2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科).pdf

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1、第 1 页（共 23 页） 2018 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 A= x| 1x3 ，B= 1，0，1，2 ，则 AB=（） A 1，0，1，2 B x| 1x3C 0，1，2D1，0，1 2 （5 分）已知复数 z满足 zi=2+i，i 是虚数单位，则 | z| =（） ABC 2 D 3 （5 分）在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，则数字2 是这三个不同 数字的平均数的概率是（） ABC D 4 （5 分）已知变量 x，y

2、满足约束条件则 z=3x+y 的最小值为（） A11 B12 C 8 D3 5 （5 分）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（） A20 B35 C 45 D90 6 （5 分）已知抛物线 y 2=8x的准线与 x 轴交于点 D，与双曲线 交于 A， B两点，点 F为抛物线的焦点，若 ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率 是（） ABC D 7 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x +?） （ 0，0?） ，f（x1）=1，f（x2） =0，若| x1x2|min=，且 f（）=，则 f（x）的单调递增区间为（） A B CD 8 （5 分）函数的

3、部分图象大致为（） 第 2 页（共 23 页） ABC D 9 （5 分） 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“ 远 看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一” ，其意大致为：有一栋七层 宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381 盏灯，则该塔 中间一层有（）盏灯 A24 B48 C 12 D60 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（） A2 018 B1 CD2 11 （5 分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： AF GC ； BD与 GC成异面直线且夹角为60 ； BD MN； BG与平面 ABCD所成的角为

4、45 其中正确的个数是（） 第 3 页（共 23 页） A1 B2 C 3 D4 12（5 分） 定义在 R上函数 y=f （x+2） 的图象关于直线x=2 对称，且函数 f （x+1） 是偶函数若当 x 0，1 时，则函数 g（x）=f（x）e |x| 在区 间 2018，2018 上零点的个数为（） A2017 B2018 C4034 D4036 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应 位置. 13 （5 分）已知=（2，1） ， 2 =（1，1） ，则= 14 （5 分）曲线 y=ln（x+1）在点（ 1，ln2）处的切线方程为 15 （5 分

5、）从原点 O 向圆 C ：x2+y212y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所 分的劣弧与优弧之比为 16 （5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC中，AB=， ACB=60 ，BCD=90 ，ABCD，CD=，则该球的体积为 三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分.其中 17 至 21 题为必做题， 22、23 题 为选做题 .解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分） 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 且 2c?cosB b=2a （）求角 C的大小； （）设角 A 的平分线交 BC于 D，且 AD=，若 b=，求

6、ABC的面积 18（12 分） 在四棱锥 PABCD中， ADBC ， 平面 PAC 平面 ABCD ， AB=AD=DC=1 ， 第 4 页（共 23 页） ABC= DCB=60 ，E是 PC上一点 （）证明：平面EAB 平面 PAC ； （）若 PAC是正三角形，且 E是 PC中点，求三棱锥 AEBC的体积 19 （12分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该 种药用昆虫的 6 组观测数据如表： 温度 x/ C212324272932 产卵数 y/个61120275777 经 计 算 得 ：， ， 线 性 回 归 模 型 的 残 差 平 方 和 ，e8.0605

7、3167，其中 xi，yi分别为观测数据中的温度和产 卵数， i=1，2，3，4，5，6 （）若用线性回归模型，求y 关于 x的回归方程= x+ （精确到 0.1） ； （）若用非线性回归模型求得y 关于 x 的回归方程为=0.06e 0.2303x，且相关指 数 R 2=0.9522 （ i ）试与（）中的回归模型相比，用R 2 说明哪种模型的拟合效果更好 （ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整 数） 附：一组数据（ x1，y1） ， （x2，y2） ， ， （xn，yn） ，其回归直线= x+ 的斜率和 第 5 页（共 23 页） 截 距 的 最 小

8、二 乘 估 计 为，=； 相 关 指 数 R 2= 20 （12 分）已知椭圆 C1以直线所过的定点为一个焦点， 且短轴长为 4 （）求椭圆 C1的标准方程； （）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭 圆 C1的长轴和短轴的长的倍（ 1） ，过点 C（1，0）的直线 l 与椭圆 C2交 于 A，B两个不同的点， 若，求OAB的面积取得最大值时直线l 的方程 21 （12 分）已知函数（aR） （）讨论 g（x）的单调性； （）若证明：当 x0，且 x1 时， 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分， 作答时，请用 2B铅笔在答题

