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1、用心爱心专心 圆中巧解直角三角形 在圆的背景条件下解直角三角形，突出解直角三角形，可谓是圆搭台，直角三角形唱戏。 下面就采摘几例，供学习时参考。 1、圆搭台，巧求锐角三角函数值 例 1、如图 1 所示的半圆中，AD是直径， 且3AD，2AC，则s inB的值是 （2008 乌鲁木齐） 方法解读： 遇到锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行。 在圆中寻找直角三角形的最好办法，就是看圆中是否存在直径，然后根据直径所对的圆周角 是直角，来完成问题的求解。 另外， 在解题时， 还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直 角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中，本题就是用的这两种
2、办法。 解： 因为， AD 是直径， 所以， ACD 是直角， 因此，三角形ACD 是直角三角形， 所以， sinADC= AD AC = 3 2 ， 因为， ADC， B 同时对着弧AC， 所以， ADC= B， 所以， sin B= sin ADC= 3 2 。 例 2、如图 2 所示，已知O 的半径为1，AB与 O 相切于点A，O B与 O 交于点C， O DO A，垂足为D，则cosAO B的值等于（） （2008 年南京市） AO DBOACC DDAB 方法解读： 锐角三角函数有一个特点，这就是： 同角或者等角的锐角三角函数值相等。所以，一个角三角函数值 就有多种表示方法。 解：
3、因为，A B与 O 相切于点A，O DOA， 所以，三角形 COD 和三角形 AOB 都是直角三角形， 用心爱心专心 并且点 O、D、A 在一条直线上，点O、 C、D 在一条直线上， 所以， AOB= DOC， 而在直角三角形COD 中， cosDOC= OC OD ， 因为， O 的半径为1， 所以， OC=1， 所以， cosDOC=OD ， 所以， cosAOB =OD ， 所以，选A。 例 3、 如图 3 所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的 O 的圆心 O 在格点上， 则 AED 的正切值等于 （ 08 河南省卷） 方法解读： 直接求难度很大，所以，在解答时，我们
4、可以利用在同圆中，同弧上的圆周角相等， 把 AED 转接到直角三角形ABC 中的 ABC 上，在直角三角形ABC 中，完成问题的解 答。 解： 因为， AED， ABD 同时对着弧AD ， 所以， AED= ABD ， 在直角三角形ABC 中， ABD= ABC， 所以， tanABC= AB AC ， 因为，小正方形的边长为1， 所以， AC=1,AB=2 ， 所以， tanABC= AB AC = 2 1 ， 所以， tanAED = 2 1 。 2、圆搭台，应用锐角三角函数求弦长 例 4、如图 4 所示， O 是 ABC 的外接圆，O 的半径 R2，sinB 4 3 ，则弦 AC 的长 为。 （2008 年自贡市） 用心爱心专心 方 法解读： 遇 到锐角三角函数问题，必须有直角 三 角形才行。 在 圆中构造直角三角形的最好办法， 就是巧妙引圆的一条直径，根据直径所对的圆周角是直角，来完成问题的求解。 解： 如图 5 所示，作圆的直径AD，交圆于点D，连接 DC， 因为， AD 是直径， 所以， ACD=90 ， 因为， ADC= ABC， 所以，在直角三角形ADC 中， 所以， sinABC=sin ADC= 4 3 = AD AC , 所以， AC=AD sin ADC=4 4 3 =3。