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1、第 1 页（共 22 页） 2018 年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的， 请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）. 1 （5 分）已知集合 A=x| x24x+30 ，B=（1，3 ，则 AB=（） A 1，3B （1，3C 1，3） D （1，3） 2 （5 分）已知复数 z1=3+i，z2=2i则 z1z2=（） A1 B2 C 1+2i D12i 3 （5 分）在等比数列 an中，a3=2，a6=16，则数列 an 的公比是（） A2 BC 2 D4 4 （5 分）从编号为 1，2，3， ，100
2、（编号为连续整数）的100 个个体中随机 抽取得到编号为10，30，50，70，90 的样本，得到这个样本的抽样方法最有可 能是（） A系统抽样B分层抽样 C简单随机抽样D先分层再简单随机抽样 5 （5 分）在 ABC中，?=，则 ABC是（） A等边三角形B等腰三角形C 锐角三角形D直角三角形 6 （5 分）已知命题 p： 2x2y， 命题 q： log2xlog2y，则命题 p 是命题 q 的 （） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又不必要条件 7 （5 分）运行如图所示的程序框图，输出n 的值为（） 第 2 页（共 22 页） A5 B6 C 100 D10
3、1 8 （5 分）点 P是双曲线 x 2 =1（b0）上一点， F1、F2是双曲线的左、右焦 点，| PF1|+| PF2| =6，PF1PF2，则双曲线的离心率为（） AB2 C D 9 （5 分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这 个几何体的体积是（） A27 B123C32（1） D12 10 （5 分）将函数 f（x）=cosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的， 再把所得图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（） Ag（x）=cos（x） Bg（x）=cos（x） Cg（x）=cos（2x+）Dg（x）=cos（2x） 11 （5 分）四棱锥
4、PABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形 ABCD是 第 3 页（共 22 页） 正方形，PA 平面 ABCD ， 当PAB面积最大时，四棱锥 PABCD的体积为（） A8 B C D4 12 （5 分）如图， O 是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p 0）于 A、B 两点，直线 BO 与过点 A 平行于 x 轴的直线相交于点M，过点 M 与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点 N则| ME| 2| NE|2=（ ） A2p 2 B2p C 4p Dp 二、填空题（每小题5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上相应位置）. 13 （5 分）式子（ 1+3）n展开
5、式中，各项系数和为16，则xdx= 14 （5 分）已知 x，y 满足，则 2x+y 的最大值是 15（5 分） 已知函数 f （x） =mlnxx （mR） 有两个零点 x1、 x2（x1x2） ， e=2.71828 是自然对数的底数，则x1、x2、e 的大小关系是（用“ ” 连接） 16 （5 分）在锐角 ABC中，A、B、C成等差数列， AC=，?的取值范围 是 三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求 作答 （一）必考题：共60 分 17 （12 分）已知向量=（sin2x，cos
6、2x） ， =（，） ，f（x）= ? （1）求函数 f（x）的周期； （2）在 ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2 ，求 ABC的面积 S 18 （12 分）在数列 an 中，a1=1，当 n1 时，2an+anan1an1=0，数列 an的 第 4 页（共 22 页） 前 n 项和为 Sn求证： （1）数列 +1 是等比数列； （2）Sn2 19 （12 分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000 名个人年收入在区间 1， 41（单位：万元）上，从这1000 名中随机抽取 100 名，得到这 100 名年收入 x （万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是 1，5 ， ，
