《2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷(理科).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷(理科).pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页（共 24 页） 2018 年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1 （5 分）若集合 A= 0，1，B=y| y=2x，xA ，则（ ?RA）B=（） A 0 B 2 C 2，4D 0，1，2 2 （5 分）已知=b+i（a，bR ） ，其中 i 为虚数单位，则 ab=（） A1 B1 C 2 D3 3 （5 分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形 内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内 随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） ABC D 4 （5 分）已
2、知 = （2sin13 ，2sin77 ） ，| | =1， 与 的夹角为，则? = （） A2 B3 C 4 D5 5 （5 分）已知双曲线=1 的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近 线方程为（） Ay=x By=x Cy=x Dy=x 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（） 第 2 页（共 24 页） A7 BC D 7 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“ 割圆术 ” 利用 “ 割圆术 ” 刘 徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的 “ 徽
3、率” 如图 是利用刘徽的 “ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（参考数据： sin15 =0.2588，sin7.5 =0.1305） （） A16 B20 C 24 D48 8 （5 分）在平面直角坐标系xoy中，已知点 A（2，3） ，B（3，2） ，C（1，1） ， 点 P（x，y）在 ABC 三边围成的区域（含边界）内，设=mn（m，n R ） ，则 2m+n 的最大值为（） A1 B1 C 2 D3 9 （5 分）已知函数 f（x）=Asin（x+ ） （A0， 0，0 ）的部分图象 如图所示，且 f（ ）=1， （0，） ，则 cos（2）=（） 第 3 页（共
4、 24 页） ABCD 10 （5 分）已知有穷数列 an中，n=1，2，3， ，729且 an=（2n1）?（1） n+1从数列 a n 中依次取出 a2，a5，a14， 构成新数列 bn，容易发现数列 bn 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列记数列 an 的所有项的和为 S， 数列 bn 的所有项的和为 T，则（） AST BS=T CST DS与 T的大小关系不确定 11 （5 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，中心为 O，=， =，则四面体 OEBF的体积为（） ABC D 12 （5 分）已知 f（x）是定义域为（ 0，+）的单调函数，若对任意的x（0， +
5、） ，都有，且方程 | f（x）3| =a在区间（ 0，3 上有两解， 则实数 a的取值范围是（） A0a1 Ba1 C0a1 Da1 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13 （5 分）已知 Sn为数列 an 的前 n 项和，且 log2（Sn+1）=n+1，则数列 an的 通项公式为 第 4 页（共 24 页） 14 （5 分）在（ 1+2x） 7 的展开式中，是第项的二项式系数，第3 项 的系数是 15 （5 分）已知函数 f （x） =e xmx+1 的图象为曲线 C， 若曲线 C存在与直线 y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围为 16 （5 分）已知椭圆与直
6、线，过 椭圆上一点 P作 l1，l2的平行线，分别交l1，l2于 M，N 两点若 | MN| 为定值， 则的值是 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17 （12 分）设 ABC三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，ABC的面积 S满足 4S=a 2+b2c2 （1）求角 C的值； （2）求 sinBcosA的取值范围 18 （12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2 ，BC=1 ，E，F是平面 ABCD同一侧两 点，EA FC ，AEAB，EA=2 ，DE=，FC=1 （1）证明：平面 CDF 平面 ADE ； （2）求二面角 EBDF的正弦值 19 （12 分）中石化集团获得
