CDAB 交圆于 D, 连结 AD 和 BD, 如图 9 所示 . A A 180 A D, BCD B B, A D, B BCD. ABC DCB. 有 DC BA CB CB DB CA , 即 DC c a a DB b . 故 DC a ac , DB a ab . 又 AB DC, 可知 BDAC b, BCADa. 从而 ,由托勒密定理, 得 ADBCABDCACBD, 即a 2c a ac b a ab . 故 aa bb cc. 练习题 1. 作一个辅助圆证明：ABC 中, 若 AD 平分 A, 则 AC AB DC BD . ( 提示：
12、不妨设 ABAC, 作 ADC 的外接圆交AB 于 E, 证 ABC DBE , 从而 AC AB DE BD DC BD .) 2. 已知凸五边形ABCDE 中, BAE3a, BCCDDE, BCD CDE 180 2a. 求 证： BAC CAD DAE. ( 提示：由已知证明BCE BDE180 3a, 从而 A、B、C、D、E 共圆 , 得 BAC CAD DAE.) 3. 在 ABC 中 ABBC, ABC20, 在 AB 边上取一点M,使 BMAC. 求 AMC 的度数 . ( 提示：以BC 为边在 ABC 外作正 KBC, 连结 KM, 证 B、M、C 共圆 , 从而 BCM
13、2 1 BKM 10, 得 AMC 30.) 4如图 10, AC 是ABCD 较长的对角线, 过 C 作 CFAF, CE AE. 求证： ABAEADAFAC 2. ( 提示：分别以BC 和 CD 为直径作圆交AC 于点 (1) (2) 图8 A B C A B C c a b a c b A B C D a b b c 图9 F D A BE C 图10 初中 数学 G、H. 则 CGAH, 由割线定理可证得结论.) 5. 如图 11. 已知 O1和 O2相交于 A、B, 直线 CD 过 A交 O1和 O2于 C、 D, 且 ACAD, EC、 ED 分别切两圆于 C、 D. 求证： AC2AB AE. ( 提示：作 BCD 的外接圆 O3, 延长 BA 交 O3 于 F, 证 E 在 O3上, 得 ACE ADF , 从而 AE AF, 由相交弦定理即得结论.) 6已知 E 是 ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点 . 求证： ABACAE 2BE2. ( 提示：以 BE 为半径作辅助圆E, 交 AE 及其延长线于N、M, 由 ANC ABM 证 ABAC ANAM.) 7. 若正五边形ABCDE 的边长为a,对角线长为b, 试证： a b b a 1. ( 提示：证b2a2ab, 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.) E D C A B O O 1 2 图11