7、 （37， 41 已接受职业技术 教育 未接受职业技术 教育 总计 个人年收入超过 17 万 元 340 个人年收入不超过17 万元 总计6001000 （1）从这 100 名年收入在（ 33，41 上的返乡创业人员中随机抽取3 人，其中 收入在（ 37，41 上有 人，求随机变量的分布列和 E ； （2）调查发现这1000 名返乡创业人员中有600 人接受了职业技术教育，其中 340 人个人年收入超过17 万元请完成个人年收入与接受职业教育22 列联 表， 是否有 99%握认为该市这1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技 术教育有关？请说明理由 参考公式及数据 K 2 检验临界值表
8、： K 2= （其中 n=a+b+c+d） P（K 2 k0） 0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6357.87910.828 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知，如图，四边形ABCD是直角梯形， ABAD EF是平面 ABCD 外的一条直线，ADE是等边三角形，平面 ADE平面 ABCD ， ABEF DC ， AB=2， EF=3 ，DC=AD=4 （1）求证：平面 BCF 平面 ABCD ； （2）求平面 ADE与平面 BCF所成的锐二面角的余弦值 21 （12 分）已知函数 f（x）=lnxax+a（aR） （1）当 a=1
9、时，求函数 f（x）的单调区间； （2）记 a 表示不超过实数a 的最大整数，不等式f（x）x 恒成立，求 a 的 最大值 （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分选修4-4 参数方程与极坐标 22 （10分）在直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，以 x轴为极轴建立极 坐标系已知直线l：（t 为参数） ，曲线C 的极坐标方程是 2 6cos+1=0，l 与 C相交于两点 A、B （1）求 l 的普通方程和 C的直角坐标方程； （2）已知 M（0，1） ，求| MA| ?| MB| 的值 第 6 页（共 22 页） 选修 4-5 不
10、等式选讲 23已知正数 a，b，c满足： a+b+c=1，函数 f（x）=| x|+| x+| （1）求函数 f（x）的最小值； （2）求证： f（x）9 第 7 页（共 22 页） 2018 年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的， 请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）. 1 （5 分）已知集合 A=x| x24x+30 ，B=（1，3 ，则 AB=（） A 1，3B （1，3C 1，3） D （1，3） 【解答】 解：集合 A= x| x24x+30 = x| 1x3， B=（1，3
11、 ， AB=（1，3 故选： B 2 （5 分）已知复数 z1=3+i，z2=2i则 z1z2=（） A1 B2 C 1+2i D12i 【解答】 解： z1=3+i，z2=2i， z1z2=（3+i）（ 2i）=1+2i 故选： C 3 （5 分）在等比数列 an中，a3=2，a6=16，则数列 an 的公比是（） A2 BC 2 D4 【解答】 解：根据题意，等比数列 an中，a3=2，a6=16， 则 q3=8， 解可得 q=2； 故选： C 4 （5 分）从编号为 1，2，3， ，100（编号为连续整数）的100 个个体中随机 抽取得到编号为10，30，50，70，90 的样本，得到这
12、个样本的抽样方法最有可 第 8 页（共 22 页） 能是（） A系统抽样B分层抽样 C简单随机抽样D先分层再简单随机抽样 【解答】 解：根据题意，抽取的样本间隔相等，为20； 则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样 故选： A 5 （5 分）在 ABC中，?=，则 ABC是（） A等边三角形B等腰三角形C 锐角三角形D直角三角形 【解答】 解：?=， ?=?（）=?=0， ， C=90 ， ABC是直角三角形， 故选 D 6 （5 分）已知命题 p： 2x2y， 命题 q： log2xlog2y，则命题 p 是命题 q 的 （） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又
13、不必要条件 【解答】 解：命题 p：2x2y，xy， 命题 q：log2xlog2y，0xy， 命题 p 是命题 q 的必要不充分条件 故选： B 7 （5 分）运行如图所示的程序框图，输出n 的值为（） 第 9 页（共 22 页） A5 B6 C 100 D101 【解答】 解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件； 第四 次执行循环体后， T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后， T=lg120，n=6，满足退出循
