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1、例谈类比在解析几何中的应用 在近几年的高考试题中，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开 阔、情境新颖脱俗的创新题型， 它们往往不是以知识为中心， 而是以问题为中心， 并不拘泥于具体的知识点， 而是将数学知识、 方法和原理融于一体， 突出对数学 思想方法的考查，体现数学的思维价值。在2009年江苏省考试说明中，明确指 出数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查， 重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学的应用意识和创新意识的考查， 其中，推理论证能力的考查要求是： 能够根据已知的事实和已经获得的正确的数 学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的
2、真假性。 笔者研究近几年的高考试题，发现类比推理的考查较为突出，是高考的一 个新的亮点，本文仅对类比推理在解析几何中的应用作相关论述。 一圆锥曲线的统一性 椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，这是因为它们有着统一性的定义： 平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l(F 不在l上) 的距离的比等于常数e 的点的轨迹，当 01e 时，它表示椭圆； 当 1e 时，它表示双曲线； 当1e时，它表示抛物线。 由于它们有着共同的统一性定义，因此它们的性质有着许多类似之处，在研究有 关的问题时，我们可以通过类比的方法，解决诸多问题。 （1）椭圆与双曲线类比 例 1 ： （上海春招题） 已知椭圆具有性质：若
3、M 、N是椭圆 C上关于原点对称的两个点，点P是 椭圆上任意一点，当直线PM 、PN的斜率都存在，并记为 PM k、 PN k时，那么 PM k 与 PN k之积是与点 P 的位置无关的定值；试对双曲线1 2 2 2 2 b y a x 写出具有类似特 性的性质，并加以证明 . 分析： 类似的性质为：若M 、N是双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 上关于原点对称的两个点， 点 P是双曲线上任意一点， 当直线 PM 、 PN的斜率都存在，并记为 PM k、 PN k 时，那么 PM k与 PN k之积是与点 P的位置无关的定值。 证明：设点 M 、P的坐标为（nm ,） 、 （yx ,）
4、 ，则 N（nm ,） 。 因为点 M （nm ,）在已知双曲线上，所以 22 2 2 2 bm a b n， 同理 22 2 2 2 bx a b y， 则 2 2 22 22 2 2 22 22 a b mx mx a b mx ny mx ny mx ny kk PNPM （定值） 。 评注：本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方 程，考查数学运算能力及类比推理的能力。 （2）椭圆与抛物线类比 例 2：在椭圆 22 22 1 xy ab 中，F是左焦点，l是左准线， A是右顶点，过 F 任作直 线与椭圆交与 B、C两点，连接 AB 、AC与左准线 l分别交与 P
5、、Q两点，设两点的 纵坐标分别为 1,2 yy，求证： 12 yy为定值。 类比上述结论，在抛物线中，你能得到什么结论，并给予证明。 分析：如图所示， 以椭圆左焦点为极点， x 轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标方程为： 2 cos b ac , 设 1 (,)C， 2 (,)D，过 C作CDx轴，设准线与 x 轴交与 E点，则 ACD与APE 相似，所以 PEAE C DAD , 即： 2 1 11 sincos a a y c ac ， 所以 2 1 1 1 sin() cos a a c y ac = 22 2 ()sin cos cos cos ab a cac b ac ac = 2
6、sin cos b cc 。 同理可得 22 2 sin()sin cos()cos bb y cccc ， 所以 224 12 2 sinsin coscos bbb yy ccccc 。 类比椭圆与抛物线，我们可以发现抛物线只有一个顶点，另外一个顶点即 在无穷远处，等同于椭圆的右顶点A，因此我们有以下结论： 在抛物线 2 2(0)ypxp中，F为其焦点，l为其准线，过 F 作直线与抛物 线交与 A、B 两点，分别过 A、B 向准线l作垂线，垂足分别为C、D，设两 点的纵坐标分别为 1,2 yy，则 12 yy为定值，定值为 2 p，证明从略。 评注：本题中的类比是一个难点，只有牢牢把握住三
7、类曲线的相似之处，才能解 决此类问题，课本选修2-1（苏教版）第23 页给出了三类曲线的形成模型，回 归教材，深入的研究三类曲线的产生过程，是解决问题的关键。 （3）同类曲线自身的类比 例 3： 在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线xy=k,k0, 上任意一点 P， 若点 P在 x 轴和 y 轴上的射影分别为A、B，则PAPB必为定值 K” ； 类比于此，对于双曲线 22 22 1 xy ab 上任意一点P，类似的命题是什么？并证 明你的结论。 分析：鉴于 x,y 轴是双曲线 xy=k,k0 的两条渐近线，因此我们可以得到下面的 结论：对于双曲线 22 22 1 xy ab 上任意一点 P
