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1、用心爱心专心 圆锥的侧面展开复习导航 一、知识解读 1、基本的概念 （1） 、圆锥的母线： 圆锥的底面圆上一点与圆锥的顶点的连线，叫做圆锥的一条母线。 母线的特点： 圆锥有无数条母线； 圆锥的母线长都是相等的； 所有的母线有一个公共的交点-就是圆锥的顶点。 （2）圆锥的高 圆锥的顶点到底面圆的距离，叫做圆锥的高。 具体表现为：圆锥的顶点与底面圆的圆心连接成的线段的长，就是圆锥的高。 （3）圆锥的锥角 底面圆直径的两个端点与圆锥的顶点构成的两条母线的夹角，叫做圆锥的锥角。 （4）圆锥的侧面展开图 圆锥侧面展开的方法： 沿圆锥的任意一条母线将圆锥的侧面剪开，铺在一个平 面上，就得到圆锥的侧面展开图
2、。 圆锥侧面展开图的形状：如图1 所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形。 这个扇形与圆锥之间有如下的关系： 扇形的圆心是圆锥的锥点； 扇形的半径是圆锥的母线长； 扇形的弧长是圆锥底面圆的周长； 扇形的圆心角的度数是圆锥底面圆的半径与圆锥的母线长的商乘以360。 这些都是圆锥计算问题中最基本的等量关系，一定要记准，记牢。 （5）圆锥的侧面积 就是圆锥侧面展开图形的面积，具体的说就是一个扇形的面积。 （6）圆锥的全面积，又叫表面积： 用心爱心专心 就是圆锥的侧面积与圆锥的底面圆面积的和。 （7）圆锥的正投影 圆锥的正投影是一个等腰三角形。并且等腰三角形的顶点是圆锥的锥点，等腰三 角形的腰是圆锥的母线，
3、等腰三角形的底边是圆锥底面圆的直径。 特殊地，当圆锥的母线与底面圆的直径相等时， 圆锥的正投影是一个等边三角形。 二、圆锥计算中两个基本图形 圆锥中包含的一个直角三角形： 直角三角形的斜边是圆锥的母线，直角三角形的一条直角边是圆锥的高，直角三 角形的另一条直角边是圆锥底面圆的半径，直角是锥点与圆心构成的高与底面圆 的半径构成直角。如图2 所示。 圆锥侧面展开的一个扇形：如图1 所示的扇形。 用来计算绕侧面爬行一周的爬行的最短路线。最短的爬行路线是线段CD的长。 三、圆锥计算中的重要公式 如图 1，设圆锥的母线长为m ，圆锥的底面圆的半径r，圆锥的高为 h，扇形的圆 心角为 ，扇形的弧长为 L，
4、圆锥的侧面积为S1，圆锥的全面积为S，圆锥的底 面圆的面积为 S2， m 2=r2 +h 2； L=2r= 180 m ； sin BAO= m r ，cosBAO= m h ，tan BAO= h r ； S1= 360 2 m = rm； S2=r 2； S= S1+ S2. 四、考点例析 考点 1、求底面圆的半径 用心爱心专心 例 1、将半径为 3的半圆围成一个圆锥的侧面，此圆锥底面半径为 (2008 年西宁市 ) 分析：半径为 3 的半圆，其弧长为： 3，设圆锥底面圆的半径为x， 则有： 2x=3， 所以， x= 2 3 。 解：此圆锥底面半径为 2 3 。 例 2、一个圆锥侧面展开图
5、的扇形的弧长为 12 ，则这个圆锥底面圆的半径为 （） A6 B12 C24 D23 分析：测展图扇形的弧长为：12，设圆锥底面圆的半径为x， 则有： 2x=12， 所以， x=6。因此，此圆锥底面半径为6。 解：选择 A。 例 3、 如图 1，一个扇形铁皮OAB. 已知 OA =60cm ，AOB =120，小华将 OA 、OB合拢 制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计 ) ，则烟囱帽的底面圆的半径为 A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm 分析： 在解答时，要先求出扇形的弧长：L= 180 12060 =40（ cm ） ， 设圆锥底面圆的半径为x， 则有： 2x=
6、40， 所以， x=20。因此，此圆锥底面半径为20cm 。 解：选择 B。 考点 2、求圆锥的母线 例 4、已知圆锥的侧面积为8cm 2, 侧面展开图的圆心角为45 0, 则该圆锥的母 线长为（）（2008 年郴州市） 、64cm B、8cm 2 22c mc m 4 、 、 分析：根据侧面积等于 360 2 m ，所以， 8= 360 45 2 m ， 用心 所以， m 2=64， 所以， m=8 ，即该圆锥的母线长为8cm 。 解：选择 B。 考点 3、求圆锥侧展扇形的圆心角 例 5、制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为3.5cm，侧面母线长为 6cm ， 则此圆锥侧面展开图的扇形圆
7、心角为度。(08 年宁夏回族自治区 ) 分析： 因为，圆锥底面圆的半径为3.5cm， 所以，圆锥侧面展开图中的扇形弧长为：23.5=7， 所以， 7= 180 6n ， 解得： n=210， 即扇形圆心角为 210 度。 解：扇形圆心角为210 度。 考点 4、求圆锥的高 例 6、如图 2，图 3 所示，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40% 圆周的一个 扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么 这个圆锥的高为 A.3cm B.4cm C. 21cm D.62cm （2008年湖北省江汉油田） 分析： 设圆锥的底面圆半径为x，根据知识解读的内容知道， 2x=25
8、0.4 ， 所以， x=2，即 OB=2 ， 因为，扇形的半径5cm ，恰好是圆锥的母线长，即AB=5 ， 所以，在直角三角形AOB 中，根据勾股定理， 得：OA= 2222 25OBAB=21(cm)。 解：选择 C。 考点 5、求圆锥的侧面积 例 7、如图4 所示，是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积 是 （2008 乌鲁木齐） 分析 : 根据正投影等腰三角形与圆锥的关系，得 到： 圆锥的底面圆直径是3，圆锥的高是 2， 用心爱心专心 所以，圆锥的母线长为： 22 2) 2 3 (= 2 5 所以，圆锥的侧面积为： rm= 2 5 2 3 = 4 15 . 解: 该圆锥的侧面积是
9、 4 15 . 解: 该圆锥的侧面积是 4 15 . 考点 6、求圆锥的表面积 例 7、已知圆锥的母线长为5，底面半径为 3，则圆锥的表面积 为（ ） A15B24C30D39(2008 年宁波市 ) 分析： 圆锥的侧面积为：rm=35=15， 圆锥的底面圆面积： r 2 =3 2=9， 所以，圆锥的表面积 为：15+9=24。 解：选择 B。 考点 7、求最短路线 例 8、如图 5 所示，底面半径为1，母线长为 4 的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出 发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（） (08 年广东省初中数学竞赛初赛试题) A2 B42 C4 3 D 5 分析：要想求出最短的爬行路线，关键是在侧面展开图中求出扇形的圆心角， 侧展扇形的弧长是： 2r=21=2， 圆锥的母线长为 4，所以，扇形的半径为4， 所以， 2= 180 4n ，n=90， 如图 6 所示， BPA=90 ， 用心爱心专心 因为， PA=PB=4 ， 所以， AB= 22 4442，因此，最短的爬行路线是42。 解：选择 B.