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1、用心爱心专心 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此 类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等 关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生 的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式 或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例 1：椭圆 ),0(1 2 2 2 2 为半焦距cbca b y a x 的焦点为 F1、F2，点 P(x, y)为其上的
2、 动点，当 F1PF2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是_。 解：设 P(x1, y)， F1PF2是钝角 cosF1PF2 = |2 | 21 2 21 2 2 2 1 PFPF FFPFPF 222 21 2 2 2 1 )(|0ycxFFPFPF 2 )(cx 2222 4yxcy 2 2 22 222 2 2 22 )(x a ba cxa a b xc)( 22 2 2 222 bc c a xbc 2222 bc c a xbc c a 。 说明：利用 F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000 年全国高考题理科第14 题： 椭圆 1 49 22
3、 yx 的焦点为F1、F2，点 P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的 取值范围是 _。 （答案为x 5 53 ( ， ) 5 53 ） 例 2： （ 2000 年全国高考题理科第22 题）如图，已知梯形ABCD 中， AB =2 CD ，点 E 分有向线段AC所成的比为，双曲 线 过 点 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当 4 3 3 2 时，求 双 曲 线 离心率 e 的取值范围。 解：如图，以线段AB 的垂直平分线为y 轴。因为双曲线经过点C、D，A、B 为焦点， 用心爱心专心 由双曲线的对称性知C、D 关 y 轴对称，依题意，记A )0,(c ，C(2 c ，h)，
4、E(x0，y0), 其中 c = AB 2 1 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。 由定比分点坐标公式得：x0= 1 2 c c = )1(2 )2(c ， y0=1 h 。 设双曲线方程为 2 2 a x 2 2 b y =1，则离心率e = a c 。 由点 C、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和 e =a c 代入双曲线方程得 1 4 2 22 b he 1) 1 () 1 2 ( 4 2 2 22 2 b he 由式得 1 4 2 2 2 e b h 将式代入式，整理得： 2 3 1 2 1 22 2 ee e 107 4 3 2 3 1 3 2 2 e e 说明：建立与 e 的函
5、数关系式，再利用已知的范围，即可求得e 的范围。 背景之二：曲线自身的范围 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆 a b y a x (1 2 2 2 2 b0) 中， x ,10,ebbyaa ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。 例 3： （ 2002 年全国高考题）设点P到点 M( 1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到 x 轴、 y 轴距 离之比为2，求 m 的取值范围。 解：设点P 的坐标为 (x，y)，由题设得 2 | | x y ，即 y = 0,2xx 由于 x 0 ，所以点P(x，y)、M(1， 0)、 N(1，0)三点不共线，得 用心爱心专心 1|02|2|
6、0mMNmPNPM 因此，点P 在以 M、N 为焦点，实轴长为2 m 的双曲线上，故 2 2 2 2 1m y m x =1 将式代入，解得 2 22 2 51 )1( m mm x 由 22 mx 且 01 2 m ，得 mm 5 5 051 2 5 5 ，又 m 0 )0, 5 5 (m (0, ) 5 5 说明： P到 x 轴、y 轴距离之比为2，所以 P不能在 x 轴上，由此得到m 0 ，这一隐含条件容 易忽视。 例 4： （ 2004 年全国卷理科21 题 文科 22 题）设椭圆 1 1 2 2 y m x 的 两个焦点是F1(c, 0)与 F2(c, 0) (c 0) ，且椭圆上存
7、在一点P，使得直线PF1与 PF2垂直。 (1)求实数 m 的取值范围； (2)设 l 相应于焦点F2 的准线，直线PF2与 l 相交于 Q，若 32 | 2 PF QF ，求直线PF2的方 程。 解： (1)依题设有m11,即 m 0， c = m ,设点P 的坐标为 (x0, y0)，由PF 1 PF2 ，得 myx cx y cx y 2 0 2 0 0 0 0 0 1 将与 1 1 2 0 2 0 y m x 联立，解得x m y m m1 , 1 2 0 2 0 由此得 0 1 1 0 1 1 0 2 m m m m m 1m 用心爱心专心 故 m 1 , +) (2)答案为 y =
