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1、带电粒子在磁场中运动的多解问题 山东省郓城第一中学：胡忠启邮编： 274700 带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有： 1. 带电粒子电性不确定 受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在 磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。 例 1. 如图 1 所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场， 磁感应强度为B。 质量为 m， 电量大小为q 的带电粒子在xOy平面里经原点O 射入磁场中， 初速度v0与 x 轴夹角60，试分 析计算： （ 1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子
2、在磁场中运动时间多长？ 分析：若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O1， 粒子向 x 轴偏转，并从A 点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做 匀速圆周运动，圆心为O2，粒子向y轴偏转，并从B 点离开磁场。不论粒 子带何种电荷，其运动轨道半径均为R mv Bq 0 。如图 2，有 O OO ORO AO B 1212 带电粒子沿半径为R 的圆运动一周所用的时间为 T R v m Bq 22 0 （1）若粒子带负电，它将从x 轴上 A 点离开磁场，运动方向发生的偏转角 1 120。A 点与 O 点相距：xR mv Bq 3 3 0 若粒子带正电，它将从y轴上 B 点离开磁场，运动
3、方向发生的偏转角 2 60，B 点与 O 点相 距：yR mv Bq 0 （2）若粒子带负电，它从O 到 A 所用的时间为 tT m Bq 1 1 360 2 3 若粒子带正电，它从O 到 B 所用的时间为 tT m Bq 2 2 3603 图 1 图 2 2. 磁场方向不确定 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应 强度方向不确定而形成多解。 例 2. 一质量为m，电量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定 的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁 场力的三倍，则负电荷做圆周运
4、动的角速度可能是（） A. 4qB m B. 3qB m C. 2qB m D. qB m 分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向 相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知 4 2 B q v m v R ，得v BqR m 4 此种情况下，负电荷运动的角速度为 v R Bq m 4 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，有 2 2 B q v m v R ，得v BqR m 2 此种情况下，负电荷运动的角速度为 v R Bq m 2
5、应选 A、C。 3. 临界状态不惟一 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨 迹可能有多种情况。 例 3. 如图 3 甲所示， A、B 为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强 磁场，磁感应强度大小为B， 方向垂直纸面向里，一个质量为m， 带电量为q的带电粒子以初速v0， 从 A、B 两板的中间， 沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内， 粒子能从磁场内射出？ 分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀 速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使 粒子能射出磁场区，半径r 必须小于 1 4 d（粒子将在磁场 中
6、转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在 磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。图3 乙画出了两种 临界情况的轨迹示意图。 当粒子从左边射出时，若运动轨迹半径最大，则其圆心为图中O1点，半径r d 1 4 。因此粒子从 左边射出必须满足rr1。 图 3 由于r mv qB 0 ，所以v rBq m 0 ，即v Bdq m 0 4 当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为 r2。由几何关系可 得 rr d lr dl d 2 2 2 2 2 2 2 24 ， 因此粒子从右边射出必须满足的条件是 rr2，即v dlqB dm 0 22 4 4 () 所以当v Bdq
7、 m 0 4 或v dlqB dm 0 22 4 4 () 时，粒子可以从磁场内射出。 4. 运动的重复性 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。 例 4. 如图 4 所示，在 x 轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x 轴下方有一匀强 磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x 轴上有一点P，离原点的距离为a。现有一带电量 +q 的粒子，质量为m，从静止开始释放，要使粒子能经过P 点，其初始坐标应满足什么条件？（重 力作用忽略不计） 分析： 要使粒子能经过P 点，其初始位置必须在匀强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置， 讨论如下： （1）若粒子从y 轴上由静止释放，在电场加速下进入磁场做半径为R 的匀速圆周运动。由于粒 子可能偏转一个、二个 , 半圆到达P 点， 故anR n212()， , 设释放处距O 的距离为y1，则有 q E ymv1 2 1 2 B q v m v R 2 由、式有 y B qa n mE n 1 22 2 8 12()，, （2）若粒子在电场中的起点坐标为（xy， 2 ） ，依题意，有 当xa，粒子不可能经过P点； 当xa，不论y2取值如何，粒子均能经过 P点； 当xa，则 图 4 axnR n212()， ,， 同理可得y B q ax n mE n 2 22 2 8 12 () ()，,。