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1、2 0 0 1年第 9期 中学数学月 刊 3 7 B C C 图 1 4 说 明 本题方 案设计 的解题思路在 于在 大三角形 中的小 三角形相似 的两 种位置 ( 如 图 1 4 ) ， 平行和 不平行 ； 第二 是三角形 有三条 边又有三种情况 这样 ， 就有 6种方案存在 从 以上例题 可看 出方案设计这类 问题需 要 众 多 的 知 识 ， 包 括 生 产 生 活 知 识 在 设 计 时 ， 还要 综合考 虑 ， 所 以也很难 发 现其 规律 ， 需 要创新 能力 ， 所 以这类 问题 是考查创 新 能 力 的好题 在 当前强 调创 新能 力培养 的形 势 下 ， 研究 像方 案设计
2、这样 的开放 题就 显得 尤 为 重 要 了 求异面直线所成角的一个公式 孟 建 业 ( 河 北 省 石 家 庄 市 六 中0 5 0 0 5 1 ) 张 惠 英 ( 河 北 省 石 家庄 市 教 科 所0 5 0 0 1 1 ) 异 面直线所 成 的角 ， 是立 体几何 的重 要 内容 求异面直线所 成角 ， 常见的方法有 平移 法和补体法 本 文介 绍一个公式 ， 用它求解某 些类 型异面直线所成 的角将十分便捷 1 公 式 内 容 在 立体几 何 ( 必修 本 ) 的总复 习题 中 ， 有 这 样 的一 个 题 ： 如 图 1 ， AB 和 平 面 a所 成的 角是 0 ，A C 在 平
3、 面口 内 ， AC 和 AB 的射 影 AB 成 角 0 ， 设 BA C 一 0 ， 求 证 ： C O S 0l C OS 02一 C O S 0 ( 证 明略 ) 当 AC在 平 面 a内平 移 到其 它位 置 ， 这 个 等 式 仍 然 成 立 ， 即成 为 求 异 面直 线所 成角 的公 图 1 式 命 题 A B ， C D 是 两 条 异 蛊 备 线 ， C D 在 命 题 ， 是 两 条 异 面 直 线 ， 在 平 面 y内， AB 与平 面 y成 的角 是 口 ， C D 和 AB的射影成角 ， 异 面直线 AB， C D 所成 的 角为 0 ， 则 C O S 0 =c
4、o s口 C O S 2应 用 举 例 例 1 在 棱 长 为 1的 正 方 体 AB C D B C D 中， 和 分别 为 B 和 BB 的中点 ， 那 么直线 AM 和 CN 所 成角 的余弦 值 是 ( ) ( A ) 孚( B ) ( C) _ 兰 _ ( D) 导 ( 1 9 9 2年全 国高考题) 解 BB 是 AM在 平 面 BC N 上 的 射 影 ， AM 与 A B Bl成 角 口 ， C O S口 1 2 一 一 A 2 C N 与 NB成角 ， 图3 C C 1 c 。 s 一 一 ， A 与 c 所成角为 ， 2 。s 一c。s as 一 六一 号 故选 D 维普资
5、讯 http:/ 3 8 中学数学月刊 2 0 0 1年第 9 期 例 2 如 图 4 ， 正 方 形 AB C D 所 在 平 面 与 正 方 形 ABEF所 在平 面成 6 0 。 的 二 面 角 ， 则 异 面直 线 AD 与 BF 所 成角 的余 弦值 是 图 4 ( 1 9 9 6年 全国 高考题) 解 DAF是二 面角 的平面 角 ， AD 在 平 面 ABF上 的射 影 在 AF 上 ， DAF=口 ， C O S 口 =寺， A F与B F成的角为 ， C O S = ，因此异 面直 线 AD 与 BF所成 角 的 余 弦为 cos = 丢 孚= 例 3 在 三 棱 锥 D A
6、B C 中 ， DA上 平 面 AB C， A=90 。 ， ABD =3 0 。 ，AC =BC， 求异 面 直线 AB 和 C D 所 成 的 角的余 弦值 C 图 5 ( 选 自苏 州 大 学高三 数 学 教 学与 测 试 ) 解设 AC=BC=a， 则 AB= 口， 由 已 i l LABD：3 o 。 ， AD： 口 ， 进 而 DC： 口 A C是 C D 在平 面 AB C上 的射影 ， 设 DC A=口 ， 则 c 。 s 口 一 ， AC与 AB成 角 ：4 5 , c o s fl： ， 根 据公 式 ， 异 面 直线 AB 和 C D所 成角的余 弦为 cos 一 孚=
