2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(文科).pdf

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1、第 1 页（共 20 页） 2018 年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A=x| x1 ，B= x| 1x2 则（ ?RA）B=（） A x| x1B x| 1x1C x| 1x2Dx| 1x2 2 （5 分）已知复数 z满足（ z1）i=i1，则| z| =（） ABC 2 D 3 （5 分）已知向量=（1，x） ， =（1，3） ，若向量 2 + 与向量平行，则 x 的值为（） A3 B0 C D 4（5 分） 在区间 1， 4 上随机取一个

2、数 x， 则事件 “log4x” 发生的概率为（） ABC D 5 （5 分）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2=45，a4=41，则 Sn取得 最小值时 n 的值为（） A23 B24 或 25 C 24 D25 6 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z=2x+y 的最大值为（） A5 B6 C 8 D9 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（） 第 2 页（共 20 页） AB1 C 1D0 8 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈， 上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网 格纸中粗线部分

3、为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1 丈） ，那么该 刍甍的体积为（） A4 立方丈B5 立方丈C 6 立方丈D12 立方丈 9 （5 分）已知函数 f（x）=4x 2，y=g（x）是定义在 R上的奇函数，当 x0 时， g（x）=log2x，则函数 f（x）?g（x）的大致图象为（） ABCD 10 （5 分）已知三棱锥SABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且 SA=SB=SC=1，AB=BC=AC= ，则球的表面积为（） 第 3 页（共 20 页） A12B8 C 4 D3 11 （5 分）对于实数 a、b，定义运算 “ ?” ：a?b=，设 f（x）=（2x 3）?（x3

4、） ，且关于 x 的方程 f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根， 则 k 的取值范围为（） A （0，2） B （0，3） C （0，2D （0，3 12 （5 分）若圆（ x）2+（y1） 2=9 与双曲线 =1（a0，b0） 经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且 | AB| =2，则此双曲线的离心率为 （） ABC2 D 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）. 13 （5 分）若 sin（ + ）cos cos（ + ）sin = ，则 cos2= 14 （5 分）在某班班委会成员选举中，已知张强、李明、王亮三位同学被选进 了班委会，该班甲、乙、丙三位学生

5、预言： 甲：张强为班长，李明为生活委员； 乙：王亮为班长，张强为生活委员； 丙：李明为班长，张强为学习委员 班委会名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半，则公布的班长 为 15（5 分）递减的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn， 若 a2=3， S3=13， 则 a5= 16 （5 分）直线 l 过抛物线 C：x2=4y 的焦点 F，与抛物线 C相交于 A，B两点， 其中| BF | =3| AF | ，则线段 AB的长度为 三、解答题：本大题共5 小题，共 60 分解答写出文字说明、证明过程或演算 过程 17 （12 分）已知函数 f（x）=2cos 2x+2 sinxcosx

6、（）求函数 f（x）的最大值； 第 4 页（共 20 页） （）在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边， 且 f（C ）=2，c=，a=2， 求ABC的面积 18 （12 分）如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC ，E为 AC上的一点， DE 平面 ABC ，F为 AB的中点 （）求证：平面ABD 平面 DEF ； （）若 ADDC ，AC=4 ，BAC=45 ，求四面体 FDBC的体积 19 （12 分）随着“ 互联网 +交通” 模式的迅猛发展， “ 共享自行车 ” 在很多城市相继 出现某运营公司M 的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况，对该公 司最近六个月内的市场占

7、有率进行了统计，得到如下数据： 月份代码123456 占有率（ %）111316152021 （）若月份代码 x 与市场占有率 y 具有线性相关性， 用最小二乘法求得回归方 程为=2x+a，求 a 的值，并预测第 7 个月的市场占有率； （）由（）可知，M 公司的市场占有率有可能进一步提升，为满足市场需求， 公司拟在采购一批自行车，现有采购成本分别为300 元/辆和 400 元/辆的 A、B 两款车型可供选择， 按规定每辆自行车最多可使用4 年，但由于多种原因 （如骑 行频率等） 会导致车辆报废年限各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司 决定先对两款车型的自行车各100 辆进行科学模拟测试

