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1、1 中学数学中的反证法 摘要：对于反证法，人们常常有一种对其功能认识不是的误解。为此本文对反证 法的基本概念、步骤、及其正确使用等方向进行了阐述。 关键词：中学数学;反证法 ;间接证法 引言： 去掉大米中的砂粒，有两种方法。 一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地捡出来；一种是用 间接的方法 淘洗法，把砂粒残留下来。这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的， 都能达到去掉砂粒的目的。但直接方法困难得很，间接方法却容易的多。在数学解题中， 也 常用间接的方法（即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通过证明它的等价命题真， 从而断定原命题真的证明方法）来证题。 下面我们就来谈谈数学证明的间接方法之一
2、 反 证法。 一、反证法的基本概念 反证法是指 “ 证明某个命题时，现假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命 题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、 公式等） 相矛盾的结果。 这样， 就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结 论成立。 ” 这种证明的方法，叫做反证法。 反证法的原理是：假设命题不真， 也就是说， 我们附加一个与要证明的结论完全相反的假设 条件（反正假设） 到已知条件中去，利用一系列的推理，得到矛盾的结论 （与已知条件矛盾， 与已证明过的数学命题矛盾，与刚提出的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结论）， 依据排中
3、律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。 反证法的基本思想是：将否定结论作为条件就会导致矛盾。这种基本思想可以用下面的公式 来表示： “ 否定推理矛盾肯定 ” “ 否定 ” 假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。即首先否定结论。 “ 推论 ” 从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据进行推理。 “ 矛盾 ” 通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛 盾的结果。 “ 肯定 ” 由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所引起，因此假设是错的，从而肯 定原结论的正确。 二、反证法的步骤： 用反证法证题一般分为三个步骤： 1.假设原命题的结论不成立； 2.从这个
4、结论出发，经过推理论证，得出矛盾； 3.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确。 即：提出假设推出矛盾肯定结论 例 1：已知： 求证：直线和是异面直线。 2 证明： 【提出假设】假设直线和在同一平面 内，那么这个平面一定经过点和直线。 【推出矛盾】，经过点和直线只能有一个平面 直线与应在平面内 ,这与已知矛盾。 【肯定结论】直线和是异面直线。 在运用反证法证题时，必须认真考察原命题的结论，并找出结论反面的所有情况，因为结论 的反面可能只有一种情况，也可能有多种情况。因此， 反证法分为归谬法和穷举法两种。当 结论的反面只有一种情况时，只要否定这一情况就能证明原命题结论的正确，这种反证法叫
5、 归谬法； 当结论的反面有多种情况时，必须一一予以否定才能证明原命题的正确，这种反证 法叫穷举法。 例 2：已知：，求证：。 分析：此题的结论的否定只有一种情况2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情 况，就能肯定的这种情况了。 证明：假设2，则 = = 3 由此可知：，这与已知矛盾。 例 3：已知：平面平面，直线. 求证：与也相交。 分析：此题结论的否定有两种情况： 1；2 .用反证法证明时， 只有把这两种情况都否定了，才能 肯定与相交。 证明省略。 三、反证法的正确使用 任何方法都有它成立的条件，都有它适用的范围。离开了条件超越了范围就会犯错误，同样， 也会影响解题的成功率。因此，我们应该
6、学会正确使用反证法来解题。 1.注意其适用范围。 虽然反证法是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点： 如适用范围广、 思想选择的余地大、推理方便等。 但是并不是每一道题都能用反证法来解的。 例 4： 如果对任何正数， 二次方程的两个根是正实数，则系数， 试证之。 证明： 假设0，则二次函数的图象是开口向上的抛物线，显然可见， 当增大时，抛物线就沿轴向上平移，而当值增大到相当大的正数时，抛物线就上开 到与轴没有交点，则对这样的一些值，二次方程的实数根就不存在。因此，0，这 一假设与已知矛盾。 同理，0 和0 的条件下，它有无数个根，否则无 根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾
7、。 因此，本题不能反证法来处理。 若原题改为 “ 如果对于任何正数，只存在正实根，则系数” ，就能用反证法证明了。 因此，对于下列命题，较适用反证法来解决。 1 对于结论是否定形式的命题； 2 对于结论是以“ 至多 ” ， “ 至少 ” 或“ 无限 ” 的形式出现的命题； 3 对于结论是以“ 唯一 ” 或 “ 必然 ” 的形式出现的命题； 4 对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。 例 5：设、都是正数，求证：. 证明：反设不成立，便有，由对称性知： 相加： 即： 这一矛盾说明正确 从而 即 交换、位置： 合并得： 5 2.提出假设时，要分清结论反面的全部情况，即不能多，也不
8、能少。 例 6:求证：五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数。 证 明：设五 个 连续自 然 数是，则 是一个关于的二次三项式，若其 为 一 个 完 全 平 方 数 ， 即 二 次 三 项 式有 两 个 相 等 的 实 根 ， 于 是 有 与矛盾。 即五个连续自然数的平方和不是一个完全平方数。 分析：本题的证明过程似乎也合理，但其实它的假设发生了错误。原结论是对于任何大于2 的自然数，不是完全平方数，所以结论的反面应是至少存在一个大于2 的自然 数使是一个完全平方数，而不是对所有的，是一个完全平方数，于 是不能推出。 例如：当时是一个完全平方数，但是 3.推出矛盾时，一般说来，根据条件和
9、假设，通过推理导出与下列矛盾之一即可： 1 与题设矛盾； 2 与定义相矛盾； 3 与定理相矛盾； 4 与公理相矛盾； 5 与客观事实相矛盾； 6 自相矛盾； 例 7：设、0，求证：， 三个数中至少有一个不大于. 证明：假设三个数都大于，则 【1】 另一方面，根据平均值不等式： 6 ， 同理：， 于是：【 2】 【1】与【 2】矛盾。所以原命题成立。 小结： 反证法是数学证明中的一种重要方法。牛顿曾经说过： “ 反证法是数学家最精当的武器之一” 。 它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的 一种重要方法。 反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发 现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、 简单的命题； 或者直接证明难以下手的命题，改 变其思维方向， 从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中， 反证 法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。 参考文献： 反证法初探；数学通讯；2001 年 13 期 浅议反证法；教育实践与研究；2002 年 02 期 反证法；数学通讯；2000 年 24 期 反证法的应用；中等数学；2005 年 03 期