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1、1 浅议数学中的直觉思维 长期以来， 人们在数学教学中，重视逻辑思维，偏重演绎推理， 强调严密论 证的作用，忽视数学审美的桥梁作用，甚至认为数学思维只包括逻辑思维。 这样的数学教学仅赋予学生以“再现性思维”和“过去的数学”，扼杀了学 生的“再创造思维” 、严重制约着学生的创造力。美国著名心理学家布鲁纳 指出： “直觉思维、预感的训练是正式的学术学科和日常生活中创造性思维 的很受忽视而又重要的特征。”在数学教学中，加强直觉思维的教学和训练 已十分必要。 一加强直觉思维能力培养的必要性 1.从直觉思维和逻辑思维的关系看，二者相互依赖相互作用，各有千秋。 任何数学问题的解决和数学知识的发现都离不开逻
2、辑思维，无论是知识的整 理，问题的求解或结论的证明，没有一定的逻辑规则和分析、综合程序， 它 的推理就是不严谨的。 从而结论也就不可靠。 但是逻辑思维也有它的保守面， 即在一定程度上缺乏灵活性与创造性，而这正是不严格的直觉思维所含有的 积极面。直觉思维具有二重性。 它一方面是逻辑思维过程的高度省略和简缩， 另一方面则是形象思维活动的充分展开和渗透。因而含有非逻辑的经验、想 象、猜测、 创造的成分。 它是有意思维与无意思维的结合，它的快速反应性 是从多次反复的逻辑思维基础上脱胎成长起来的。因此创造性思维的发展应 是分析思维与直觉思维的辩证结合，而创造性则更多地存在于直觉思维和发 散思维以及美学考
3、虑之中。 在解决数学问题的过程中，逻辑思维与直觉思维是互补互用的，直觉存在于 逻辑方法运用过程的整体或局部。通常在主体接触总是之后，首先就有一个 依靠直觉判断选择策略、制定计划的阶段，然后才能运用逻辑思维进行逻辑 推理和集中思维以使认识逐步深入。而在局部的前进过程中，思维受阻后， 则仍需依靠直觉思维去重新探索、猜测和想象， 使思维发散直至找到新的正 确思路。 在这个过程中， 就主要倾向而言， 直觉思维是数学发现的重要方法， 而逻辑思维则是解决问题的基本方法。因此在具体的数学思维过程中，主体 应加强这两种思维方式辩证运用的自觉意识，特别是要重视直觉思维在解决 问题时的指引方向和调整思路的重要作用
4、。 2.从现代教育的发展趋势来看，加强直觉思维的教学是每个教育工作者所不 可回避的课题。 随着社会的发展， 教育的观念方向都在不断地变化，从应试教育向素质教育， 从专才向创新人才的培养。这就给我们教师提出了新的要求，新的挑战。 从 数学教学来讲， 新的高中数学教学大纲已经出台，与旧大纲相比，新大纲将 思维能力的培养从第十位上升到第一位。并将逻辑思维能力改称为思维能 力。使此能力的表述更广泛，要求更高，特别指出：“思维能力主要是指会 观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理； 2 会合乎逻辑地、 准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方 法，辩解数学关系，形成
5、良好的思维品质。”直觉思维作为一种重要思维， 而思维的敏捷性、独创性更是体现于此，所以对我们数学教师来说，加强直 觉思维能力的培养是非常重要的。 3.从数学科学发展史来看，不少伟大的数学发现来源于直觉思维，如笛卡儿 坐标系、费尔马大定理、哥德巴赫猜想、欧拉定理、四色问题等，它们不是 任何逻辑思维的产物，而通过观察、比较、领悟、突发灵感发现的。可见直 觉思维的培养对数学发展，科学发展有着十分重要的意义。 二直觉思维能力的培养 1.重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用，以形成并丰富数学知识 组块。 扎实的基础是产生直觉的源泉，直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然 具有偶然性， 但决不是无缘无故
6、的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若 没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。 知识组块又称知识反应块，它们由数学中的定义、定理、公式、法则等组成， 并集中地反映在一些基本问题、典型题型或方法模式中。许多其他问题的解 决往往可以归结成一个或几个基本问题，化归为某类典型题型或运用某种方 法模式。 这些知识组块由于不一定以定理、法则等形式出现，而是分布于例 题或习题之中， 因此将知识组块从例、习题中筛选， 加以精炼是非常必要的。 例 1.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的 夹角相等， 那么斜线在平面上的射影 是这个平分线所在的直线（立体几 何 33P 习题 11）
