2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科).pdf

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2、数学， “ 更相减损术 ” 便是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b 分别为 96、42，则输出的i为（） A4 B5 C 6 D7 5 （5 分）如果实数 x，y 满足关系，又恒成立，则的取值范围为（） A （，B （， 3C ，+）D （3，+） 6 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第 2 页（共 24 页） ABCD 7 （5 分）已知等比数列 an 中，a5=3，a4a7=45，则的值为（） A3 B5 C 9 D25 8 （5 分）已知 F是双曲线=1（a0，b0）的右焦点，若点F 关于双曲

3、线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（） ABC D 9 （5 分）函数 f（x）在定义域 R内可导，若 f（1+x）=f（3x），且当 x（，2）时，（x2）f（x）0，设 a=f（0），b=f（），c=f（3），则 a，b，c 的大小关系是（） Aabc Bcab Ccba Dbca 10 （5 分）已知函数 f（x）=asinx2cosx的一条对称轴为 x=，且 f（x1） ?f（x2）=16，则| x1+x2| 的最小值为（） ABC D 11 （5 分）对于向量 a，b，定义 ab 为向量 a，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定

4、ab 的模| ab| =| a| b| sin （其中为向量 a 与 b 的夹角），a b 的方向与向量 a，b 的方向都垂直，且使得a，b，ab 依次构成右手系如图，在平行六面体ABCD EFGH中， EAB= EAD= BAD=60 ，AB=AD=AE=2 ，则=（）第 3 页（共 24 页） A4 B8 C D 12 （5 分）若存在实数 x 使得关于 x 的不等式（ e xa）2+x22ax+a2 成立，则实数 a的取值范围是（） A B C ，+）D，+）二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分 13 （5 分）已知等差数列 an前 15 项的和 S15=30，则

5、a2+a9+a13= 14 （5 分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 15 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数 f （x）的图象如图所示，则对于任意 x1，x2R（x1x2），下列结论正确的序号是 f（x）0 恒成立；（x1x2） f（x1）f（x2） 0；（x1x2） f（x1）f（x2） 0； f（）f（） f（）f（） 16 （5 分）在ABC中，D、E分别是 AB、AC的中点，M 是直线 DE上的动点若 ABC的面积为 2，则?+ 2 的最小值为第 4 页（共 24 页）三、解答题 17 （12 分）在 ABC中，

6、角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 acosB= （3c b）cosA （1）求 cosA的值；（2）若 b=3，点 M 在线段 BC上，=2，| =3，求 ABC的面积 18 （12 分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆 O 的直径，满足 ABCD ，又 DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角（）若面 BCD与面 ABE的交线为 l，证明： l面 CDE ；（）若 AB=2CD ，求平面 BCD的与平面 ABE所成锐二面角的余弦值 19 （12 分）如图为 2017 届淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已

7、知8090 分数段的学员数为21 人（）求该专业毕业总人数N 和 9095 分数段内的人数 n；（）现欲将 9095 分数段内的 n 名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（）若 9095 分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量表示 n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求的分布列和数学期望第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知椭圆C：+=1（ab0），其左右焦点为F1，F2，过 F1 直线 l：x+my+=0与椭圆 C交于 A，B两点，且椭圆离心率e=；

8、（）求椭圆 C的方程；（）若椭圆存在点 M，使得 2=+，求直线 l 的方程 21 （12 分）设函数 f（x）=x 2alnx，其中 aR （1）若函数 f（x）在，+）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设正实数 m1，m2满足 m1+m2=1，当 a0 时，求证：对任意的两个正实数 x1，x2，总有 f（m1x1+m2x2）m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当 a=2时，若正实数 x1，x2，x3满足 x1+x2+x3=3，求 f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点

9、， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 =2 sin（），直线 l 的参数方程为t 为参数，直线 l 和圆 C交于 A，B两点（）求圆 C的直角坐标方程；（）设 l 上一定点 M（0，1），求| MA| ?| MB| 的值选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| xm| 3，且 f（x）0 的解集为（， 2 4，+ ）第 6 页（共 24 页）（）求 m 的值；（）若 ? xR，使得 f（x）t+| 2x| 成立，求实数 t 的取值范围第 7 页（共 24 页） 2018 年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题

10、：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1 （5 分）设复数 Z满足（ 1+i）Z=i，则| Z| =（） ABC D2 【解答】解：由（ 1+i）Z=i，得 Z=， | Z| = 故选： A 2 （5 分）已知 A= x| x22x30 ，B=y| y=x 2+1 ，则 AB=（） A 1，3B 3，2C 2，3D 1，3 【解答】解：A=x| x22x30 = x| 1x3 ， B=y| y=x 2+1 = y| y1 ，则 AB= x| 1x3= 1，3 ，故选： D 3 （5 分）函数 f（x）=+ln| x| 的图象大致为（） ABC 第 8 页（共 24 页）