8、， 得到两款自行车使用寿 命频数表如下： 使用寿命1 年2 年3 年4 年 A 款车15403510 B款车5354020 经测算，平均每辆自行车每年可以带来收入200 元，不考虑除采购成本之外的其 第 5 页（共 20 页） 他成本，假设每辆自行车的使用寿命都是整数年，如果你是M 公司的负责人， 以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 20 （12 分）在直角坐标系 xOy中，已知点 F（1，0） ，直线 l：x=4，动点 P到点 F的距离到直线 l 的距离的比值为 （）求动点 P 的轨迹方程 C； （）若 A1（2，0） ，A2（2，0） ，斜率不为 0 且过 F的

9、直线与曲线 C相交于 M， N 两点，求证：直线A1M，A2N 的交点在直线 l：x=4上 21 （12 分）设函数 f（x）=xlnxax+1，g（x）=2x3+3x2x+ （）求函数 f（x）在，e 上有两个零点，求a 的取值范围； （）求证：当 x，+）时， f（x）+axg（x） 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为（为参数） ， 曲线 C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2 （）求 C2的极坐标方程； （）在以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与 C1的异于 极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为

10、B，求| AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x3| | x+5| （）求不等式 f（x）2 的解集； （）设函数 f（x）的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 恒成立，求 m 的取 值范围 第 6 页（共 20 页） 2018 年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A=x| x1 ，B= x| 1x2 则（ ?RA）B=（） A x| x1B x| 1x1C x| 1x2Dx| 1x2 【解答】

11、解：集合 A= x| x1 ， ?RA= x| x1，B= x| 1x2 ， （?RA）B=x| 1x1 ， 故选 B 2 （5 分）已知复数 z满足（ z1）i=i1，则| z| =（） ABC 2 D 【解答】 解：由（ z1）i=i1，得 z=2+i， | z| = 故选： D 3 （5 分）已知向量=（1，x） ， =（1，3） ，若向量 2 + 与向量平行，则 x 的值为（） A3 B0 C D 【解答】 解：向量=（1，x） ， =（1，3） ， 2 + =2（1，x）+（1，3）=（1，2x+3） 2 + 与向量平行， 3=2x3， 第 7 页（共 20 页） 解得 x=3， 故

12、选： A 4（5 分） 在区间 1， 4 上随机取一个数 x， 则事件 “log4x” 发生的概率为（） ABC D 【解答】 解：由 log4x，得 x2， 在区间 1，4 上随机取一个数 x，事件“log 4x ” 发生的概率为 P= 故选： B 5 （5 分）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2=45，a4=41，则 Sn取得 最小值时 n 的值为（） A23 B24 或 25 C 24 D25 【解答】 解：等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a2=45，a4=41， ，解得 a1=47，d=2， Sn=47n+=n248n=（n24） 2576 S n取得最小

13、值时 n 的值为 24 故选： C 6 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z=2x+y 的最大值为（） A5 B6 C 8 D9 【解答】 解：由 x，y 满足不等式组，作出可行域如图， 联立，解得 A（4，0） ， 化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z， 第 8 页（共 20 页） 由图可知，当直线 y=2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 2 4+0=8 故选： C 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（） AB1 C 1D0 【解答】 解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知： 算法的功能是求 S=cos+cos + +

14、cos的值， y=cos的周期为 4，2017=5044+1 输出 S=504 （cos+cos +cos+cos2 ）+cos=0 故选： D 第 9 页（共 20 页） 8 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈， 上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网 格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1 丈） ，那么该 刍甍的体积为（） A4 立方丈B5 立方丈C 6 立方丈D12 立方丈 【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为 1 的等腰三角形三棱柱的高为2 三棱柱的体积 V= 两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2