7、了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初 步勘探了部分几口井， 取得了地质资料 进入全面勘探时期后， 集团按网络点米 布置井位进行全面勘探 由于勘探一口井的费用很高， 如果新设计的井位与原有 井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用， 勘探初期数据资料见下表： 第 5 页（共 24 页） 井号 I123456 坐标 （x， y）（km） （2，30） （4，40） （5，60） （6，50） （8，70） （1，y） 钻探深度（ km）2456810 出油量（ L）407011090160205 （） 16 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程
8、为y=6.5x+a， 求 a，并估计 y 的预报值； （）现准备勘探新井7（1，25） ，若通过 1、3、5、7 号井计算出的， 的值 （ ， 精确到 0.01）与（I）中 b，a 的值差不超过 10%，则使用位置最接近的已 有旧井 6（1，y） ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计 算结果：=， = ，=94，=945） （）设出油量与勘探深度的比值k 不低于 20 的勘探井称为优质井，那么在原 有 6 口井中任意勘探 4 口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望 20 （12 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 2，设右焦点为 F， 过原点 O的直线 l 与椭圆
9、C交于 A，B两点，线段 AF的中点为 M，线段 BF的中 点为 N，且?= （1）求弦 AB的长； （2）当直线l 的斜率 k=，且直线l l 时，l 交椭圆于 P，Q，若点 A 在第一 象限，求证：直线AP，AQ与 x 轴围成一个等腰三角形 21 （12 分）已知 ，是方程 4x24tx1=0（tR）的两个不等实根，函数f （x）=的定义域为 ， （1）当 t=0 时，求函数 f（x）的最值 （2）试判断函数 f（x）在区间 ， 的单调性 （3） 设 g （t） =f （x） maxf （x）min， 试证明： 对于 ， ， （0， ） ， 若 sin +sin +sin =1， 第 6
10、页（共 24 页） 则+（参考公式：（a， b，c0） ，当且仅当 a=b=c时等号成立） 请考生在22,23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分 选修 44：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t 为参数） ， 以原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C的极坐标方程为=asin （a0） （）求圆 C的直角坐标系方程与直线l 的普通方程； （）设直线 l 截圆 C的弦长等于圆 C的半径长的倍，求 a 的值 选修 4-5：不等式证明 23已知函数 f（x）=| x+1| ，g（x）=2| x|+ a （1）当 a=0 时，
11、求不等式 f（x）g（x）的解集 （2）若存在实数 x，使得 g（x）f（x）成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 24 页） 2018 年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分） 1 （5 分）若集合 A= 0，1，B=y| y=2x，xA ，则（ ?RA）B=（） A 0 B 2 C 2，4D 0，1，2 【解答】 解：根据题意，集合A= 0，1 ，则 B= y| y=2x，xA= 0，2 ， 则（?RA）B=2 ； 故选： B 2 （5 分）已知=b+i（a，bR ） ，其中 i 为虚数单位，则 ab=
12、（） A1 B1 C 2 D3 【解答】 解：由=， 得 a=1，b=2， ab=12=3 故选： D 3 （5 分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形 内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内 随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） ABC D 第 8 页（共 24 页） 【解答】 解：设正方形边长为2，则正方形面积为4， 正方形内切圆中的黑色部分的面积S= 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是P= 故选： C 4 （5 分）已知 = （2sin13 ，2sin77 ） ，| | =1， 与 的夹角为，则? = （）
13、A2 B3 C 4 D5 【解答】 解： =（2sin13 ，2sin77 ）=（2sin13 ，2cos13 ） ，| =2， | | =1， 与 的夹角为， 所以=，1=4， ? =3， 故选： B 5 （5 分）已知双曲线=1 的一个焦点在直线x+y=5上，则双曲线的渐近 线方程为（） Ay=x By=x Cy=x Dy=x 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为=1，则其焦点在 x 轴上， 直线 x+y=5 与 x 轴交点的坐标为（ 5，0） ， 则双曲线的焦点坐标为（5，0） ， 则有 9+m=25， 解可得， m=16， 则双曲线的方程为：=1， 第 9 页（共 24 页） 其渐近