11、 D 【解答】解：当 x0 时，函数 f（x）=，由函数 y=、y=ln（x）递减知函数 f（x）=递减，排除 CD ；当 x0 时，函数 f（x）=，此时， f（1）=1，而选项 A 的最小值为 2，故可排除 A，只有 B正确，故选： B 4 （5 分）九章算术是我国古代第一部数字专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学， “ 更相减损术 ” 便是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b 分别为 96、42，则输出的i为（） A4 B5 C 6 D7 【解

12、答】解：由程序框图可知：当 a=96，b=42时，满足 ab，则 a=9642=54，i=1 由 ab，则 a=5442=12，i=2 由 ab，则 b=4212=30，i=3 由 ab，则 b=3012=18，i=4 由 ab，则 b=1812=6，i=5 第 9 页（共 24 页）由 ab，则 a=126=6，i=6 由 a=b=6，输出 i=6 故选： C 5 （5 分）如果实数 x，y 满足关系，又恒成立，则的取值范围为（） A （，B （， 3C ，+）D （3，+）【解答】解：设 z=2+， z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加 2，作出实数 x，y 满

13、足关系对应的平面区域如图：由图形，可得 C（，），由图象可知，直线CD的斜率最小值为=， z的最小值为，的取值范围是（，故选： A 6 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第 10 页（共 24 页） ABCD 【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥PABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2 为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是 2，所求的体积 V=，故选： B 7 （5 分）已知等比数列 an 中，a5=3，a4a7=45，则的值为（） A3 B5 C 9 D25 【解答】解：根据题意，等比数列 an中，a5=3，a4a7=

14、45，则有 a6=15，则 q=5，第 11 页（共 24 页）则=q2=25；故选： D 8 （5 分）已知 F是双曲线=1（a0，b0）的右焦点，若点F 关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（） ABC D 【解答】解：设 F（c，0），渐近线方程为 y=x，对称点为 F（m，n），即有=，且?n=?，解得 m=，n=，将 F（，），即（，），代入双曲线的方程可得=1，化简可得4=1，即有 e2=5，解得 e= 故选： C 9 （5 分）函数 f（x）在定义域 R内可导，若 f（1+x）=f（3x），且当 x（

15、，2）时，（x2）f（x）0，设 a=f（0），b=f（），c=f（3），则 a，b，c 的大小关系是（） Aabc Bcab Ccba Dbca 【解答】解： f（1+x）=f（3x），第 12 页（共 24 页）函数 f（x）的图象关于直线x=2对称， f（3）=f（1）当 x（， 2）时，（x2）f （x）0， f （x）0，即 f（x）单调递增， 01， f（0）f（）f（2），即 abc，故选： D 10 （5 分）已知函数 f（x）=asinx2cosx的一条对称轴为 x=，且 f（x1） ?f（x2）=16，则| x1+x2| 的最小值为（） ABC

16、D 【解答】解：f（x）=asinx2cosx =sin（x+ ），由于函数 f（x）的对称轴为： x=，所以 f（）=a3，则| a3| =，解得： a=2；所以： f（x）=4sin（x），由于： f（x1）?f（x2）=16，所以函数 f（x）必须取得最大值和最小值，所以： x1=2k +或 x2=2k ，kZ；所以： | x1+x2| 的最小值为故选： C 11 （5 分）对于向量 a，b，定义 ab 为向量 a，b 的向量积，其运算结果为一第 13 页（共 24 页）个向量，且规定 ab 的模| ab| =| a| b| sin （其中为向量 a 与

17、b 的夹角），a b 的方向与向量 a，b 的方向都垂直，且使得a，b，ab 依次构成右手系如图，在平行六面体ABCD EFGH中， EAB= EAD= BAD=60 ，AB=AD=AE=2 ，则=（） A4 B8 C D 【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD ，且方向向上，设与所成角为 EAB= EAD= BAD=60 ，点 E在底面 ABCD上的射影在直线 AC上作 EIAC于 I，则 EI面 ABCD ， +EAI= 过 I 作 IJAD于 J，连 EJ ，由三垂线逆定理可得EJ AD AE=2 ，EAD=60 ，AJ=1，EJ= 又 CAD=30 ，IJAD，

18、AI= AE=2 ，EIAC ，cosEAI= sin =cosEAI=，cos= 故=| sinBAD| cos=8 =，故选 D 第 14 页（共 24 页） 12 （5 分）若存在实数 x 使得关于 x 的不等式（ e xa）2+x22ax+a2 成立，则实数 a的取值范围是（） A B C ，+）D，+）【解答】解：不等式（ exa） 2+x22ax+a2 成立，即为（ exa）2+（xa） 2 ，表示点（ x，ex）与（ a，a）的距离的平方不超过，即最大值为由（a，a）在直线 l：y=x上，设与直线 l 平行且与 y=e x 相切的直线的切点为（ m，n），可