15、 和 3 的矩形的四棱锥，其高为1 体积 V=2 该刍甍的体积为： 3+2=5 故选： B 9 （5 分）已知函数 f（x）=4x 2，y=g（x）是定义在 R上的奇函数，当 x0 时， g（x）=log2x，则函数 f（x）?g（x）的大致图象为（） ABCD 【解答】解：因为函数 f（x）=4x2为偶函数， y=g（x）是定义在 R上的奇函数， 所以函数 f（x）?g（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A，B 第 10 页（共 20 页） 当 x+时， g（x）=log2x0，f（x）=4x20 所以此时 f（x）?g（x）0 所以排除 C，选 D 故选 D 10 （5 分）已知三棱

16、锥SABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且 SA=SB=SC=1，AB=BC=AC= ，则球的表面积为（） A12B8 C 4 D3 【解答】 解：三棱锥 SABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC= ， 共顶点 S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1， 三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径， 所以球的直径为：，半径为， 外接球的表面积为： 4 （）2=3 故选： D 11 （5 分）对于实数 a、b，定义运算 “ ?” ：a?b=，设 f（x）=（2x 3）?（x3） ，且关于 x

17、 的方程 f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根， 则 k 的取值范围为（） A （0，2） B （0，3） C （0，2D （0，3 【解答】 解： a?b=， f（x）=（2x3）?（x3）=， 其图象如下图所示： 第 11 页（共 20 页） 由图可得，要使关于x 的方程 f（x）=k（kR）恰有三个互不相同的实根， 则 k（0，3） ， 故选： B 12 （5 分）若圆（ x） 2+（y1）2=9 与双曲线 =1（a0，b0） 经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且 | AB| =2，则此双曲线的离心率为 （） ABC2 D 【解答】 解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线

18、方程为bx+ay=0， | AB| =2，圆的圆心为（，1） ，半径为 3， 圆心到渐近线的距离为=， 即=， 解得 b=a， c=a， 双曲线的离心率为e= 故选： A 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）. 第 12 页（共 20 页） 13 （5 分）若 sin（ + ）cos cos（ + ）sin = ，则 cos2= 【解答】 解： sin（ + ）cos cos（ + ）sin =sin （ + ） =sin = ， 则 cos2= 12sin2=1 2?=， 故答案为： 14 （5 分）在某班班委会成员选举中，已知张强、李明、王亮三位同学被选进 了班委会

19、，该班甲、乙、丙三位学生预言： 甲：张强为班长，李明为生活委员； 乙：王亮为班长，张强为生活委员； 丙：李明为班长，张强为学习委员 班委会名单公布后发现， 甲、 乙、丙三人都恰好猜对了一半， 则公布的班长为王 亮 【解答】 解：假设张强为班长，由甲对一半得： 李明不为生活委员， 即李明是学习委员， 则王亮为生活委员； 这与乙对一半矛盾； 假设王亮为班长，由乙对一半得： 张强不为生活委员，即张强是学习委员，则李明为生活委员；甲、乙、丙三人都 恰好猜对了一半， 假设李明为班长，由丙对一半得： 张强为不学习委员，即张强为生活委员，这与甲对一般矛盾， 综上可得：公布的班长为王亮， 故答案为：王亮 15

20、 （5 分）递减的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2=3，S3=13，则 a5= 【解答】 解：由 an 是递减的等比数列， a2=3，S3=13， 即 a1q=3 ，a1+a2+a3=13， 由解得： q=，a1=9 第 13 页（共 20 页） 那么 a5= 故答案为： 16 （5 分）直线 l 过抛物线 C：x2=4y 的焦点 F，与抛物线 C相交于 A，B两点， 其中| BF | =3| AF | ，则线段 AB的长度为 【解答】 解：如图，抛物线 C：x2=4y 的焦点 F（0，1） ， 设 l 所在直线方程为 x=k（y1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）