8、( 23 ) (x- 2 ) ( 解答略 ) 背景之三：二次方程有解的条件 直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是 直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确 定参数取值范围的一个常见背景。 例 5： （全国高考题）给定双曲线x2 2 y = 1，过点 B(1，1)能否作直线 l，使 l 与所给双曲线交于P1及 P2，且点 B 是线段 P1P2 的中点？这样的直线l 如果存在，求 出它的方程；如果不存在，说明理由。 解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l 不存在。 当 直 线l 斜 率存 在 时， 设
9、为k，则l 方程 为y = k(x 1) 1， 联立 1 2 2 2y x ， 得 032)22()2( 2222 kkxkkxk 。 设 ,22 2 22 ,1 2 ),(),( 2 2 21 222111 k k kkxx yxPyxP即则 此时 002,0)32)(2(4)22( 22222 且不满足kkkkkk 。 故满足已知条件的直线l 不存在。 例6： （ 2004 年 湖 北 省 高 考 题 理 科20 题文 科20 题 ） 直 线 1:kxyl 与 双 曲 线 12: 22 yxC 的右支交于不同的两点A、B。 (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数k，使得以线段A
10、B为直径的圆经过曲线C的右焦点 F？若存在，求出k 的值； 若不存在，说明理由。 解： (1)将直线 1kxy 代入双曲线方程，并整理得 022)2( 22 kxxk 依题意，直线l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 0 2 2 0 2 2 0)2(8)2( 02 2 2 22 2 k k k kk k 22k (2)答案是存在 5 66 k 满足题设。 用心爱心专心 说明：问题 (1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。 背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出
11、这个变 量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围； 例 7： （2004 年浙江省高考题理科21 题 文科 22 题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A(1, 0)，点 P、Q 在双曲线的右支上，点M(m, 0)到直线 AP 的距离为1。 (1)若直线 AP的斜率为k，且 3, 3 3 | k ，求实数m 的取值范围； (2)当 12m 时， APQ 的内心恰好是点M，求此双曲线的方程 解： (1)由条件知直线AP 的方程为 0),1(kykxxky即 ，因为点 M 到直线 AP的距离为1，所以 2 2 2 1 1 | 1 |1|1 1 | kk k m k
12、 kmk 。 3, 3 3 | k 3 32 1131 3 32 2|1| 3 32 mmm或 故 3, 3 32 1 3 32 1,1m (2)答案是 1)122( 22 yx （解答略） 例 8： （ 2004 年全国高考卷理科21 题）给定抛物线 xyC4: 2 ，F 是 C的焦点，过点F 的 直线 l 与 C相交于 A、B 两点。 (1)设 l 的斜率为1，求 OBOA与 的夹角的大小； (2)设 9,4, 若AFFB ，求 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围。 解： (1)答案为 41 143 arccos （解答略）。 (2)F(1, 0), 设 A(x1, y1), B(x2,
13、 y2), 由题设 AFFB , 得 ),1(),1( 1122 yxyx ， 用心爱心专心 即 2 1)1(1 12 12 yy xx 由得得 2 1 22 2 yy 2 2 21 2 1 4,4xyxy 1 2 2 xx 联立、解得 2 x ，依题意有 0 )0, 1(),2,(),2,(FBB又或 得直线 l 方程为： )1(2)1(),1(2)1(xyxy或 当 9,4 时，方程l 在 y 轴上的截距 1 2 1 2 mm或 。 由 1 2 1 2 )1)(1( 2)1(2 1 2 ，可知在 9,4 上是递减的。 9,4 4 3 3 4 3 4 4 3 mm或 。 故直线 l 在 y