9、卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4-4：坐标 系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 l 经过点 P（2，0） ，其倾斜角为 ， 在以原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位）， 曲线 C的极坐标方程为 4cos=0 （）若直线 l 与曲线 C有公共点，求倾斜角的取值范围； （）设 M（x，y）为曲线 C上任意一点，求的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x3| | x+5| （）求不等式 f（x）2 的解集； 第 6 页（共 23 页） （）设函数 f（x）的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 有解，求

10、m 的取值 范围 第 7 页（共 23 页） 2018 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四 个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 A= x| 1x3 ，B= 1，0，1，2 ，则 AB=（） A 1，0，1，2 B x| 1x3C 0，1，2D1，0，1 【解答】 解：集合 A= x| 1x3，B= 1，0，1，2 ， AB= 0，1，2 故选： C 2 （5 分）已知复数 z满足 zi=2+i，i 是虚数单位，则 | z| =（） ABC 2 D 【解答】 解：由

11、zi=2+i，得， | z| =， 故选： D 3 （5 分）在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，则数字2 是这三个不同 数字的平均数的概率是（） ABC D 【解答】解：在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4 个， 分别为： （1，2，3） ， （1，2，6） ， （1，3，6） ， （2，3，6） 数字 2 是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3） ，共 1 个 数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是 故选： A 第 8 页（共 23 页） 4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件则 z=3x+y 的最小值为（） A11 B12

12、C 8 D3 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（2，2） ， 化目标函数 z=3x+y 为 y=3x+z， 由图可知，当直线y=3x+z过 A 时，直线在 y 轴上的截距 最小， z有最小值为 z=32+2=8 故选： C 5 （5 分）设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（） A20 B35 C 45 D90 【解答】解：由等差数列的性质得， a1+a9=a2+a8=10，S9= 故选： C 6 （5 分）已知抛物线 y2=8x的准线与 x 轴交于点 D，与双曲线交于 A， B两点，点 F为抛物线的焦点，若 ADF为等腰直角三角形，

13、则双曲线的离心率 是（） 第 9 页（共 23 页） ABC D 【解答】 解：抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2，准线与 x 轴的交点为 D（2， 0） ， 由ADF为等腰直角三角形，得 | AD| =| DF| =4，故点 A 的坐标为（ 2，4） ， 由点 A 在双曲线上，可得，解得，即， ， 双曲线的离心率 故选： D 7 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x +?） （ 0，0?） ，f（x1）=1，f（x2） =0，若| x1x2|min=，且 f（）=，则 f（x）的单调递增区间为（） A B CD 【解答】 解：设 f（x）的周期为 T，由 f（x1）=1，f（x2）

14、=0，| x1x2| min= ， 得， 由 f（）=，得 sin（ +?）=，即 cos?=， 又 0?， ?=，f（x）=sin（x） 由， 第 10 页（共 23 页） 得 f（x）的单调递增区间为 故选： B 8 （5 分）函数的部分图象大致为（） ABC D 【解答】 解： f（x）=f（x） ，可得 f（x）为奇函数，排除B， 1，排除 A 当 x0 时，在区间（ 1，+）上 f（x）单调递 增，排除 D， 故选 C 9 （5 分） 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“ 远 看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一” ，其意大致为：有一栋七层 宝塔，每层悬挂

15、的红灯数为上一层的两倍，共有381 盏灯，则该塔 中间一层有（）盏灯 A24 B48 C 12 D60 【解答】 解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2 的等比数列， 设首项为 a，则，解之得 a=3， 则该塔中间一层灯盏数有323=24 第 11 页（共 23 页） 故选： A 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（） A2 018 B1 CD2 【解答】 解：依题意，执行如图所示的程序框图可知： 初始 S=2 ，当 k=0时，S0=1，k=1时，S 1= ， 同理 S2=2，S3=1，S4=， ， 可见 Sn的值周期为 3 当 k=2017时，S2017=S1=，

