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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 解读导数在有关不等式问题上的应用 新化二中数学组 导数是研究函数性质的一种重要工具例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等而 在处理与不等式有关的综合性问题时，往往需要利用函数的性质因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性 质，从而解决不等式问题下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用 利用导数证明不等式 一、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0 时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）因而在证明 不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性, 然
2、后再用函数单调性达到证明不等式 的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大， 函数值越大（小） ，来证明不等式成立 例 1 当 x0 时 , 求证： x 2 x 2 ln(1+x)0 证明设 f(x)= x 2 x 2 ln(1+x) (x0), 则 f(x)= 2 x 1x x0, f (x)0 时 ,f(x)ae, 求证 :abb a, (e为自然对数的底) 证明要证 abb a ，只需证lnablnba ，即证blna alnb0 设 f(x)=xlna alnx (
3、xae)，则 f (x)=lna a x , ae,xa ， lna1, a x 0, 因而 f(x) 在（ e, + ）上递增 ba, f(b)f(a)，故 blna alnbalna alna=0 ，即 blnaalnb ，所以abb a 成立 注意此题若以a 为自变量构造函数f(x)=blnxxlnb (e0时， b x; f (x )0 ln b 时， b x ln b 故 f(x) 在区间（ e, b ）上的增减性要由 b e ln b 与 的大小而定，当然由题可以推测 b e ln b ； 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - 故 f(x) 在区间（ e, b）上的递减 ,但要证
4、明 b e ln b则需另费周折，因此，本题还是选择以 a 为自变量来构造函数 好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的 二、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出 该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化 为函数求最值问题 例 3 求证： nN*,n 3 时， 2n 2n+1 证明要证原式，即需证：2n2n10,n 3 时成立 设 f(x)=2x2x1(x 3), 则 f (x)=2x
5、ln2 2(x 3), x 3, f (x) 23ln3 20， f(x) 在3 ，+ ) 上是增函数， f(x)的最小值为f(3)=23 231=10 故当 nN*,n 3 时， f(n) f(3)0, 即 n3 时,2n 2n10 成立 例 4 已知 f(x)= 1 3x3x, 当 x1,x2 1,1 时，求证： |f(x1) f(x2)| 4 3 证明f (x)=x2 1, x 1,1 时,f(x) 0, f(x)在 1,1 上递减 . 故 f(x)在 1,1 上的最大值为f( 1)= 2 3 ； 函数的最小值为f(1)= 2 3 , 即 f(x) 在 1,1 上的值域为 22 , 33
6、 所以，当x1,x2 1,1 时， |f(x1)| 2 3 , |f(x2)| 2 3 即有 |f(x1)f(x2)|f(x1)|+ |f(x2)| 224 333 利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x) (或 m0 时，解得0x 3 49 9 ；当 h(x) 0 时，解得x 3 49 9 所以函数h(x) 在（ 0， 3 49 9 ）上递增，在（ 3 49 9 ，+）上递减 故 h(x) 的最大值为 3 494 h() 99，所以 4 a 9 利用导数解不等式 例 6 函数 f(x)= 2 x1ax(a0) , 解不等式
7、f(x)1 解由题知 12 xx f (x )aa 2 22 1x1x x 11 2 1x ， a1 时,f (x)0 时，解得x a (,) 2 1a a (,) 2 1a , f (x) 0 时，解得 aa x(,) 22 1a1a 故函数 f(x)在 aa (,) 22 1a1a 上单调递减，函数f(x)在 a (,) 2 1a 或 a (,) 2 1a 上单调递增 又 f(x)=1时，解得x=0 或 x= 2a 2 1a ，且 0a1 时， a2a 0 2 2 1a 1a ， 所以当 0a1 时，不等式f(x) 1 的解为 x| 2a 0x 2 1a ； 由上得，当 a1 时，不等式 f(x)1 的解为 x|x 0当 0a1 时，不等式 f(x) 1 的解为 x| 2a 0x 2 1a 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数 作工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现