19、得切线的斜率为em=1，解得 m=0，n=1，切点为（ 0，1），由切点到直线l 的距离为直线 l 上的点与曲线y=e x 的距离的最小值，可得（ 0a）2+（1+a） 2= ，解得 a=，则 a 的取值集合为故选： A 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分 13 （5 分）已知等差数列 an前 15 项的和 S15=30，则 a2+a9+a13=6 【解答】解：设等差数列的等差为d，an 前 15 项的和 S15=30， =30，即 a1+7d=2，则 a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6 故答案为： 6 14

20、（5 分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该第 15 页（共 24 页）展开式中常数项的值为1120 【解答】解：由题意可知， 2n=256，解得 n=8 =，其展开式的通项 =，令 82r=0，得 r=4 该展开式中常数项的值为故答案为： 1120 15 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数 f （x）的图象如图所示，则对于任意 x1，x2R（x1x2），下列结论正确的序号是 f（x）0 恒成立；（x1x2） f（x1）f（x2） 0；（x1x2） f（x1）f（x2） 0； f（）f（） f（）f（）【解答】解：由导函数的图象可知，导函

21、数f （x）的图象在 x 轴下方，即 f （x） 0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢所以f（x）的图象如图所示：第 16 页（共 24 页） f（x）0 恒成立，没有依据，故不正确；表示（ x1x2）与 f（x1）f（x2）异号，即 f（x）为减函数故正确；表示（ x1x2）与 f（x1）f（x2）同号，即 f（x）为增函数故不正确，左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B 的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点 A 的纵坐标值，显然有左边小于右边，故不正确，正确，综上，正确的结论为故答案为： 16 （5 分）在ABC中，D、

22、E分别是 AB、AC的中点，M 是直线 DE上的动点若 ABC的面积为 2，则?+ 2 的最小值为2 【解答】解： D、E是 AB、AC的中点， M 到 BC的距离等于点 A 到 BC的距离的一半， SABC=2SMBC，而 ABC的面积 2，则 MBC的面积 SMBC=1， SMBC=丨 MB 丨?丨 MC 丨 sinBMC=1，丨 MB 丨?丨 MC 丨= 第 17 页（共 24 页） ?=丨 MB 丨?丨 MC丨 cosBMC= 由余弦定理，丨 BC丨 2=丨 BM 丨2+丨 CM 丨22 丨 BM 丨?丨 CM丨 cosBMC，显然， BM、CM 都是正数，丨 BM 丨 2+丨

23、 CM丨22 丨 BM 丨?丨 CM 丨，丨 BC丨 2=丨 BM 丨2+丨 CM丨22 丨 BM 丨丨 CM 丨 cosBMC =22 ?+ 2 +22 =2?，方法一：令 y=，则 y=，令 y=0，则 cosBMC= ，此时函数在（ 0，）上单调减，在（，1）上单调增， cos BMC= 时，取得最小值为， ?+ 2 的最小值为 2；方法二：令 y=，则 ysinBMC+cosBMC=2 ，则sin（BMC+ ）=2， tan = ，则 sin（BMC+ ）=1，解得： y，则?+ 2 的最小值为 2；故答案为： 2 第 18 页（共 24 页）三、解答题 17 （

24、12 分）在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 acosB= （3c b）cosA （1）求 cosA的值；（2）若 b=3，点 M 在线段 BC上，=2，| =3，求 ABC的面积【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）因为 acosB= （3cb）cosA，由正弦定理得： sinAcosB= （3sinC sinB） cosA，即 sinAcosB +sinBcosA=3sinCcosA ，可得： sinC=3sinCcosA ，在ABC中，sinC 0，所以（5 分）（2）=2，两边平方得：=4，由 b=3，| =3，可得：，解得： c=7或

25、 c=9（舍），所以 ABC的面积（12 分） 18 （12 分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆 O 的直径，满足 ABCD ，又 DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角（）若面 BCD与面 ABE的交线为 l，证明： l面 CDE ；（）若 AB=2CD ，求平面 BCD的与平面 ABE所成锐二面角的余弦值【解答】（）证明：如图，在圆台OO 中， CD ? 圆 O ， CD 平面 ABE ，第 19 页（共 24 页）面 BCD 面 ABE=l ，lCD ， CD ? 平面 CDE ，l?平面 CDE ， l面 CDE ；（）解：连接 OO