14、环的条件； 故输出的 n 值为 6， 故选： B 8 （5 分）点 P是双曲线 x2=1（b0）上一点， F1、F2是双曲线的左、右焦 点，| PF 1|+| PF2| =6，PF1PF2，则双曲线的离心率为（ ） AB2 C D 【解答】 解：根据题意，点 P是双曲线 x2=1（b0）上一点， 则有| PF1| | PF2| =2a=2， 设| PF1| | PF2| ，则有 | PF1| | PF2| =2， 又由| PF1|+| PF2| =6， 解可得： | PF 1| =4，| PF2| =2， 又由 PF1PF2，则有 | PF1| 2+| PF 2| 2=4c2=20， 则 c=
15、， 第 10 页（共 22 页） 又由 a=1， 则双曲线的离心率e=； 故选： C 9 （5 分）如图，虚线网格小正方形边长为1，网格中是某几何体的三视图，这 个几何体的体积是（） A27 B123C32（1） D12 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体，挖去一个圆锥所 得的组合体， 长方体的长，宽，高分别为：2，2，3，体积为： 12， 圆锥的底面半径为1，高为 3，体积为： ， 故组合体的体积为： V=12 ， 故选： D 10 （5 分）将函数 f（x）=cosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的， 再把所得图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）
16、Ag（x）=cos（x） Bg（x）=cos（x） Cg（x）=cos（2x+）Dg（x）=cos（2x） 【解答】 解：将函数 f（x）=cosx 图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐 标不变） ， 可得函数 y=cos2x的图象； 第 11 页（共 22 页） 再将得到的图象向右平移个单位长度，可得函数y=cos 2（x） =cos （2x ）的图象； 故选： D 11 （5 分）四棱锥 PABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形 ABCD是 正方形，PA 平面 ABCD ， 当PAB面积最大时，四棱锥 PABCD的体积为（） A8 B C D4 【解答】 解：如图，四边形ABCD是正
17、方形， PA平面 ABCD ， BC 面 PAB ，CD 面 PAD ， PCB ，PCD ，PAC是有公共斜边 PC的直角三角形，取PC中点 O OA=OB=OC=OP，O为四棱锥 PABCD的外接球的球心，直径PC=2， 设四棱锥的底面边长为a，PA= PAB面积 S=3， 当且仅当 a2=12a2，即 a=时， PAB面积最大，此时PA=， 四棱锥 PABCD的体积 V=， 故选： D ， 12 （5 分）如图， O 是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p 0）于 A、B 两点，直线 BO 与过点 A 平行于 x 轴的直线相交于点M，过点 M 第 12 页（共 22
18、 页） 与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点 N则| ME| 2| NE|2=（ ） A2p2B2p C 4p Dp 【解答】 解：过 E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p0）于 A、B 两点为 任意的， 不妨设直线 AB为 x=p， 由，解得 y=2p， 则 A（p，p） ，B（p，p） ， 直线 BM 的方程为 y=x， 直线 AM 的方程为 y=p， 解得 M（p，p） ， | ME| 2=（2p）2+2p2=6p2， 设过点 M 与此抛物线相切的直线为y+p=k（x+p） ， 由，消 x 整理可得 ky22py2p+2p2k=0， =4p 24k（2 p+2p2k）=0，
19、 解得 k=， 过点 M 与此抛物线相切的直线为y+p=（x+p） ， 由，解得 N（p，2p） ， | NE| 2=4p2， | ME| 2| NE|2=6p24p2=2p2， 故选： A 第 13 页（共 22 页） 二、填空题（每小题5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上相应位置）. 13 （5 分）式子（ 1+3）n展开式中，各项系数和为16，则xdx= 【解答】 解：令 x=1，则展开式中各项系数和为An=（1+3）n=22n，由 22n=16，则 n=2， xdx=xdx=x2= 22（ 1）2 = ， 故答案为： 14 （5 分）已知 x，y 满足，则 2x+y 的最大值是8
20、 【解答】 解：作出 x，y 满足对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 z=2x+y 得 y=2x+z， 平移直线 y=2x+z， 由图象可知当直线y=2x+z经过点 A 时， 直线 y=2x+z 的截距最大， 此时 z 最大 由，解得 A（3，2） ， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=23+2=8 即目标函数 z=2x+y 的最大值为： 8 故答案为： 8 第 14 页（共 22 页） 15（5 分） 已知函数 f （x） =mlnxx （mR） 有两个零点 x1、 x2（x1x2） ， e=2.71828 是自然对数的底数，则x1、x2、e 的大小关系是x1ex2（用“ ” 连接）