21、联立，得 k2y2（2k2+4）y+k2=0， y1y2=1， | BF| =3| AF| ， y2+1=3（y1+1） ， 由解得 y1=，y2=3， | AB| =y1+y2+2=+3+2=， 故答案为： 三、解答题：本大题共5 小题，共 60 分解答写出文字说明、证明过程或演算 过程 17 （12 分）已知函数 f（x）=2cos 2x+2 sinxcosx （）求函数 f（x）的最大值； （）在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边， 且 f（C ）=2，c=，a=2， 第 14 页（共 20 页） 求ABC的面积 【解答】 解： （）函数 f（x）=2cos 2x+2 si

22、nxcosx =cos2x +1+sin2x， =2sin（2x+）+1， 则函数的最大值 f（x）max=3 （） ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且 f（C）=2， 则：， 解得： C=， 由于： c=，a=2， 利用余弦定理： c 2=a2+b22abcosC ， 解得： b=3（负值舍去） 则： 18 （12 分）如图，在三棱锥DABC中，DA=DB=DC ，E为 AC上的一点， DE 平面 ABC ，F为 AB的中点 （）求证：平面ABD 平面 DEF ； （）若 ADDC ，AC=4 ，BAC=45 ，求四面体 FDBC的体积 【解答】 证明： （） DE平面 AB

23、C ，AB? 平面 ABC ，ABDE ， 又 F为 AB的中点， DA=DB ，ABDF，DE，DF? 平面 DEF ，DEDF=D ， AB平面 DEF ， 又AB? 平面 ABD，平面 ABD平面 DEF （） DA=DB=DC ，E为 AC上的一点， DE 平面 ABC ， 第 15 页（共 20 页） 线段 DA、DB、DC在平面 ABC的摄影 EA ，EB ，EC满足 EA=EB=EC ABC为直角三角形，即ABBC 由 ADDC ，AC=4 ，BAC=45 ， AB=BC=2，DE=2 ， SFBC=2， 四面体 FDBC的体积 VFDBC=VDFBC= 19 （12 分）随着“

24、 互联网 +交通” 模式的迅猛发展， “ 共享自行车 ” 在很多城市相继 出现某运营公司M 的市场研究人员为了了解共享自行车的经营状况，对该公 司最近六个月内的市场占有率进行了统计，得到如下数据： 月份代码123456 占有率（ %）111316152021 （）若月份代码 x 与市场占有率 y 具有线性相关性， 用最小二乘法求得回归方 程为=2x+a，求 a 的值，并预测第 7 个月的市场占有率； （）由（）可知，M 公司的市场占有率有可能进一步提升，为满足市场需求， 公司拟在采购一批自行车，现有采购成本分别为300 元/辆和 400 元/辆的 A、B 两款车型可供选择， 按规定每辆自行车最

25、多可使用4 年，但由于多种原因 （如骑 行频率等） 会导致车辆报废年限各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司 决定先对两款车型的自行车各100 辆进行科学模拟测试， 得到两款自行车使用寿 命频数表如下： 使用寿命1 年2 年3 年4 年 A 款车15403510 第 16 页（共 20 页） B款车5354020 经测算，平均每辆自行车每年可以带来收入200 元，不考虑除采购成本之外的其 他成本，假设每辆自行车的使用寿命都是整数年，如果你是M 公司的负责人， 以每辆自行车产生的平均利润作为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 【解答】 解： （I） =， =16， 把（，16）代入=2x+a

26、得 16=7+a， a=9 回归方程为=2x+9， 当 x=7时，=23 预测第 7 个月的市场占有率为23% （II）A款车的利润为 +=180， B 款车的利润为（200400）+（400400）+（600200） +（800400）=150 采购 A 款车较合理 20 （12 分）在直角坐标系 xOy中，已知点 F（1，0） ，直线 l：x=4，动点 P到点 F的距离到直线 l 的距离的比值为 （）求动点 P 的轨迹方程 C； （）若 A1（2，0） ，A2（2，0） ，斜率不为 0 且过 F的直线与曲线 C相交于 M， N 两点，求证：直线A1M，A2N 的交点在直线 l：x=4上 【