8、，若在两条渐近线 b yx a 上的 射影分别是A、B，则有PAPB必为定值。这个定值是多少呢？我们不 妨先取 P 为顶点时，可以得到定值为 22 22 a b ab ，证明从略。 评注：本题的类比关键在于抓住两坐标轴对于双曲线xy=k,k0 而言实质上是其 渐近线。 （4）三类曲线间的类比 例 4：在抛物线 2 2(0)ypxp中，F为其焦点，l为其准线，过 F作直线与抛物 线交与 A、B两点，以 AB为直径作圆 C ，试判断圆 C与准线l的位置关系。 类比上述结论，在椭圆与双曲线中是否仍有上述结论？若有，给予证明， 若无，试说明位置关系。 分析：如图所示， 分别过 A,B,C 向准线l作垂
9、线，垂足分别为G,E,H，由抛物线的定义知， AGAF ,BEBF, 所以 ABAFBFAGBE， 由梯形的中位线定理知：2AGBEC H, 所以： 2 AB C H, 即圆心到准线的距离等于圆的半径， 所以圆与准线相切。 类比上述推理过程，我们发现：由椭圆的第二定义知道： AGeAF ， BEeBF ，其中 e 为椭圆的离心率， 所 以A BA FB FA Ge， 由 梯 形 的 中 位 线 定 理 知 ： 2A GB EC H , 所以 2 AB C H e , 即圆心到准线的距离大于圆的半径，所以圆与准线相离。 同理：若曲线为双曲线，则圆与准线的位置关系是相交。 评注：本题考查圆锥曲线的
10、统一定义，直线与圆的位置关系。 类比的关键在于推 理过程的类比，由于定义的统一性，判断方法的明确性，因此，要抓住其实质 2 AB C H e 进行判断，当 1e 时，圆与准线相切； 当 1e 时，圆与准线相交； 当01e时，圆与准线相离。 练习： 在椭圆 22 22 1 xy ab 中， A、 B分别是左右顶点， 过 AB上任一点作直线 lx轴， 与椭圆交与 C、D两点，连接 AC 、BD交与 P,求动点 P的轨迹； 类比于此，对于双曲线 22 22 1 xy ab 和抛物线 2 2(0)ypxp， 类似的结论是 什么？并加以说明。 答案提示：若曲线是椭圆，则动点P的轨迹为双曲线； 若曲线是双
11、曲线，则动点P的轨迹为椭圆； 若曲线是抛物线，则动点P的轨迹是抛物线。 二圆与圆锥曲线的相似性 圆在解析几何中占有一定的比重，也是高考的一个重点内容，那么它与圆锥 曲线是否孤立呢？仔细研究教材（苏教版），课本上的例题涉及了圆与椭圆的联 系，它们是可以通过伸缩变换而得到，实际上我们也可以通过几何画板形象的反 映出它们之间的相互变化， 当椭圆的两个焦点重合时， 也就形成了圆。 既然有相 似之处，我们就可以通过类比研究有关的问题。 例 5：已知圆 C的方程为 222 xyr，动点 P为其上一点，设其坐标为 00 (,)xy， 求证：该圆在点 P处的切线方程为 2 00 xxyyr； 类比于此，对于椭
12、圆 22 22 1 xy ab ，类似的结论是什么？并加以证明。 分析：若动点 P 在坐标轴上，显然成立； 若动点 P 不在坐标轴上， 可得切线的斜率为 0 0 x K y ，由点斜式得直线的 方程为 0 00 0 () x yyxx y ，化简为 : 22 0000 xxyyxy, 又因为点在 圆上，所以所求切线方程为 2 00 xxyyr。 类比椭圆与圆，我们有以下结论： 已知 P 00 (,)xy为椭圆 22 22 1 xy ab 上一动点，则椭圆在该点处的切线方程为： 00 22 1 xxyy ab ，证明从略。 评注：本题通过类比推广，可以直接归纳概括出相应的结论。 波利亚曾说：“如
13、果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数 学中，甚至在其他任何领域中， 本来可以发现的东西， 也可能无从发现 . ”因此， 作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力。为 此，特提出以下教学建议： （1）根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得 出新的知识，逐步学会类比推理的方法。 （2）在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关知识进 行类比的习惯。 （3）在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解 题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。 （4）通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决 问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。 开普勒对类比也情有独钟： “我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信 赖的老师 ,”正因为如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到 了命题专家的关注，逐渐成为高考命题的新视角。 参考资料： 1 任子朝，高考能力测试与试题设计，北京教育出版社. 2 顾国章，高考对类比推理的考查，中学数学，2005.2. 3. 江苏省 2009 年普通高校统一招生考试说明，凤凰传媒出版社. 发表于数学教学研究 ，2009 年第 6 期 刊号 ISSN 1671-0452 CN 62-1042/01