7、例4 如 图 6 ，正 方 体AB C D A B C D 中 ， 棱 长 为 口， E 是 A B 的 中 点 ， 则 直线 BD。 与 CE所 成角的余弦值是 c A ( c) ( D) E B 图 6 C C 解连 结 B D 交 C E 于 G， BD 是 BD。 在 平 面 AB C D 上 的 射 影 ， C O S D。 BD = - 亏 7 ，由平 面几 何知识 ， B G一 - - y2 - - ，G C 一 詈 ： ， 由 余 弦 定 理 ， o 。 ABG C： 一 ， 从 而 c 。 s B GE= 4 -i -6 ，利 用公 式 ， 异面直线 B D。 与 C E所成
8、角的余弦 为 co s = 箬 = 1 5 ，故 龃 例 5已知 圆 台 OO。 ， 轴截面 AB CD， 上 底 半径 、 下 底半 径 、 母 线长 之 比为 1：2： 2 ， BE是下底 面一条弦 ， 若 ABE=- 7“， 求异 面 直线 AC与 BE所成角的余弦值 解 作 CF上 AB， 交 AB 于 F， 由题 设 ， 上底半 径 、 下 底 半 径 、 母 线 长 之 比 为 1：2 ：2 ， A 从 而 可 得 C AB= 3 0 。 ，又 ABE 图 7 4 5 。 ， 于是异面直 线 A C与 BE所 成角的余 弦 为 C O S ：c 。 s 3 0 。 c 。 s 4
9、5 。 ： = 广 从 以上几 例看 出， 对 于分别 在两个 互相 垂直 的平面 上的两 条异 面直线 ， 使 用这个公 式会更加方便 而且 ， 使 用这个公式求异面直 线 所成的角 ， 可减少添加辅助线 ， 也避免 了求 维普资讯 http:/ 2 0 0 1年第 9期 中学数学月刊 3 9 出其补角情 形 例 6 如 图 8 所示 ， 四面体 ABC D 中 ， AB， B C， B D 两 两 互 相 垂 直 ， 且 B B C ： 2 ， E 是AC 中 点 ， 异 面 直 线 AD D C 图 8 与 BE所成 的角 的 大小 为 a r c c o s ， 求 四 面体 ABC
10、D 的体积 ( 2 0 0 0年 上海市 高考题 ) 解设 BDz， DAB一 口 ， AB E一 ，据 公 式 ， 有 c 。 s ac 。 s 一 2 = ，解 得 z一4 ， 故 VA c o 一百 12 2 4 8 ：= 一 3 。 例 7 在棱 长 都 相 等 的 四 面 体 ABC D 中 ， E， F分 别是棱 BC和 AD 的 中点 ， 求 AE 与 C F 所 成 的 角 ( 1 9 9 8年上 海市高考题 ) 解在 k AC D A 长 为 口， 由平 面几 何 知识 ， AH =_ , - 5 - 口， H G 一 口 ， LAHG一1 2 0 , 则 AG一 口 设 D
11、 b G co s a 一 寺Ia 一 孚彻 余 弦 2“ 定理 得 C O S G= ， 由公 式 ， AE， C F o 7 所 成 角 口 的 余 弦 cO s 一 孚 寺一 号 卿 ：arc c。s导 倒说交数列 李红( 山 东省平 邑职教 中 t 2 7 3 3 0 0 ) 罗文艳 ( 山 东 省 沂 水 二 中 2 7 6 4 0 0 ) 若 f 口 l ， 口 z ， 口 3 ， ， 口 ， n b I ， b 2 ， b 3 ， b， ， 则 称 c为 数列 1 2 与 b 的公 共 项 将数 列 1 2 与 b 的所 有公 共项 ， 按它 们 在 原 数 列 1 2 中 的
12、先 后 顺 序 排 成 的 数 列 ， 称 为数 列 12 与 的 交数 列 这是 一 个 有趣 而又值 得研 究 的问题 尽管 这类 问题 难度大 ， 综合 性强 ， 但 大多可 以转化 为整 除性 问题 ， 下 面举 例说 明 例 1 求在 ( 1 0 0 0 ， 2 0 0 0 ) 内能 被 3整除 且被 4除余 1的所有整数 的和 解设 t2 =3 n b一4 n 一 3 ， 本题 即求数 列 n 与 的交数列 的各项和 令 一口 一 ( ， k N+ ) ， 则 3 m 一 4 k一 3 一下 4 k- 3 ： 七一 1 EN+， 一 一 + k一 3， 6， 9， ， 3 ， 一 6 3 一 4 ( 3 n ) 一 3 1 2 n 一 3， 1 0 0 0 1 2 n一 3 2 0 00， 3 16 6 1 故交数 列 共有 1 6 6 8 4 +1 8 3项 ， 所求 之和为 ： 维普资讯 http:/