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1、1 以空间图形为背景的轨迹问题的探求 伴随新课程的不断深入，近几年高考试题，设置了一些开放题，具有新颖性、综合性.在知 识网络交汇处设计试题是当今高考命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“ 闪亮 登场 ”.这类题目已突破传统的筐筐，涵盖的知识点多，较抽象，学生求解起来颇感困难，得 分率偏低，令人惋惜.本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法. 1 分析动点满足的几何性质；通过设轨迹上任意一点，根据条件求出动点的某些特征，再 类比已学过的曲线的定义和性质，来寻求突破. 1.1 利用线面垂直关系 【例 1】正方体中，点 P 在侧面及其 边界上运动，在运动过程中，保持AP，则动
2、点 P 的轨迹是（A） A.线段 P B.线段 C.中点与中点连成的线段 D.中点与中点连成的线段 解：联想到线面垂直，转化为求AP 运动所形成的面与垂直，易证，故 选 A. 1.2 联想圆的定义 【例 2】如图所在的平面和四边形所在的平 面垂直，且，则 点在平面内的轨迹是（A ） 2 A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分， 有在平面 PAB 内，以AB 所在直线为X 轴， AB 的中点为坐标原点， 设 P （x,y ）则，化简得，注意到点P 不在直线 AB 上，故除掉选 A. 练习：已知正方体的棱长为1，在正方 体 的表面上与点A 距离为的点的集合形成一条曲线，则
3、该 曲线的长度为（B ） A.B.C.D. 解：当点 P 在上底面时，连AP、 A1P， 在直角APA1 中，求得PA1=，即弧P1P2 的长.同理左侧面的弧P5P6、后侧 面的弧P3P4 的长也为；当点P 在前侧面时，弧P1P6 的半径为，因为直角 A1P1A 中，直角边A1P1 的长为斜边P1A 的一半，所以弧P1P6 的圆心角为，从而弧 3 P1P6 的长为.同理右侧面的弧P2P3 的长与下底面的弧P4P3 的长的长也为 .故曲线的总长度为，故选 B. 1.3 联想到抛物线的定义 【例 3】已知正方体的棱长为1，点 M 在 棱 AB 上，且AM=，点 P 是平面 ABCD 内的动点，且点
4、P 到直线 的距离的平方与点P 到点 M 的距离的平方之差为1，则 P 点的 轨迹为（ A） A.抛物线弧 B.双曲线弧C.线段D.以上都不对 解法一： 过 P作 PF 垂直 AD 于 F， 则 PF 垂直平面 ADD1A1 ，过点 F 作 FE 垂直 A1D1 于 E， 连PE ， 则PE为 点P到 直 线A1D1的 距 离 ， 由 已 知， 即 ，得，PF=PM，故 P 点的轨迹是以M 为焦点， 以 AD 为准线的抛物线，故选A. 解法二：以AB， AD 所在直线为X 轴 Y 轴建立直角坐标系，设P（ x ,y）为轨迹上任意 点， 可得 P到 A1D1 的距离平方为1+，=， 所以 1+-
5、=1， 整理得，故选 A. 4 练习：在正方体的侧面 ABB1A1 内 有一点 P 到直线 AB 与到直线B1C1 的距离相等，则动点P 所 在曲线的形状为（C） A.直线B.双曲线 C.抛物线D. 圆 解：因为 B1C1 垂直于平面ABB1A1 ，所以 PB1 为点 P 到直线 B1C1 的距离， 于是问题转化 为在平面ABB1A1 内，点 P 到定点 B1 的距离与点P 到定直线AB 的距离相等 .故根据抛物 线的定义可知选答案C. 1.4 联想到球面的定义 【例 4】 如图，已知正方形的棱长为2，长为 2 的线段的一个端点 在棱上运动，点N 在正方形内运动，则中点的轨迹的面积是（） A.
6、B. C. D. 解：充 分利 用 MN的长 度不 变，是直角 三角 形， P 点为斜 边的中点， .故点的轨迹是以为圆心， 1 为半径的球面位于正方体内的部分，因 为要算具体面积， 就必须求出几何体是球的哪些部分.分析可得， 点 P 和棱、 均交于各自的中点，即三条半径两两垂直，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之 一，故选D. 2 利用向量工具；按立体几何的传统方法几乎无从下手时，恰当的运用向量，有踏破铁鞋 无觅处，得来全不费工夫之感. 【例 5】一定长线段AB 的两个端点A、 B 沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它 的中点的轨迹 . 解：设 MN 为、的公垂线段，则MN 与、两两
7、垂直 .如图，以 N 点为原点，直线 5 为轴，直线NM 为轴，以过点N 所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系. 设，则， P 点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，竖坐标为常量. P 点必在 MN 的垂直平分面上,取 MN 的中点 O，则 ，所以 P 点在以 O 为圆心， 为半径的圆上.故 P 点的轨迹是MN 的垂直平分面内的一个圆. 3 利用特殊点定位； 把问题的形式向特殊化形式转化，得出结论， 并证明特殊化后的结论适合一般情况. 【例 6】如图所示，在三棱锥A-BCD 中， P 为 CD 的中点，动点 M 在ABD 内部及边界上运动，且总保持PM平面ABC,求动点 M 的轨迹 . 解：先分析特殊位置；当点M 在 BD 边上时，由PM平面 ABC 可得 PMBC，此时点M 是 BD 边的中点Q，当动点M 在 AD 边上时， 同理可得PMAC， 此时点 M 是 AD 边的中点R.于是猜想动点M 的轨迹为中位线RQ.实际 上此题就转化为证明面，故命题得证. 探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、 空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.以上是笔者在教学中， 处理此类问题的几种方法，愿与各位共同探讨. 6