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1、从数列到数阵，“形散神不散” 数列是中学数学的重要模块之一，也是高考的必考点，热点和 难点. 除了传统题型之外，各地的高考或模拟试题中数列问题的形式 也在悄悄发生变化， 成为数列问题中一道亮丽的风景线，数阵就是其 中的一员，数阵的出现，使考查数列知识的问题背景有了较大的变化， 让考生感觉耳目一新 . 下面我们一起领略数阵的风采，探讨问题的求 解策略 . 数列 1，2，3，4，5，6，, ，n，, 是一个首项为1，公差为 1 的等差数列，其通项公式nan，前n项和 2 )1(nn Sn. 若将该数列排 成如下的三角形数阵的形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
2、5 , 根据以上排列规律，数阵中的第n行（3n）的第 3 个（从左至右） 数是 分析：要求数阵中的第n行（3n）的第 3 个（从左至右）数，我们 只要求出第n行的第 1 个数，然后再加 2，就是要求的数 . 解：观察上述三角形数阵容易发现，由每一行的第一个数1，2，4， 7，11，, 构成的数列 n a有如下的规律： 1 12 aa 2 23 aa 3 34 aa 4 45 aa , 1 1 naa nn 将上述1n个等式左右两端分别相加，得 1.4321 1 naan = 2 )1(nn 2 2 2 )1( 2 1 nnnn aan 所 以 ， 数阵 中 的 第n行（3n） 的 第 3 个
3、（从 左至 右 ）数 是 2 6 2 2 2 22 nnnn 上面运用了叠加的方法求出了数列 n a：1，2，4，7，11，, ，n，, 的通项公式 . 思考一：数列 n a中，2 1 a，10 5 a， nnn aaa 12 2（Nn） ，把数 列 n a中的各项排成三角形数阵的形式，记 ),(nm F表示第m行的第n个 （从左至右）数，若90 )1,1(),(nmnm FF，则nm 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a , 分析：要求 ),(nm F及 )1, 1(nm F，只要求出第m行的第一个数（从左至右） ， 那么问题就迎刃而解了 . 解：
4、 nnn aaa 12 2 数列 n a为等差数列，设公差为d，则daa4 15 d=2，ndnaan21 1 若将数列 n a中的 1 a， 2 a， 4 a， 7 a，, 看成一个新数列（即数阵 中每行的第一个数），则此数列中的第m个数（Nm）就是第m行的 第一个数 . 观察上述数阵我们很容易发现，下标也成下列数阵的形式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 , 易知：2 2 2 2 2 2 mm mm am即第m行的第 1 个数 ),(nm F=2) 1(2 2 nmm=nmm2 2 )1, 1(nm F=)1(2)1(1 2 nmm=22 2 nmm
5、 ),(nm F+ )1, 1(nm F=90242 2 nm 442 2 nm且nm 易知：442 2 nm只有唯一解6m，4n 所以，10nm 思考二：若将该数列1，2，3，4，5，6，, ，n，, 排成如下的形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 , 问题： （1）求第n行的最后一个数 （2）求第n行的各个数之和 （3）2008 是第几行的第几个数 （4）是否存在Nn使得从第n行起的连续10 行的所有数之和为 12022 1327 ？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由. 解： （1）方法一： (直接法 ) 第 1 行的最后一个数 1=12 1 第
6、 2 行的最后一个数 3=12 2 第 3 行的最后一个数 7=12 3 第 4 行的最后一个数 15=12 4 ,. 第n行的最后一个数12 n 方法二： （间接法）因为第n行的最后一个数与第1n行的第一个数相 差 1，因此，我们可以求出第1n行的第一个数，然后再减去1，即 第n行的最后一个数 . 第 1 行的第一个数 1= 0 2= 11 2 第 2 行的第一个数 2= 1 2= 12 2 第 3 行的第一个数 4= 2 2= 13 2 第 4 行的第一个数 8= 3 2= 14 2 ,. 第n行的第一个数 1 2 n 第1n行的第一个数 n 2 所以，第n行的最后一个数为12 n （2）
7、由（1）知第n行的第一个数 1 2 n ，最后一个数为12 n 所以，第n行的各数之和 = 2 )1212)(122( 11nnnn = 2 2)122( 11nnn （3）设 2008 是第n行中的数 由（2）知，第n行的第一个数 1 2 n ，最后一个数为12 n 10242 10 ，20482 11 ，且204820081024 11n 985110242008 所以， 2008是第 11 行的第 985项. （4）假设存在Nn使得从第n行起的连续10 行的所有数之和为 12022 1327 由（1）知，第n行的第一个数是 1 2 n ，第9n行的最后一个数为12 9n 所以从第n行起的连续 10行的所有数之和为 2 )22)(122( 1991nnnn = 2328172 2222 nnnn =12022 1327 ，所以5n 思考三：观察下面的数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 , 第 20 行的第 20（从左至右）个数是 从数列到数阵， 尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍 然是数列问题，只要我们 抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵 中构造新数列， 那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神 不散”也！