16、 k=2018，退出循环输出S= 故选： C 11 （5 分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： AF GC ； BD与 GC成异面直线且夹角为60 ； BD MN； BG与平面 ABCD所成的角为 45 其中正确的个数是（） 第 12 页（共 23 页） A1 B2 C 3 D4 【解答】 解：将正方体纸盒展开图还原成正方体， 在中，如图知 AF与 GC异面垂直，故正确； 在中， BD与 GC成异面直线，连接EB ，ED则 BMGC ， 在等边 BDM 中，BD与 BM 所成的 60 角就是异面直线 BD与 GC所成的角，故 正确； 在中， BD与 MN 异面垂直，

17、故错误； 在中， GD 平面 ABCD ，所以在 RtBDG中， GBD是 BG与平面 ABCD所成 的角， RtBDG不是等腰直角三角形 所以 BG与平面 ABCD所成的角不是为 45 ，故 错误 故选： B 12（5 分） 定义在 R上函数 y=f （x+2） 的图象关于直线x=2 对称，且函数 f （x+1） 第 13 页（共 23 页） 是偶函数若当 x 0，1 时，则函数 g（x）=f（x）e |x| 在区 间 2018，2018 上零点的个数为（） A2017 B2018 C4034 D4036 【解答】 解：函数 g（x）=f（x）e |x| 在区间 2018，2018 上零点的

18、个数 ? 函数的图象与 y=e |x| 的图象交点个数 由 y=f（x+2）的图象关于直线 x=2 对称，得 f（x）是偶函数，即 f（ x）=f（x） 又函数 f（x+1）是偶函数， f（x+1）=f（x+1） ，故 f（x+2）=f（x）=f（x） ， 因此， f（x）是周期为 2 的偶函数 当 x 0，1 时， 作出 y=f（x）与图象如下图， 可知每个周期内有两个交点， 所以函数 g （x） =f （x） e |x| 在区间 2018， 2018 上零点的个数为 20182=4036 故选： D 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应 位置.

19、 13 （5 分）已知=（2，1） ， 2 =（1，1） ，则=1 【解答】 解：根据题意，设=（x，y） ， 则 2 =（22x，12y）=（1，1） ， 则有 22x=1，12y=1， 解可得 x= ，y=0， 则 =（，0） ， 则=2+10=1； 第 14 页（共 23 页） 故答案为： 1 14 （5 分）曲线 y=ln （x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x2y1+2ln2=0 【解答】 解：根据题意，曲线y=ln（x+1） ， 则有 y=， 则由所求切线斜率， 又由 f（1）=ln（1+1）=ln2， 则曲线在点（ 1，ln2） 处的切线方程为，即 x2y1+2ln2=0

20、故答案为： x2y1+2ln2=0 15 （5 分）从原点 O 向圆 C ：x 2+y212y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所 分的劣弧与优弧之比为 【解答】 解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y6）2=9，得到圆心 C （0，6） ， 圆的半径 r=3， 由圆切线的性质可知，CBO= CAO=90 ， 且 AC=BC=3 ，OC=6 ，则有 ACB= ACO +BCO=60 +60 =120 ， 该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 故答案为： 16 （5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC中，AB=， ACB=60 ，BCD=90 ，ABCD，CD=，则该球的体积为 第

21、 15 页（共 23 页） 【解答】 解：以 ABC所在平面为球的截面， 则由正弦定理得截面圆的半径为， 依题意得 CD 平面 ABC ， 故球心到截面的距离为， 则球的半径为 所以球的体积为 故答案为： 三、解答题：本大题共5 小题，共 70 分.其中 17 至 21 题为必做题， 22、23 题 为选做题 .解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分） 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 且 2c?cosB b=2a （）求角 C的大小； （）设角 A 的平分线交 BC于 D，且 AD=，若 b=，求 ABC的面积 【解答】 解： （）根据