14、轴上截距m 的变化范围是 3 4 , 4 3 4 3 , 3 4 。 说明：例7 和例 8 都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立变量 的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出函数 的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。 2、双参数中的范围均未知 例 9： （ 2004 年全国卷文2 理 21）设双曲线 )0(1: 2 2 2 ay a x C 与直线 1:yxl 相 交于不同的点A、B。 (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为P，且 PBPA 12 5 ，求 a 的值。 用心爱
15、心专心 解： (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程 1 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解，消去y 并整理得： 022)1( 2222 axaxa 由 120 0)2)(1(4)2( 01 2222 2 aa aaa a 且 双曲线的离心率 1 11 2 2 aa a e 120aa且 2 2 6 ee且 故 ),2()2, 2 6 (e (2)略 说明：先求出a 的范围，再建立e 与 a 的函数关系式，即可求出e 的范围。 例 10：直线 1kxy 与双曲线 1 22 yx 的左支交于A、B 两点，直线l 经过点 )0,2( 和 AB的中点，求直线l 在 y
16、轴上的截距b 的取值范围。 解：由方程组 1 1 22 yx kxy ，消去 y 得： 022)1( 22 kxxk 设 0,0),(),( 212211 xxyxByxA ，AB 中点 ),( 00 yxM ，则有： 21 0 1 2 0 1 2 0)1(84 2 21 2 21 22 k k xx k k xx kk ) 1 1 , 1 (, 1 1 1, 12 222 00 2 21 0 kk k M k kxy k kxx x即 设 直 线l的 方 程 为 2 0 0 22 1 2 0 ,2),( kkx y mmbbxmy而则 ， 则 有 用心爱心专心 8 17 ) 4 1 (222
17、 1 22 kkk m ，它在 )2,1( 上单调递减。 1 1 22 m ),2()22,(2 mb 说明：这类问题可先求出一个变量的范围，另一个变量范围就相应可求出来了。 背景之五：点在圆锥曲线内域或外域的充要条件 如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划 分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则点 ),( 00 yxP ，在 椭 圆 1 2 2 2 2 b y a x 内 （ 外 ） 域 的充 要 条 件是 ) 1(1 2 2 0 2 2 0 b y a x ； 点 ),( 00 yxP 在 双 曲 线 1 2 2 2 2 b y a x 内 （ 外 ）
18、 域 的 充 要 条 件 是 ) 1(1 2 2 0 2 2 0 b y a x ； 点 ),( 00 yxP 在 抛 物 线 )0(2 2 ppxy 的内（外）域的充要条件是 )2(2 0 2 00 2 0 pxypxy 。以这些充要条件为 背景的范围问题利用上述不等式可获解。 例 11： （1986 年全国高考题）已知椭圆 1 34 : 22 yx C ，试确定m 的取 值范围，使得对于直线 mxyl4: ，椭圆 C上有不同的两点P，Q 关于该直线对称。 解：设 PQyxQyxP),(),( 2211 中点 ),( 00 yxM ，则： 1 34 2 1 2 1 yx 1 34 2 2 2
19、 2 yx 得， )(30)(4)(3 2121212121 xxyyyyxxxx = 00 00 21 21 21 3 2 ) 4 1 (4 2 3)( )(4 xy yx yy xx yy 又 mxy 00 4 由、解得 mymx3, 00 用心爱心专心 又点 ),( 00 yxM 在椭圆内部 1 34 2 0 2 0 yx ，即 1 3 )3( 4 )( 22 mm 13 132 13 132 m 。 背景之六：三角形两边之和大于第三边 椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利 用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。 例 12：已
20、知双曲线 ),(1 2 2 2 2 Rba b y a x 的左、右两个焦点分别为F1、 F2，左准线为l，在双曲线的左支上存在点P，使 |PF1| 是 P到 l 的距离 d 与|PF2| 的等比中项， 求离心率e 的取值范围。 解：由 |PF1|2 = d |PF2| e PF PF d PF | | 1 21 2| 1| 1 12 edPF PFePF 又|PF2| = 2a|PF1| 由、得 |PF1| , 1 2 e a |PF2| 1 2 e ea 在 PF1F2中， |PF1| |PF2| |F1F2| ，即 )1( 1 1 2 1 2 1 2 ee e e c e ea e a
21、121e 。 说明：因为P 点还可能在双曲线顶点上，所以|PF1| |PF2| |F1F2| 。 背景之七：参数的几何意义 解析几何是一门数与形相结合的学科，其中许多的变量都有十分明显的几何意义，以此为背 景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。 例 13：椭圆 C的上准线是抛物线 yx4 2 的准线，且C经过这条抛物 线的焦点，椭圆的离心率 2 1 e ，求椭圆的长半轴a 的范围。 解：设椭圆的上焦点为F(x, y) ，由定义知， 2 1 2 )1( 2 | 22 e yx FA 1)1( 22 yx 。故椭圆上焦点F的轨变是以A(0, 1)为圆心，半径为1 的圆。 由此易知焦点