26、、BO 、OE，则 CD OE ，由 ABCD ，得 ABOE ，又 O B在底面的射影为OB ，由三垂线定理知： O B OE ，O B CD ， O BO 就是求面 BCD与底面 ABE所成二面角的平面角设 AB=4，由母线与底面成角，可得 OE=2O D=2 ，DE=2 ，OB=2，OO =， cos O BO= 19 （12 分）如图为 2017 届淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090 分数段的学员数为21 人（）求该专业毕业总人数N 和 9095 分数段内的人数 n；（）现欲将 9095 分数段内的 n 名毕业生随

27、机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（）若 9095 分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量表示 n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求的分布列和数学期望第 20 页（共 24 页）【解答】解：（）8090 分数段的毕业生的频率为： p1=（0.04+0.03）5=0.35，此分数段的学员总数为21 人，毕业生的总人数N 为 N=60， 9095 分数段内的人数频率为： p2=1（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）5=0.1， 9095 分数段

28、内的人数 n=600.1=6 （）将 9095 分数段内的 6 名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法（）所有可能取值为 0，1，2， P（=0 ）=， P（ =1 ）=， P（ =2 ）=，所以的分布列为： 012 P 所以随机变量数学期望为 E（）= 第 21 页（共 24 页） 20 （12 分）已知椭圆C：+=1（ab0），其左右焦点为F1，F2，过 F1 直线 l：x+my+=0与椭圆 C交于 A，B两点，且椭圆离心率e=；（）求椭圆 C的方程；（）若椭圆存在点 M，使得 2=

29、+，求直线 l 的方程【解答】解：（）过 F1直线 l：x+my+=0，令 y=0，解得 x=， c=， e= =， a=2， b2=a 2c2=43=1，椭圆 C的方程为+y2=1；（）设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由 2=+，得： x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：（x1+x2） 2+（ y1+y2）21=0，（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1， x1x2+4y1y2=0 联立方程消 x 可得（ m2+4）y2+2my1=0， y1+y2=，y1y2=， x1x2+4y1y2=（my1+

30、）（my2+）+4y1y2 =（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，即 m2=2，解得 m= 所求直线 l 的方程： xy+=0 第 22 页（共 24 页） 21 （12 分）设函数 f（x）=x 2alnx，其中 aR （1）若函数 f（x）在，+）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设正实数 m1，m2满足 m1+m2=1，当 a0 时，求证：对任意的两个正实数 x1，x2，总有 f（m1x1+m2x2）m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当 a=2时，若正实数 x1，x2，x3满足 x1+x2+x3=3，求 f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值

31、【解答】解：（1）函数 f（x）=x2alnx，导数为 f （x）=x，函数 f（x）在，+）上单调递增，可得 f （x）=x0 在，+）恒成立，即为 ax2的最小值，由 x2在，+）的最小值为，可得 a；（2）证明：由 f（x）= x2alnx，a0，可得 f （x）=x，f （x）=1+0，即有 f（x）为凹函数，由 m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，总有 f（m1x1+m2x2）m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）由 f（x）=x22lnx，可得导数为 f （x）=x， f （x）=1+0，则 f（x）为凹函数，有 f（） f（x1）+

32、f（x2）+f（x3），即为 f（x1）+f（x2）+f（x3）3f（）=3f（1）=3=，则 f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为第 23 页（共 24 页）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C的极坐标方程为 =2 sin（），直线 l 的参数方程为t 为参数，直线 l 和圆 C交于 A，B两点（）求圆 C的直角坐标方程；（）设 l 上一定点 M（0，1），求| MA| ?| MB| 的值【解答】（本小题满分 10 分）解：（）圆 C的极坐标方程为： =2

33、 sin（）=2（sin cos cossin ）=2sin 2cos ， 2=2sin 2cos，圆 C的直角坐标方程x 2+y2=2y2x，即（ x+1）2+（y1）2=2 （）直线 l 的参数方程为，t 为参数，直线 l 的参数方程可化为，t 为参数，代入（ x+1）2+（y1） 2=2，得（ +1）2+（）2=2，化简得： t21=0， =1， | MA| ?| MB| =| =1 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| xm| 3，且 f（x）0 的解集为（， 2 4，+ ）（）求 m 的值；（）若 ? xR，使得 f（x）t+| 2x| 成立，求实数 t 的取值范围【解答】（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲第 24 页（共 24 页）解：（）函数 f（x）=| xm| 3，且 f（x）0 的解集为（， 2 4， +）即| xm| 30 的解集为（， 2 4，+） m+3=4，m3=2，解得 m=1 （） ? xR，使得 f（x）t+| 2x| 成立，即 | x1| 3t+| 2x| ， ? xR，| x1| | 2x| t+3，令 g（t）=| x1| | x2| =， ? xR，| x1| | 2x| t+3 成立， t+3g（x）max=1，t2

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