14、线方程为： y=x， 故选： B 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（） A7 BC D 【解答】 解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个三棱锥， 正方体的边长为 2，三棱锥的三个侧棱长为1， 则该几何体的体积V=8=， 故选： D 7 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“ 割圆术 ” 利用 “ 割圆术 ” 刘 徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的 “ 徽率” 如图 是利用刘徽的 “ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（参考
15、数据： sin15 =0.2588，sin7.5 =0.1305） （） 第 10 页（共 24 页） A16 B20 C 24 D48 【解答】 解：模拟执行程序，可得： n=6，S=3sin60 =， 不满足条件 S3.10，n=12，S=6sin30 =3， 不满足条件 S3.10，n=24，S=12 sin15 =120.2588=3.1056 ， 满足条件 S 3.10，退出循环，输出n 的值为 24 故选： C 8 （5 分）在平面直角坐标系xoy中，已知点 A（2，3） ，B（3，2） ，C（1，1） ， 点 P（x，y）在 ABC 三边围成的区域（含边界）内，设=mn（m，n
16、R ） ，则 2m+n 的最大值为（） A1 B1 C 2 D3 【解答】 解：=（1，1） ，=（1，2） ，=（x，y） ， =mn， ， 2m+n=xy， 作出平面区域如图所示： 第 11 页（共 24 页） 令 z=xy，则 y=xz，由图象可知当直线y=xz 经过点 B（3，2）时，截距最 小，即 z最大 z的最大值为 32=1 即 2m+n 的最大值为 1 故选： B 9 （5 分）已知函数 f（x）=Asin（x+ ） （A0， 0，0 ）的部分图象 如图所示，且 f（ ）=1， （0，） ，则 cos（2）=（） ABCD 【解答】 解：由图象可得 A=3，=4（） ，解得 =
17、2 ， 故 f（x）=3sin（2x+ ） ，代入点（，3）可得 3sin（+ ）=3， 故 sin（+ ）=1，+=2k ，=2k ，kZ 结合 0 可得当 k=1时，=，故 f（x）=3sin（2x+） ， 第 12 页（共 24 页） f（ ）=3sin（2 +）=1，sin（2 +）= ， （0，） ，2 +（，） ， cos （2）=， 故选： C 10 （5 分）已知有穷数列 an中，n=1，2，3， ，729且 an=（2n1）?（1） n+1从数列 an 中依次取出 a2，a5，a14， 构成新数列 bn，容易发现数列 bn 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列记数列 an
18、的所有项的和为 S， 数列 bn 的所有项的和为 T，则（） AST BS=T CST DS与 T的大小关系不确定 【解答】 解：S=1 3+5 （27281）+（27291） =728+27291=729 由| 3（ 3）n 1| 2k1，k729， 解得： n6，可取 n=6，3（ 3）5=729= （23651）（ 1） 366， T=546 S T 故选： A 11 （5 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，中心为 O，=， =，则四面体 OEBF的体积为（） ABC D 第 13 页（共 24 页） 【解答】 解：如图， 以 D 为坐标原点，分别以DA、DC、DD
19、1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系， 则 O（） ，B（1，1，0） ，E （1，0，） ，F（，1，0） ， 则| =，| =， cos BOE= sinBOE= SOEB= 设平面 OEB的一个法向量为， 由，取 z=1，得 又， F到平面 OEB的距离 h= 四面体 OEBF的体积 V= 故选： D 第 14 页（共 24 页） 12 （5 分）已知 f（x）是定义域为（ 0，+）的单调函数，若对任意的x（0， +） ，都有，且方程 | f（x）3| =a在区间（ 0，3 上有两解， 则实数 a的取值范围是（） A0a1 Ba1 C0a1 Da1 【解答】 解： f（x）是
20、定义域为（ 0，+）的单调函数，对任意的x（0，+ ） ，都有 f f（x）+x =4， 必存在唯一的正实数a， 满足 f （x） +x=a， f （a） =4 ，f （a）+a=a ， 由得： 4+a=a，即a=a4，a=（） a4，解得 a=3 故 f（x）+x=a=3，f（x）=3x， 由方程 | f（x）3| =a在区间（ 0，3 上有两解， 即有|x| =a在区间（ 0，3 上有两解， 作出 y=|x| 的图象，如图所示： ， 结合题意， 0a1， 故选： A 二、填空题（共4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13 （5 分）已知 Sn为数列 an 的前 n 项和，且 log2