7、说明：本题的结论以及由图（1）所 得的结论： coscoscos , BOCPOCPOB,( 其中 ) 应用非常广泛，若在大脑中形成知识组块，可轻易解决如下问题等， 1).已知异面直线a、b 所成的角为 60 ，则过点A 与 a、b 所成的角均为 60 的直线有几条？ 2).PA，PB，PC 是从点 P 出发的三条射线，每两条所成的角都是 60 ，那么 直线 PC 和平面 PAB 所成的角的余弦值是（） P O A C B 3 A. 2 1 B. 2 2 C. 3 6 D. 3 3 3).三棱锥PABC 中， 60CABPABPAC ,AB AC2a，PA a，求三棱锥的体积。 4).如图（
8、2） ，正方体 1 AC 中，E,F 分别为棱AB, 11D C 的 中点，则 11B A 与截面 ECFA1 所成角的正弦值为多少？ 2重视解题教学，注重培养学生数形结合思维。 华罗庚说过： “ 数缺形时少直觉，形缺数时难入微。” 通 过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对 培养学生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确 提出，制定相应的活动策略。重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形 结合、 归纳猜想、 反证法等， 通过方法论的分析使数学中的发明、创造活动 成为 “ 可以理解的 ” 、“ 可以学到手的” 和 “ 可以加以推广应用的” ，以思
9、想方法 的分析去带动具体知识内容的教学 例 1.已知 x、y、zR+，求证： 222222 zyzyzxzxyxyx 解析： 要证的不等式， 外形上比较复杂，单从代数上处理，解题过程将十分 繁琐， 若能注意到不等式的特点及三个根式相同的结构特征，则易联想到余 弦定理和三角形不等式，从而可设 o xyCosyxyxyxa1202 2222 o xzCoszxzxzxb1202 2222 o yzCoszyzyzyc1202 2222 构造如图三角形； 由 ABBCAC 即可获证。 3鼓励大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯 猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成，对于未给出结论 的数
10、学问题， 猜想的形成有利于解题思路的正确诱导，对于已有结论的问题， 猜想是寻求解题思维策略的重要手段，数学猜想是有一定规律的，并且要以 C A A B C 120 0 120 0 120 0 a b c x z y 4 数学知识和经验为支柱，但是培养敢于猜想，善于猜想， 善于探索的思维习 惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。 例 2如图已知平行六面体 ABCDDCBA 1111 的底面ABCD是菱形，且 60 11 BCDCDCCBC (1)求证 C1CBD. (2)假定 CD=2，C1C= 2 3 ，记面C1BD 为,面 CBD 为,求二面角的平面角 BD 的余弦值 .
11、(3)当 CC CD 1 的值为多少时 ,能使A1C 平面 C1BD,请给出证明 说明： 本题是 2000 年数学高考试题 （理工农医类）第 18 题。从答题的 情况看，第（ 3）小题得分率很低。按常规思路：从A1C平面 C1BD 出发 找出关于CD 与 C1C 关系的等式， 推出 CC CD 1 的值。 这样去求解费时又费力。 若能以猜想开路，即直觉地估计出 CC CD 1 =1，则情形就大不一样，解答如下： 解：若 CC CD 1 =1，则 BCC1CCD，又 BCDCDCCBC 11 ， BD C1B C1D 三棱锥CC1BD 是正三棱锥 设 A1C 与 C1O 相交于 G A1C1AC ，且 A1C1OC=21 C1GGO=21 C1O 又是正三角形C1BD 的 BD 边上的高、中线 G 是正三角形C1BD 的中心 CG平面 C1BD 5 A1C平面 C1BD