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1、用心爱心专心 浅析无理型函数值域的几种常规求法 摘要：函数值域的求法很多，从无理函数出发，归纳该题型的常规求法。 关键词：无理型函数值域解题技巧解题方法 函数是数学学习的一个重要内容，它与日常生活有着密切的联系。而值域在函数的应 用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比较灵活，它所涉 及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的基本内容。研究函数值域，必 须仔细观察函数解析式的结构特征，采取相应的解法，灵活机动地“变通”。以下通过几 个例子说明无理型函数值域的几种常规求法。 一、 观察法： 通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。 例 1求函数y34
2、 2 x值域。 解：4 2 x 2，函数值域为5，+ )。 二、单调性法： 如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。 例 2求函数yxx21的值域。 解：函数的定义域为 2 1 ,(，函数 y=x 和函数 yx21在 2 1 ,(上均为单调递 增函数，故y 2 1 21 2 1 2 1 ， 因此，函数yxx21的值域是 2 1 ,(。 三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来 求函数值域的方法。 例 3求函数 yx+x21的值域。 解：定义域为x 2 1 ,(，令 tx21(t0)，则 x 2 1 2 t 于是 y 2 1 (t1) 21
3、，由 t0 知函数的值域为 2 1 ,(。 本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。 对于 形如“ymxnaxb”的函数 , 此法适用于根号内外自变量的次数相同的 用心爱心专心 无 理 函 数， 一 般令 taxb ， 将 原 函数 转 化为 t的二 次 函数 ， 当然 也 适用 于 “y mxnaxb 22 ”的函数。 例 4. 求函数yxx23134的值域。 解：令 tx134，则t0且xt 1 4 13 2 ()，则ytt 1 2 7 2 2 1 2 1 2 ()t 4。当t1，即x3时，y max 4，当t时，y。故函数值域为(， 4 。 另外对于根号下的
4、是2 次的，我们同样可以处理： 例 5求函数yx+ 2 1x的值域。 解： 1 x 2 0， 1x1，设 xcos ， 0， 则 ycos+sin2 sin（+ 4 ） ， 0， ，+ 4 4 ， 4 5 ， sin（+ 4 ） 2 2 ，1 ， 2 sin（+ 4 ） 1，2 ，函数yx+ 2 1x的值域为1，2 。 其次如果有两个根号的话，我们也可以处理： 例 6. 求函数yxx836的值域。 解：由 360 80 x x ，得28x。 令x102 2 sin且,0 2 ， 则y1030210 6 cossinsin()。 由 66 2 3 ，得 1 26 1sin()， 则10210y，
5、故函数的值域为10210，。 对于形如“ymaxbncxdac()0”的函数 , 此法适用于两根号内自变量 都 是 一 次 ， 且ac0， 此 时 函 数 的 定 义 域 为 闭 区 间 ， 如 xx 12 ， 则 可 作 代 换 用心爱心专心 xxxx() sin 21 2 1 ，且0 2 ，即可化为yA sin()型的函数。 四、配方法：通过平方或换元化为形如y=ax 2 +bx+c(a 0)的函数，借助配方法求函数的 值域，要注意x 的取值范围。 例 7求函数 yxx1的值域。 解： 1 x0，且 x0，0x1，又 y0， y 2x+1x+2 xx 2 1+2xx 2 令 t x 2+x
6、（ x 2 1 ） 2+ 4 1 ，0x1， 0t 4 1 ，0t 2 1 ，y 2 1，2 ， 函数 yxx1的值域为 1，2 。 五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜 率或距离的范围问题。 例 8求函数 f(x) 52 2 xx22 2 xx的值域。 解： f(x) 52 2 xx 22 2 xx 22 2)1( x 22 1)1( x f(x) 表示动点 P(x，0)到点 A(1，2)与点 B(1， 1)的距离之差，求f(x) 的值域就转化为求 P(x，0)到点 A( 1，2)与点 B(1，1)的距离之差的范围 问题（如图） ， |PA|PB|AB
7、|( 当且仅当 P、A、 B 共线时取等号 )， |PA|PB|1，即 f(x) 1， f(x) 52 2 xx22 2 xx的值域是 1 ,0( 。 数形结合是解决求值域和最值问题的重要方法，运用图形的直观性，通过数形结合使 抽象问题直观化，复杂问题简单化，综合问题浅显化，充分训练发散思维。 综上，函数的值域问题涉及到函数，不等式，三角函数，解析几何等高中数学重要 内容， 是数学中常见的问题之一，渗透了许多重要的数学思想和方法，因此我们在高考数 学复习教学中必须对求值域的常用方法和一般技能进行系统整理，深化训练。 用心爱心专心 参考文献：（1）求几类无理函数值域的方法- 甘肃教育- 王菊萍2007 年第 8 期 （2）求函数值域的方法简介- 中国基础教育研究- 赵建新2007年一 月第一期 （3） 活用解析法探求无理函数值域- 中学数学- 徐春明 2002 年第 7 期 （4）例析求三角函数值域的方法- 数理化学习：高中版- 侯守一 2003 年第 5 期