27、解答】 （）解：设 P（x，y） ，P到直线 l 的距离为 d， 由题意可得=， 即为=， 两边平方可得 x2+y22x+1=（x28x+16） ， 第 17 页（共 20 页） 即为 3x2+4y2=12， 即有+=1， 动点 P的轨迹方程 C为+=1； （）证明：由（）曲线C为椭圆， A1（2，0） ，A2（2，0）为椭圆的左右顶点， F（1，0）为椭圆的右焦点， 设过 F的直线为 x=my+1，交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由消去 x 可得（ 4+3m2）y2+6my9=0， 则 y1+y2=，y1y2=， 由已知可得 k=，可得直线 A1M：y=（x+2） ， 同理可

28、得直线 A2N：y=（x2） ， 联立方程，可得 x= = =4 所以直线 A1M，A2N 的交点在直线 l：x=4上 21 （12 分）设函数 f（x）=xlnxax+1，g（x）=2x 3+3x2 x+ （）求函数 f（x）在，e 上有两个零点，求a 的取值范围； （）求证：当 x，+）时， f（x）+axg（x） 第 18 页（共 20 页） 【解答】 解： （）函数f（x）=xlnxax+1，的定义域为： x0，f （x）=lnx+1 a， 由题意可知函数不可能是单调函数， f （x）=0，可得 x=e a1，当 xea1 时，f （x）0；x（0，ea 1）时，f （x） 0， 函数

29、 f（x）在，e 上有两个零点， 可得：，解得： 1 函数 f（x）在，e 上有两个零点， a 的取值范围：（1，1+ ； （）证明：当 x，+）时，要证 f（x）+axg（x） 只要证明 xlnx+1g （x） ， 先证明 xlnx+1x，构造函数 F（x）=xlnx+1x，F （x）=1+lnx1=lnx， 当 x=1时，F （x）=0，当 0x1 时，F（x）0， 函数是减函数当 x1 时，F （x）0，函数是增函数； F（x）F（1）=0，即证 xlnx+1x，等号成立的条件是当且仅当x=1； 再证当 x） ，g（x）x 构造函数 G（x）=xg（x）=2（x）3G （x）=6（x）2

30、0， G（x）是增函数， G（x）G（）=0， 即证 g（x）x，等号成立的条件是当且仅当x= x，+）时， f（x）+axg（x） 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为（为参数） ， 第 19 页（共 20 页） 曲线 C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2 （）求 C2的极坐标方程； （）在以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线=与 C1的异于 极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为B，求| AB| 【解答】 解： （）曲线 C1的参数方程为（为参数） ， 转化为直角坐标方程为：x 2+y2=1， 曲线 C

31、1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C 2 即：， 故 C2的直角坐标方程为： 转化为极坐标方程为： （）曲线 C1的参数方程为（为参数） ，转化为极坐标方程为1=1， 由题意得到： A（1，） ， 将 B（ ，）代入坐标方程： 得到， 则：| AB| = 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x3| | x+5| （）求不等式 f（x）2 的解集； （）设函数 f（x）的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 恒成立，求 m 的取 值范围 【解答】 解： （）x3 时，f（x）=8，此时 f（x）2 恒成立， 5x3 时，f（x）=2x2， 由 f（x）2，解得： 2x3， x5 时，f（x）=8，此时 f（x）2，无解， 第 20 页（共 20 页） 综上， f（x）2 的解集是 x| x2 ； （）由（）得f（x）=， 易知函数的最大值是8， 若 x2+2x+m8 恒成立， 得 mx22x+8 恒成立， 即 m（ x+1）2+9， 故 m9