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1、第 1 页（共 16 页） 2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分） 1（4 分）已知集合 A=1， 2， 5 ， B= 2， a ， 若 AB=1， 2， 3， 5 ， 则 a= 2 （4 分）抛物线 y 2=4x的焦点坐标为 3 （4 分）不等式0 的解是 4 （4 分）若复数 z 满足 iz=1+i（i 为虚数单位），则 z= 5 （4 分）在代数式（ x）7的展开式中，一次项的系数是 （用数字 作答） 6 （4 分）若函数 y=2sin （x ） +1 （ 0） 的最小正周期是 ，
2、 则 = 7 （5 分）若函数 f（x）=x a 的反函数的图象经过点（，） ，则 a= 8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积 为 27cm 3，则该几何体的侧面积为 cm2 9 （5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，当x0 时，f（x）=2 xax，且 f（2） =2，则 a= 10 （5 分）若无穷等比数列 an 的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为 a，且 Sn=a，则 a= 11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有种不 同的选
3、法（用数字作答） 12 （5分）在 ABC中，BC边上的中垂线分别交BC ，AC于点 D，E若?=6， | =2，则 AC= 二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分） 13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（） 第 2 页（共 16 页） ABCD 14 （5 分）设 a，bR，若 ab，则（） ABlgalgb Csin asin b D2a2b 15 （5 分）已知等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0” 是“S4+S6 2S5” 的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 16 （5 分）直线 x=2 与双曲线y
4、2=1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲 线上任一点，若=a+b（a，bR，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立 的是（） Aa2+b21 B| ab| 1 C| a+b| 1 D| ab| 2 三、解答题（本大题共有5 题，满分 76分） 17 （14 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=BC=2 ，A1C 与底面 ABCD所 成的角为 60 ， （1）求四棱锥 A1ABCD的体积； （2）求异面直线 A1B与 B1D1所成角的大小 18 （14 分）已知 f（x）=2sinxcosx +2cos 2x1 （1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （
5、2）在 ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若 a=，b=，且 f（）=，求边 c 的值 19（14 分） 2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目 规 第 3 页（共 16 页） 划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资2 千万元用于此项目 .2016 年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为 上一年的基础上增长50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （nN*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 =累计净收入累计投入， 单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利 （1
6、）试求 f （n）的表达式； （2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由 20 （16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a0，a1）的两 个焦点分别是 F1，F2，直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 A，B 两点 （1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求a 的值； （2）若 k=1，且OAB是以 O为直角顶点的直角三角形， 求 a 与 m 满足的关系； （3）若 a=2，且 kOA?kOB=，求证： OAB的面积为定值 21 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x2（x1x2） ， 都有|
7、f（x1）f（x2）| k| x1x2| 成 立，则称函数 f（x）在其定义域D 上是“k利普希兹条件函数 ” （1）若函数 f（x）=， （1x4）是“k利普希兹条件函数 ” ，求常数 k 的最 小值； （2）判断函数 f（x）=log2x 是否是 “2 利普希兹条件函数 ” ，若是，请证明，若 不是，请说明理由； （3）若 y=f（x） （xR ）是周期为 2 的“1 利普希兹条件函数 ” ，证明：对任意 的实数 x1，x2，都有 | f（x1）f（x2）| 1 第 4 页（共 16 页） 2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12 题，满分
8、54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分） 1 （4 分）已知集合 A= 1，2，5，B= 2，a，若 AB=1，2，3，5 ，则 a=3 【解答】 解：集合 A= 1，2，5 ，B= 2，a， AB=1，2，3，5 ， a=3 故答案为： 3 2 （4 分）抛物线 y2=4x的焦点坐标为（1，0） 【解答】 解：抛物线 y2=4x是焦点在 x轴正半轴的标准方程， p=2焦点坐标为：（1，0） 故答案为：（1，0） 3 （4 分）不等式0 的解是（1，0） 【解答】 解：不等式0，即 x（x+1）0，求得 1x0， 故答案为：（1，0） 4 （4 分）若复数 z 满足
9、iz=1+i（i 为虚数单位），则 z=1i 【解答】 解：由 iz=1+i，得 z=1i 故答案为： 1i 5 （4 分）在代数式（ x）7的展开式中，一次项的系数是21 （用数字 作答） 第 5 页（共 16 页） 【解答】解： （x） 7 的展开式的通项为 =， 由 73r=1，得 r=2， 一次项的系数是 故答案为： 21 6 （4 分）若函数 y=2sin（x）+1（ 0）的最小正周期是 ，则 =2 【解答】 解：根据正弦函数的图象与性质，知 函数 y=2sin（x）+1（ 0）的最小正周期是 T= ，解得 =2 故答案为： 2 7 （5 分）若函数 f（x）=x a 的反函数的图象