21、（Sn+1）=n+1，则数列 an的 第 15 页（共 24 页） 通项公式为 【解答】 解：由 log2（Sn+1）=n+1，得 Sn+1=2 n+1，当 n=1 时，a 1=S1=3； 当 n2 时，an=SnSn1=2n， 所以数列 an 的通项公式为 an= 故答案为： 14 （5 分）在（ 1+2x） 7 的展开式中，是第3项的二项式系数，第3 项的 系数是84 【解答】 解： （1+2x） 7 的展开式的通项为， 当 r=2 时，可得 是第 3 项的二项式系数，第3 项的系数是 84 故答案为： 3，84 15 （5 分）已知函数 f （x） =e xmx+1 的图象为曲线 C，
22、若曲线 C存在与直线 y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围为（，+） 【解答】 解：函数 f（x）=e xmx+1 的导数为 f （x）=exm， 若曲线 C存在与直线 y=ex垂直的切线， 即有 exm=有解， 即 m=e x+ ， 由 ex0，则 m， 则实数 m 的范围为（，+） ， 故答案为：（，+） 第 16 页（共 24 页） 16 （5 分）已知椭圆与直线，过 椭圆上一点 P作 l1，l2的平行线，分别交l1，l2于 M，N 两点若 | MN| 为定值， 则的值是2 【解答】 解：当点 P 为（0，b）时，过椭圆上一点P 作 l1，l2的平行线分别为 +b，+b， 联立可得
23、 M（b，） ，同理可得 N（b，） ，| MN| =2b 当点 P为（a，0）时，过椭圆上一点 P作 l1，l2的平行线分别为， +， 联立可得 M（，） ，同理可得 N（，） ， ） ，| MN| = 若| MN| 为定值，则 2b=，?，则的值是 2 故答案为： 2 三、解答题（共5 小题，满分 60 分） 17 （12 分）设 ABC三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，ABC的面积 S满足 4S=a 2+b2c2 （1）求角 C的值； （2）求 sinBcosA的取值范围 【解答】 解： （1）ABC的面积 S满足 4S=a 2+b2c2， 可得 4absinC=a 2+b2
24、c2， 即有 cosC=sinC， 则 tanC=， 由 0C ，可得 C=； 第 17 页（共 24 页） （2）由 A+B= C=， 即 B=A， sinBcosA=sin （A）cosA =cosA +sinAcosA =sinAcosA=sin （A） ， 由 0A，可得A， 则sin（A）1， 即有 sinBcosA的取值范围是（，1 18 （12分）如图，在矩形ABCD中，CD=2 ，BC=1 ，E，F是平面 ABCD同一侧两 点，EA FC ，AEAB，EA=2 ，DE=，FC=1 （1）证明：平面 CDF 平面 ADE ； （2）求二面角 EBDF的正弦值 【解答】 证明： （
25、1）四边形 ABCD是矩形， CD ADAE AB，CDAB，CDAE 又 ADAE=A ，CD平面 ADE CD ? 平面 CDF ， 平面 CDF 平面 ADE （4 分） 解： （1）BC=1 ，EA=2 ，DE=，DE 2=AD2+AE2， AE AD，又 AE AB，ABAD=A， AE 平面 ABCD （6 分） 第 18 页（共 24 页） 以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 D（0，0，0） ，B（1，2，0） ，F（0，2，1） ，E（1，0，2） =（1，2，0） ，=（0，2，1） ， 设平面 BDF的一个法向量=（x，y，z） ， 由， 令
26、x=2，得 =（2， 1，2） 同理可求得平面 BDE的一个法向量=（2，1，1） ， cos =， （10 分） sin= 故二面角 EBDF的正弦值为 （12 分） 19 （12 分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初 步勘探了部分几口井， 取得了地质资料 进入全面勘探时期后， 集团按网络点米 布置井位进行全面勘探 由于勘探一口井的费用很高， 如果新设计的井位与原有 井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用， 勘探初期数据资料见下表： 井号 I123456 坐标 （x， y）（km） （2，30） （4，40） （5，60） （6，50）
27、 （8，70） （1，y） 钻探深度（ km）2456810 出油量（ L）407011090160205 （） 16 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a， 求 a，并估计 y 的预报值； 第 19 页（共 24 页） （）现准备勘探新井7（1，25） ，若通过 1、3、5、7 号井计算出的， 的值 （ ， 精确到 0.01）与（I）中 b，a 的值差不超过 10%，则使用位置最接近的已 有旧井 6（1，y） ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计 算结果：=， = ，=94，=945） （）设出油量与勘探深度的比值k 不低于 20 的勘探