22、题意，若2c?cosB b=2a， 则有， 整理得 a2+b2c2=ab， ， 第 16 页（共 23 页） 又在 ABC中，0C ， ，即角 C的大小为； （）由（），在 ADC中，AC=b=，AD=， 由正弦定理得， 在 ADC中，0CDA ，C为钝角， ，故 在 ABC中，AD是角 A 的平分线， ABC是等腰三角形， 故ABC的面积 18（12 分） 在四棱锥 PABCD中， ADBC ， 平面 PAC 平面 ABCD ， AB=AD=DC=1 ， ABC= DCB=60 ，E是 PC上一点 （）证明：平面EAB 平面 PAC ； （）若 PAC是正三角形，且 E是 PC中点，求三棱锥

23、 AEBC的体积 【解答】 证明： （）依题意得四边形ABCD是底角为 60 的等腰梯形， （1 分） BAD= ADC=120 （2 分） AD=DC ， DAC= DCA=30 （3 分） BAC= BAD DAC=120 30 =90 ，即 ABAC （4 分） 平面 PAC 平面 ABCD ，平面 PAC 平面 ABCD=AC ， AB平面 PAC ， （5 分） 又平面 AB? 平面 EAB ， 平面 EAB 平面 PAC （6 分） 解： （）解法一：由（）及已知得，在RtABC中， ABC=60 ，AB=1， 第 17 页（共 23 页） AC=AB?tan60 = ，BC=2A

24、B=2 ，且 AB平面 PAC ， （7 分） AB是三棱锥 BEAC的高，正 PAC的边长为 （8 分） E是 PC的中点， SEAC=SPAC= （10分） 三棱锥 AEBC的体积为 （12 分） （）解法二：过P作 POAC于点 O， 平面 PAC 平面 ABCD ，平面 PAC 平面 ABCD=AC ， PO 平面 ABC ， 过 E作 EF AC于点 F，同理得 EF 平面 ABC ， EF是三棱锥 E ABC的高，且 PO EF ， （7 分） 又 E是 PC中点， EF是POC的中位线，故 由（）及已知得，在RtABC中， ABC=60 ，AB=1 ， BC=2AB=2 ，AC=

25、AB?tan60 = ，即正 PAC的边长为， （8 分） PO= ，故 EF= （9 分） 在 RtABC中，SABC= （10 分） 三棱锥 AEBC的体积为 （12 分） 19 （12分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该 种药用昆虫的 6 组观测数据如表： 温度 x/ C212324272932 产卵数 y/个61120275777 第 18 页（共 23 页） 经 计 算 得 ：， ， 线 性 回 归 模 型 的 残 差 平 方 和 ，e8.06053167，其中 xi，yi分别为观测数据中的温度和产 卵数， i=1，2，3，4，5，6 （）若用线性回归模

26、型，求y 关于 x的回归方程= x+ （精确到 0.1） ； （）若用非线性回归模型求得y 关于 x 的回归方程为=0.06e 0.2303x，且相关指 数 R 2=0.9522 （ i ）试与（）中的回归模型相比，用R 2 说明哪种模型的拟合效果更好 （ii）用拟合效果好的模型预测温度为35 C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整 数） 附：一组数据（ x1，y1） ， （x2，y2） ， ， （xn，yn） ，其回归直线= x+ 的斜率和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 为，=； 相 关 指 数 R 2= 【解答】 解： （）依题意， n=6， （2 分） 336.626=138.6， （

27、3 分） y 关于 x 的线性回归方程为=6.6x138.6 （4 分） 第 19 页（共 23 页） （） （ i ）利用所给数据，得， 线性回归方程=6.6x138.6 的相关指数 R 2= （6 分） 0.93980.9522， （7 分） 因此， 回归方程=0.06e 0.2303x 比线性回归方程=6.6x138.6拟合效果更好 （8 分） （ii）由（ i ）得温度 x=35 C时，=0.06e 0.230335=0.06e8.0605 （9 分） 又e8.06053167， （10 分） 0.063167190（个） （11 分） 所以当温度 x=35 C时，该种药用昆虫的产卵数

28、估计为190 个 （12 分） 20 （12 分）已知椭圆 C1以直线所过的定点为一个焦点， 且短轴长为 4 （）求椭圆 C1的标准方程； （）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭 圆 C1的长轴和短轴的长的倍（ 1） ，过点 C（1，0）的直线 l 与椭圆 C2交 于 A，B两个不同的点， 若，求OAB的面积取得最大值时直线l 的方程 【解答】 解： （）所给直线方程变形为， 可知直线所过定点为 椭圆焦点在 y 轴，且 c=， 依题意可知 b=2，a 2=c2+b2=9 则椭圆 C1的方程标准为； 第 20 页（共 23 页） （）依题意，设椭圆C2的方程为，A