21、【解答】 解：函数 f（x）=mlnxx有两个零点， m0，由方程 mlnxx=0，得 mlnx=x，即 lnx=， 若 m0，两函数 y=mlnx与 y=的图象仅有一个交点，不合题意； 若 m0，设直线 y=与曲线 y=lnx相切于（ x0，lnx0） ， 则， 切线方程为， 把原点坐标（ 0，0）代入，可得 lnx0=1，即 x0=e 两函数 y=mlnx与 y=的图象有两个交点，两交点的横坐标分别为x1、x2（x1 x2） ， x1ex2 故答案为： x1ex2 16 （5 分）在锐角 ABC中，A、B、C成等差数列， AC=，?的取值范围 是（1， 【解答】 解：锐角 ABC中，A、B
22、、C成等差数列，其对应的边分别为a，b，c， 2B=A +C， 第 15 页（共 22 页） 又 A+B+C= ， B=， 由正弦定理可得=2， a=2sinA ，c=2sinC=2sin （A）=2（cosA +sinA）=cosA +sinA， ac=2sinA （cosA+sinA）=sin2A+2sin 2A= sin2Acos2A +1=2sin（2A） +1， 0A，0A A 2A， sin（2A）1， 22sin（2A）+13， 2ac3， ?=accosB= ac， ?的取值范围是（ 1， 故答案为：（1， 三、解答题：共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721
23、 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求 作答 （一）必考题：共60 分 17 （12 分）已知向量=（sin2x，cos2x） ， =（，） ，f（x）= ? （1）求函数 f（x）的周期； （2）在 ABC中，f（A）=，AB=2，BC=2 ，求 ABC的面积 S 【解答】 解： （1）由 f（x）= ? =sin2xcos2x=sin （2x） 第 16 页（共 22 页） 函数 f（x）的周期 T=； （2）由 f（A）=，即 sin（2A）= 0A ，AB=c=2BC=a=2 ， A= 正弦定理：， 可得 sinC=， 0C ， C=或 当 C=，则
24、 B=，ABC的面积 S= acsinB=2， 当 C=，则 B=，ABC的面积 S= acsinB= 18 （12 分）在数列 an 中，a1=1，当 n1 时，2an+anan1an1=0，数列 an的 前 n 项和为 Sn求证： （1）数列 +1 是等比数列； （2）Sn2 【解答】 证明： （1）数列 an 中，a1=1，当 n1 时，2an+anan1an1=0， 整理得：， 转化为：， 即：（常数） 则：数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 （2）由于数列 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 则：， 第 17 页（共 22 页） 所以：（n=1符合） ， 则：+
25、+=1+（1）2 19 （12 分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000 名个人年收入在区间 1， 41（单位：万元）上，从这1000 名中随机抽取 100 名，得到这 100 名年收入 x （万元，下同）的频率分布直方图，如图，这些数据区间是 1，5 ， ， （37， 41 已接受职业技术 教育 未接受职业技术 教育 总计 个人年收入超过 17 万 元 340 个人年收入不超过17 万元 总计6001000 （1）从这 100 名年收入在（ 33，41 上的返乡创业人员中随机抽取3 人，其中 收入在（ 37，41 上有 人，求随机变量的分布列和 E ； （2）调查发现这1000 名返乡创
26、业人员中有600 人接受了职业技术教育，其中 340 人个人年收入超过17 万元请完成个人年收入与接受职业教育22 列联 表， 是否有 99%握认为该市这1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技 术教育有关？请说明理由 参考公式及数据 K 2 检验临界值表： K 2= （其中 n=a+b+c+d） P（K 2 k0） 0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6357.87910.828 第 18 页（共 22 页） 【解答】 解： （1）收入在（ 33，37 上的返乡创业人员有1000.0104=4 人， 在（37，41 上的返乡创业人员有1000