10、经过点（，） ，则 a= 【解答】 解：若函数 f（x）=x a 的反函数的图象经过点（，） ， 则： （，）满足 f（x）=x ， 所以：， 解得：， 故答案为： 8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积 为 27cm 3，则该几何体的侧面积为 18 cm2 【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆 柱体， 设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为 V=a 2?a=27 ， 第 6 页（共 16 页） 解得 a=3cm； 该圆柱的侧面积为S=2 33=18cm 2 故答案为： 18 9 （5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，
11、当x0 时，f（x）=2 xax，且 f（2） =2，则 a= 【解答】 解：函数 y=f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=2 xax， x0 时， f（x）=2 xa（x） ， f（x）=2 xax， f（2）=2， f（2）=2 22a=2， 解得 a= 故答案为： 10 （5 分）若无穷等比数列 an 的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为 a，且 Sn=a，则 a=2 【解答】 解：无穷等比数列 an的各项和为 Sn，首项 a1=1，公比为 a， 且Sn=a， 可得=a，即有=a， 即为 2a25a+2=0， 解得 a=2或， 由题意可得 0| q| 1， 即有 0| a| 1，
12、 检验 a=2成立； a=不成立 故答案为： 2 第 7 页（共 16 页） 11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有780种不 同的选法（用数字作答） 【解答】 解：根据题意，要求服务队中至少有1 名女生，则分 3 种情况讨论： 、选出志愿者服务队的4 人中有 1 名女生，有 C5 3C 3 1=30 种选法， 这 4 人选 2 人作为队长和副队有A42=12种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况， 此时有 3012=360 种不同的选法， 、选出志愿者服务队的4 人中有
13、 2 名女生，有 C52C32=30 种选法， 这 4 人选 2 人作为队长和副队有A42=12种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况， 此时有 3012=360 种不同的选法， 、选出志愿者服务队的4 人中有 3 名女生，有 C51C33=5 种选法， 这 4 人选 2 人作为队长和副队有A42=12种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况， 此时有 512=60种不同的选法， 则一共有 360+360+60=780； 故答案为： 780 12 （5分）在 ABC中，BC边上的中垂线分别交BC ，AC于点 D，E若?=6， | =2，则 AC=4 【解答】 解：建立平面直角坐标系如图所
14、示， 设 B（a，0） ，C（a，0） ，E（0，b） ，ABC= ， 由| =2，知 A（a+2cos ，2sin ） ， =（a2cos ，b2sin ） ， =（2a，0） ， ?=2a（a2cos ）+0=2a 24acos=6 ， a 22acos=3 ； 又=（2a2cos ，2sin ） ， 第 8 页（共 16 页） =（2a2cos ）2+（2sin ） 2 =4a 28acos +4 =4（a22acos ）+4 =43+4 =16， | =4，即 AC=4 故答案为： 4 二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分） 13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（）
15、ABCD 【解答】 解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc， 由题意得，=adbc 故选 B 14 （5 分）设 a，bR，若 ab，则（） ABlgalgb Csin asin b D2a2b 【解答】 解：由 ab，利用指数函数的单调性可得：2a2b 再利用不等式的性质、 对数函数的定义域与单调性、 三角函数的单调性即可判断 出 A，B，C不正确 故选： D 第 9 页（共 16 页） 15 （5 分）已知等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0” 是“S 4+S6 2S5” 的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解
16、答】 解： S4+S62S5， 4a1+6d+6a1+15d2（5a1+10d） ， 21d20d， d0， 故“d0” 是“S4+S62S5” 充分必要条件， 故选： C 16 （5 分）直线 x=2 与双曲线y2=1 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲 线上任一点，若=a+b（a，bR，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立 的是（） Aa2+b21 B| ab| 1 C| a+b| 1 D| ab| 2 【解答】 解：双曲线y2=1的渐近线为： y=x 把 x=2代入上述方程可得： y=1 不妨取 A（2，1） ，B（2，1） =a+b=（2a+2b，ab） 代入双曲线方程可得：（
17、ab）2=1， 化为 ab= =ab，化为： | a+b| 1 故选： C 三、解答题（本大题共有5 题，满分 76分） 17 （14 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=BC=2 ，A1C 与底面 ABCD所 第 10 页（共 16 页） 成的角为 60 ， （1）求四棱锥 A1ABCD的体积； （2）求异面直线 A1B与 B1D1所成角的大小 【解答】 解： （1）长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=BC=2 ， AA1平面 ABCD ，AC=2， A1CA是 A1C与底面 ABCD所成的角， A1C与底面 ABCD所成的角为 60 ， A1CA=60 ，AA1=A