29、（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 1，点 C（1，0）在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点 当直线 l 垂直于 x 轴时，（不是零向量），不合条件； 故设直线 l 为 y=k（x+1） （A，B，O三点不共线，故k0） ， 由，得 由韦达定理得 ，而点 C（1，0） ， （ 1x1，y1）=2（x2+1，y2） ，则 y1=2y2， 即 y1+y2=y2，故 OAB的面积为 SOAB=SAOC+SBOC = 上式取等号的条件是，即 k=时，OAB的面积取得最大值 直线的方程为或 21 （12 分）已知函数（aR） （）讨论 g（x）的单调性； （）若证明：当 x0，且 x1 时，

30、 【解答】 （）解：由已知得g（x）的定义域为（ 0，+） ， （1 分） 方程 2x2+xa=0的判别式 =1+8a （2 分） 当时， 0，g（x）0， 第 21 页（共 23 页） 此时， g（x）在（ 0，+）上为增函数； （3 分） 当时， 设方程 2x2+xa=0的两根为， 若，则 x1x20， 此时， g（x）0，g（x）在（ 0，+）上为增函数； （4 分） 若 a0，则 x10x2， 此时， g（x）在（ 0，x2 上为减函数，在（ x2，+）上为增函数， （5 分） 综上所述：当 a0 时，g（x）的增区间为（ 0，+） ，无减区间； 当 a0 时，g（x）的减区间为（ 0

31、，x2 ，增区间为（ x2，+） （6 分） （）证明：由题意知， （7 分） ， （8 分） 考虑函数， 则 （9 分） 所以 x1 时，h（x）0，而 h（1）=0 （10 分） 故 x（0，1）时，可得， x（1，+）时，可得， （11 分） 从而当 x0，且 x1 时， （12 分） 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分， 作答时，请用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 选修 4-4：坐标 系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 l 经过点 P（2，0） ，其倾斜角为 ， 在以原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的

32、极坐标系中（取相同的长度单位）， 曲线 C的极坐标方程为 4cos=0 （）若直线 l 与曲线 C有公共点，求倾斜角的取值范围； （）设 M（x，y）为曲线 C上任意一点，求的取值范围 第 22 页（共 23 页） 【解答】解： （）由曲线 C的极坐标方程得 24cos=0 ，又 x=cos，y=sin ， 曲线 C的直角坐标方程为x2+y24x=0，即（ x2） 2+y2=4 （1 分） 曲线 C是圆心为 C（2，0） ，半径为 2 的圆 直线 l 过点 P（2，0） ，当 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=2 与曲线 C没 有公共点， 直线 l 的斜率存在，设直线l：y=k（x+2）

33、 ，即 kxy+2k=0 直线 l 与圆有公共点，则圆心C到直线 l 的距离， 得， 0， ） ， 的取值范围是 （）法一：由（）曲线C的直角坐标方程为（ x2）2+y2=4， 故其参数方程为（为参数） M（x，y）为曲线 C上任意一点， ， ， ， 因此，的取值范围是 2，6 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| x3| | x+5| （）求不等式 f（x）2 的解集； （）设函数 f（x）的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 有解，求 m 的取值 范围 【解答】 解： （）当 x3 时，f（x）=8，此时 f（x）2 无解； （1 分） 当5x3 时，f（x）=2x2，由 f（x）2 解得 5x2； （3 分） 第 23 页（共 23 页） 当 x5 时，f（x）=8，此时 f（x）2 恒成立 （4 分） 综上，不等式 f（x）2 的解集是 x| x2 （5 分） （）由（）可知 （6 分） 易知函数 f（x）的最大值 M=8， （7 分） 若 x2+2x+m8 有解，得 mx22x+8 有解 （8 分） 即 m （x+1） 2+9 max=9 （9分） 因此， m 的取值范围是 m9 （10 分）