27、.0054=2 人， 从这 6 人中随机抽取3 人，收入在（ 37，41 上有 人， 则 的可能取值为 0，1，2； 计算 P（=0 ）=，P（=1 ）= ，P（=2 ）=； 随机变量 的分布列为 012 P（ ） 数学期望为 E= 0+1+2=1； （2）根据题意，这 1000 名返乡创业人员中年收入超过17 万元的人数是 1000 1（0.01+0.02+0.03+0.04）4 =600，其中参加职业培训的人数是340 人， 由此填写 22 列联表如下； 已接受职业技术 教育 未接受职业技术 教育 总计 个人年收入超过 17 万 元 340260600 个人年收入不超过17 万元 2601
28、40400 总计6004001000 计算 K 2= 6.9446.635， 所以有 99%的把握认为该市这1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业 第 19 页（共 22 页） 技术教育有关 20 （12 分）已知，如图，四边形ABCD是直角梯形， ABAD EF是平面 ABCD 外的一条直线，ADE是等边三角形，平面 ADE平面 ABCD ， ABEF DC ， AB=2， EF=3 ，DC=AD=4 （1）求证：平面 BCF 平面 ABCD ； （2）求平面 ADE与平面 BCF所成的锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：取线段 AD的中点 H，在等腰三角形ADE中有 EHAD
29、又平面 ADE 平面 ABCD ，EH 平面 ABCD ， 连接 GH，由于 ABCD EF ，且 AB=2，CD=4 ， 在梯形 ABCD中，HGAB且 HG=3，HG EF 又 HG=EF ，四边形 EFGH为平行四边形， FG EH且 FG=EH ，FG 平面 ABCD FG ? 平面 BCF 平面 BCF 平面 ABCD ； （2）解：如图，过 G作 MN 平行 AD，交 DC于 M，交 AB延长线于点 N， 连接 FM，则面 FMG面 ADE 二面角 CFG M 等于平面 ADE与平面 BCF所成的锐二面角， ， CGM为所求 AB=2 ，EF=3 ，DC=AD=4 HG=3 MG=
30、2，CM1 在 RtCMG中，GM=2，CG= cos= 第 20 页（共 22 页） 平面 ADE与平面 BCF所成的锐二面角的余弦值为 21 （12 分）已知函数 f（x）=lnxax+a（aR） （1）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）记 a 表示不超过实数a 的最大整数，不等式f（x）x 恒成立，求 a 的 最大值 【解答】 解： （1）a=1时，f（x）=lnxx+1， （x0） f （x）=1=， 令 f （x）=0，解得 x=1 x（0，1）时， f （x）0，此时函数 f（x）单调递增； x 1，+）时， f （x）0，此时函数 f（x）单调递减 （2）不等式
31、 f（x）x 恒成立，即 lnx（a+1）x+a0 恒成立， x（0，+） 令 g（x）=lnx（a+1）x+a，x（0，+） g（x）=（a+1） a1 时，g （x）0，此时函数 g（x）单调递增 而 g（e）=1（a+1）e+a=（1e） （1+a）0可得 xe 时，g（x）0，不满 足题意，舍去 a1 时，g （x）=，可得 x=时， 函数 g （x）取得极大值即最大值=（a+1）+a=ln（a+1） +a1， 令 a+1=t0，h（t）=lnt+t2 第 21 页（共 22 页） h （t）=+1=， 可得 h（t）在（ 0，1）上单调递减，在（ 1，+）上单调递增 h（3）=ln3
32、+10，h（4）=ln4+20 （a+1）max（3，4） ， a =2 （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分选修4-4 参数方程与极坐标 22 （10分）在直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，以 x轴为极轴建立极 坐标系已知直线l：（t 为参数） ，曲线C 的极坐标方程是 2 6cos+1=0，l 与 C相交于两点 A、B （1）求 l 的普通方程和 C的直角坐标方程； （2）已知 M（0，1） ，求| MA| ?| MB| 的值 【解答】 解： （1）直线 l 的方程为：（t 为参数） ， 转化为： xy1=0 曲线 C的
33、极坐标方程是 26cos +1=0， 转化为： x 2+y26x+1=0 （2）把直线 l 的方程：（t 为参数） ，代入 x 2+y26x+1=0得到： ，A 点的参数为 t1，B点的参数的为 t2， 则：| MA| ?| MB| =t1?t2=2 选修 4-5 不等式选讲 23已知正数 a，b，c满足： a+b+c=1，函数 f（x）=| x|+| x+| 第 22 页（共 22 页） （1）求函数 f（x）的最小值； （2）求证： f（x）9 【解答】 解（1）f（x）=| x|+| x+| =|+| x+| 正数 a，b，c，且 a+b+c=1， 则（a+b+c）（）=3+（） =9 当且仅当 a=b=c= 时取等号 f（x）的最小值为 9 （2）证明： f（x）=| x|+| x+| =|+| x+| 正数 a，b，c，且 a+b+c=1， 则（a+b+c）（）=3+（） =9 当且仅当 a=b=c= 时取等号 f（x）9