18、C?tan60=2 ?=2， S正方形ABCD=ABBC=2 2=4， 四棱锥 A1ABCD的体积： V= （2）BDB1D1， A1BD是异面直线 A1B与 B1D1所成角（或所成角的补角） BD=，A1D=A1B=2， cos A1BD= A1BD=arccos 异面直线 A1B与 B1D1所成角是 arccos 第 11 页（共 16 页） 18 （14 分）已知 f（x）=2sinxcosx +2cos 2x1 （1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时x 的值； （2）在 ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若 a=，b=，且 f（）=，求边 c 的值 【解答】 解
19、：f（x）=2sinxcosx +2cos 2x1= sin2x+cos2x=2sin （2x+） （1）当 2x+=时，即 x=（kZ） ，f（x）取得最大值为 2； （2）由 f（）=，即 2sin（A+）= 可得 sin（A+）= 0A A A=或 A=或 当 A=时，cosA= a=，b=， 解得： c=4 当 A=时，cosA=0 a=，b=， 解得： c=2 第 12 页（共 16 页） 19（14 分） 2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目 规 划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资2 千万元用于此项目 .2016 年该项目的净收入为5 百
20、万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为 上一年的基础上增长50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （nN*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 =累计净收入累计投入， 单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利 （1）试求 f （n）的表达式； （2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由 【解答】 解： （1）由题意知，第1 年至此后第 n（nN*）年的累计投入为8+2 （n1）=2n+6（千万元）， 第 1 年至此后第 n（nN *）年的累计净收入为 + + + =（千万元） f（n）=（2n+6）=2n7（千万元） （
21、2）方法一： f（n+1） f（n）=2（n+1） 7 2n 7 = 4 ， 当 n3 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递减； 当 n4 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递增 又 f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）= 232523=20 该项目将从第 8 年开始并持续赢利 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利； 方法二：设 f（x）=2x7（x1） ，则 f （x）=， 令 f（x）=0，得=5，x4 第 13 页（共 16 页） 从而当 x 1，4）时， f（x）0，f（x）递减； 当 x（4，+）时， f（x）0，f（x）递增 又 f
22、（1）=0，f（7）=521=0，f（8）= 232523=20 该项目将从第 8 年开始并持续赢利 答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利 20 （16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a0，a1）的两 个焦点分别是 F1，F2，直线 l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于 A，B 两点 （1）若 M 为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求a 的值； （2）若 k=1，且OAB是以 O为直角顶点的直角三角形， 求 a 与 m 满足的关系； （3）若 a=2，且 kOA?kOB=，求证： OAB的面积为定值 【解答】 解： （1）M 为椭圆短轴上的一个顶点，且
23、MF1F2是直角三角形， MF1F2为等腰直角三角形， OF1=OM， 当 a1 时，=1，解得 a=， 当 0a1 时，=a，解得 a=， （2）当 k=1时，y=x+m，设 A（x1，y1） ， （x2，y2） ， 由，即（ 1+a2）x2+2a2mx+a2m2a2=0， x1+x2=，x1x2=， y1y2=（x1+m） （x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=， OAB是以 O 为直角顶点的直角三角形， ?=0， 第 14 页（共 16 页） x1x2+y1y2=0， +=0， a 2m2a2+m2a2=0 m2（a2+1）=2a 2， （3）证明：当 a=2时，x 2+4y2
24、=4， 设 A（x1，y1） ， （x2，y2） ， kOA?kOB=， ?=， x1x2=4y1y2， 由，整理得，（1+4k2）x 2+8kmx+4m24=0 x1+x2=，x1x2=， y1y2=（kx1+m） （kx2+m）=k 2x 1x2+km（x1+x2）+m 2 =+m2=， =4， 2m24k2=1， | AB| =?=? =2?= O到直线 y=kx+m 的距离 d=， SOAB=| AB| d=?=1 第 15 页（共 16 页） 21 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 D 内的任意 x1，x2（x1x2） ， 都有| f（x1）f（x2）| k| x1
25、x2| 成 立，则称函数 f（x）在其定义域D 上是“k利普希兹条件函数 ” （1）若函数 f（x）=， （1x4）是“k利普希兹条件函数 ” ，求常数 k 的最 小值； （2）判断函数 f（x）=log2x 是否是 “2 利普希兹条件函数 ” ，若是，请证明，若 不是，请说明理由； （3）若 y=f（x） （xR ）是周期为 2 的“1 利普希兹条件函数 ” ，证明：对任意 的实数 x1，x2，都有 | f（x1）f（x2）| 1 【解答】 解： （1）若函数 f（x）=， （1x4）是“k利普希兹条件函数 ” ，则 对于定义域 1，4 上任意两个 x1，x2（x1x2） ，均有 | f（x
26、1）f（x2）| k| x1 x2| 成立， 不妨设 x1x2，则 k=恒成立 1x2x14， k 的最小值为 （2）f（x）=log2x 的定义域为（ 0，+） ， 令 x1=，x2=，则 f（）f（）=log2log2=1（ 2）=1， 而 2| x1x2| =，f（x1）f（x2）2| x1x2| ， 函数 f（x）=log2x 不是“2 利普希兹条件函数 ” 证明： （3）设 f（x）的最大值为M，最小值为 m，在一个周期 0，2 内 f（a） =M，f（b）=m， 则| f（x1）f（x2）| Mm=f（a）f（b）| ab| 若| ab| 1，显然有 | f（x1）f（x2）| | ab| 1 若| ab| 1，不妨设 ab，则 0b+2a1， 第 16 页（共 16 页） | f（x1）f（x2）| Mm=f（a）f（b+2）| ab2| 1 综上， | f（x1）f（x2）| 1