28、井称为优质井，那么在原 有 6 口井中任意勘探 4 口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望 【 解 答 】解 ： （ ） 利 用前 5 组 数 据 得 到=（ 2+4+5+6+8） =5，= （30+40+60+50+70）=50， y=6.5x+a， a=506.55=17.5， 回归直线方程为y=6.5x+17.5， 当 x=1时，y=6.5+17.5=24， y 的预报值为 24 （）=4， =46.25，=84，=945， =6.83， =46.256.834=18.93， 即 =6.83， =18.93，b=6.5，a=17.5，5%，8%，均不超过 10%， 可使用位置最接近的已
29、有旧井6（1，24） （）由题意， 1、3、5、7 这 4 口井是优质井， 2，4 这两口井是非优质井， 勘察优质井数 X的可能取值为 2，3，4， P（X=k）=，可得 P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）= 第 20 页（共 24 页） X的分布列为： X234 P EX=2 +3+4= 20 （12 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 2，设右焦点为 F， 过原点 O的直线 l 与椭圆 C交于 A，B两点，线段 AF的中点为 M，线段 BF的中 点为 N，且?= （1）求弦 AB的长； （2）当直线l 的斜率 k=，且直线l l 时，l 交椭圆于 P，Q，若点 A 在第一
30、 象限，求证：直线AP，AQ与 x 轴围成一个等腰三角形 【解答】 解： （1）由题意可知： 2c=2，c=，设 F（，0） ，A（x0，y0） ，B （x0，y0） ， 则 M（，） ，N（，） ， 由?=，则 x02+y02=5，则丨 AB丨=2=2， （2）由直线 l 的斜率 k=时，且 l l，则 l：y=x，设 l ：y=x+m，y0=x0， 由 x02+y02=5，则 A（2，1） ，由 c=，代入椭圆方程解得： a=2，c=， 椭圆的方程：， 联立，整理得 x2+2mx+2m24=0， 设直线 AP，AQ的斜率分别为 k1，k2， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则
31、k1=，k2= 第 21 页（共 24 页） 由 x2+2mx+2m24=0， 可得 x1+x2=2m，x1x2=2m24， k1+k2=?= = =0 即 k1+k2=0 直线 AP，AQ与 x轴围成一个等腰三角形 21 （12 分）已知 ，是方程 4x24tx1=0（tR）的两个不等实根，函数f （x）=的定义域为 ， （1）当 t=0 时，求函数 f（x）的最值 （2）试判断函数 f（x）在区间 ， 的单调性 （3） 设 g （t） =f （x） maxf （x）min， 试证明： 对于 ， ， （0， ） ， 若 sin +sin +sin =1， 则+（参考公式：（a， b，c0）
32、，当且仅当 a=b=c时等号成立） 【解答】 解： （1）当 t=0 时，方程 4x21=0的两实根为， f（x）= ， 当时，f （x）0，f（x）在为单调递增函数， f（x）的最小值为，f（x）的最大值为； （2） 第 22 页（共 24 页） 由题知： x ， 时，4x24tx10，所以 f （x）0，f（x）在区间 ， 为单调递增函数 （3）证明：由（2）知， 又由题得：， ， ， = ， （， ， 由于等号不能同时成立，故得证+ 请考生在22,23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分 选修 44：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程
33、为（t 为参数） ， 以原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C的极坐标方程为=asin （a0） （）求圆 C的直角坐标系方程与直线l 的普通方程； （）设直线 l 截圆 C的弦长等于圆 C的半径长的倍，求 a 的值 第 23 页（共 24 页） 【解答】 解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，消去参数 t，可 得：4x+3y8=0； 由圆 C的极坐标方程为=asin （a0） ，可得 2=asin ，根据 sin =y， 2=x2+y2 可得圆 C的直角坐标系方程为： x2+y2ay=0，即 （）由（）可知圆C的圆心为（ 0，）半径 r=， 直线方程为 4x+3
34、y8=0； 那么：圆心到直线的距离d= 直线 l 截圆 C的弦长为=2 解得： a=32或 a= 故得直线 l 截圆 C的弦长等于圆 C的半径长的倍时 a 的值为 32 或 选修 4-5：不等式证明 23已知函数 f（x）=| x+1| ，g（x）=2| x|+ a （1）当 a=0 时，求不等式 f（x）g（x）的解集 （2）若存在实数 x，使得 g（x）f（x）成立，求实数 a 的取值范围 【解答】 解： （1）当 a=0时，由 f（x）g（x）得| x+1| 2| x| ， 两边平方整理得 3x22x10，解得 所以原不等式的解集为 （4 分） （2）由 g（x）f（x）得 a| x+1| 2| x| ， 令 h（x）=| x+1| 2| x| ， 则， 作出函数的图象，得h（x）max=h（0）=1 从而实数 a 的取值范围为（， 1 （10 分） 第 24 页（共 24 页）