22、F到准线 y = 1 的距离 p 的范围是 31p 。 又 aae ae a c c a p 2 3 22 用心爱心专心 2 3 2 3 2 3 1aa 背景之八：平均值不等式 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又一方 法。 例 14：已知直线l 过定点 A(3, 0)，倾斜角为，试求的范围，使得曲线 2 :xyC 的所有弦 都不能被直线l 垂直平分。 解：当直线的斜率为0 或不存在时，符合题意。 设直线 l 的方程为 )3(xky ，被它垂直平分的弦的两端点为 ),( 2 11 ttB ， ),( 2 22 ttC ，则 BC 中点 P 2121 2
23、2 2 121 ),() 2 , 2 (ttktt tttt BC 。 当线段 BC被 l 垂直平分时，有 21 21 2 2 2 1 21 )3 2 ( 2 1 tt tt k tt k tt )16 1 ( 2 1 2 k k2 1 4 1 ) 2 ( 2 221 k k tt 。 符合题意的直线斜率 2 1 tan, 2 1 即k 。 ), 2 1 arctan 2 ,0 。 说明：本题的求解利用补集法，即先求弦能被l 垂直平分的直线l 的斜率，取其补集就是满足 题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出的范围。 背景之九：目标函数的值域 要确定变量k 的范围，可先建立以k 为函数
24、的目标函数 )(tfk ，从而使这种具有函数背景 的范围问题迎刃而解。 例 15： ),(yxP 是椭圆 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 上任一点， F1、F2 是两个焦点， 求|PF1| |PF2| 的取值范围。 解： |PF1| |PF2| = 2a |PF1| |PF2| = |PF1|(2a|PF1|) = (|PF1| a)2a2 又 caPFca| 1 当 caPF| 1 时, 有最小值b2; 当 aPF| 1 时, |PF1|PF2| 有最大值a2。 用心爱心专心 故|PF1| |PF2| 的取值范围是 , 22 ab 。 例 16： （2004 年福建省高考题理
25、科22 题）如图， P是抛物线 2 2 1 :xyC 上一点，直线l 过点 P且与抛物线C交于另一点Q。 (1)若直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段PQ中点 M 的轨变方程； (2)若直线 l 不过原点且x 轴交于点 S，与 y 轴交于点T，试求 | | | | SQ ST SP ST 的取值范围。 解： (1)设 ),(),(),( 002211 yxMyxQyxP ，依题意有 0,0,0 211 yyx 。 由 xyxy得, 2 1 2 过点 P的切线的斜率为 1 x 0 1 x 不合题意 0 1 x 直线 l 的斜率 1 1 x k 直线 l 的方程为 )( 1 2 1 1 1 2
26、 1 xx x xy 联立直线l 和抛物线方程，消去y，得 02 2 1 1 2 xx x x M 是 PQ的中点 )( 1 2 1 1 2 10 1 2 10 1 21 0 xx x xy x xx x 消去 x1，得 )0(1 2 1 0 2 0 2 00 x x xy PQ中点 M 的轨迹方程为 )0(1 2 1 2 2 x x xy 。 (2)设直线 l 的方程为 bkxy ， 依题意 ),0(,0,0bTbk则 ， 分别过 P、 Q 作 xPP 轴， 用心爱心专心 yQQ 轴，垂足分别为 P 、 Q ，则 | | | | | | | | | | | | 21 y b y b QQ O
27、T PP OT SQ ST SP ST 由 0)(2 2 1 222 2 bybky bkxy xy 2 21 2 21 ),(2byybkyy 方法 1： 2 1 |2 1 |2) 11 (| | | | | 2 2121 b b yy b yy b SQ ST SP ST y1、y2 可取一切不相等的正数 | | | | SQ ST SP ST 的取值范围是 ),2( 方法 2： 2 2 21 21 )(2 | | | | | b bk b yy yy b SQ ST SP ST 当 0b 时， 22 2)(2)(2 | | | | 22 2 2 b k b bk b bk b SQ ST SP ST 当 0b 时， b bk b bk b SQ ST SP ST)(2)(2 | | | | 2 2 2 又由方程有两个相异实根，得 0)2(44)(4 22222 bkkbbk ，于是 02 2 bk ，即 bk2 2 所以 2 )2(2 | | | | b bb SQ ST SP ST 当 0b 时， k k 2 2 可取一切正数 | | | | SQ ST SP ST 的取值范围是 ),2( 说明：利用图形找到 | | | | SQ ST SP ST 与 P、 Q 两点纵坐标之间的关系，是快速求解第(2)个问题 的关键。 用心爱心专心