《2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科).pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页（共 20 页） 2018 年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A= x| 2x2 ，B= y| y=3 x1，xR ，则 AB=（ ） A （1，+）B 2，+）C 1，2D （1，2 2 （5 分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 3 （5 分）已知函数 f（x）满足：对任意x1，x2（0，+）且 x1x2，都有 ；对定义域内任意x，都有 f（x）=f（x） ，则符合上述条 件的函数是（）
2、 Af（x）=x 2+| x|+ 1 B Cf（x）=ln| x+1|Df（x）=cosx 4 （5 分）若，则 cos 2sin = （） A1 B1 C D1或 5 （5 分）已知等比数列 an 中，a1=1，a3+a5=6，则 a5+a7=（） A12 B10 C D 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的 n=（） A6 B7 C 8 D9 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（） A4+2BC4+D 8 （5 分）在边长为 a 的正三角形内任取一点P，则点 P 到三个顶点的距离均大 于的概率是（） AB
3、CD 9 （5 分）已知 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，若 a3+7=2a5，则 S13=（） A49 B91 C 98 D182 10 （5 分）已知函数，要得到 g（x）=cosx的图象，只需将函 数 y=f（x）的图象（） A向右平移个单位 B 向右平移个单位 C向左平移个单位D向左平移个单位 11 （5 分）已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点， P为椭圆 上一点，且（O 为坐标原点），若，则椭圆 的离心率为（） ABCD 12 （5 分）已知函数， （e 为自然对数的底数） ，则函数 的零点个数为（） A8 B6 C 4 D3 第 3 页（共 20 页） 二、填空题：本题
4、共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 （5 分）展开式中的常数项为 14 （5 分）已知向量=（2，3） ， =（x，y） ，且变量 x，y 满足，则 z= ? 的最大值为 15 （5 分）已知 AB为圆 C：x2+y22y=0的直径，点 P 为直线 y=x1 上任意一 点，则 | PA | 2+| PB |2 的最小值为 16 （5 分）在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为1 的小球，晃动此正 方体，则小球可以经过的空间的体积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 17-21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23题为选考
5、题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 a+2acosB=c （）求证： B=2A； （）若 ABC为锐角三角形，且c=2，求 a 的取值范围 18 （12 分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调 查：先销售该产品50 天，统计发现每天的销售量x 分布在 50，100）内，且销 售量 x 的分布频率 （）求 a 的值并估计销售量的平均数； （）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层 抽样的方法随机抽取8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计， 设这 3 天来自 X个组，
6、求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率） 19 （12 分）如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四面体（各条棱均相等的 三棱锥） ABCD的顶点 A，B，C分别在 x 轴， y 轴，z轴上 （）求证： CD 平面 OAB ； 第 4 页（共 20 页） （）求二面角 CABD 的余弦值 20 （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 l1：y=x 与直线 l2：y=x 之 间的阴影部分记为W，区域 W 中动点 P（x，y）到 l1，l2的距离之积为 1 （）求点 P的轨迹 C的方程； （）动直线 l 穿过区域 W，分别交直线 l1，l2于 A，B 两点，若直线 l 与轨迹 C
7、有且只有一个公共点，求证：OAB的面积恒为定值 21 （12 分）已知函数，g（x）=3elnx，其中 e 为自然对数的底数 （）讨论函数 f（x）的单调性 （）是否存在实数a，b，使 f（x）ax+bg（x）对任意 x（0，+）恒成 立？若存在，试求出a，b 的值；若不存在，请说明理由 （二）选考题：共10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分 .【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22 （10 分）设直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，若以直角坐标系 xOy 的原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲 线
8、C的极坐标方程为 sin 2=4cos （）将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线； 第 5 页（共 20 页） （）若直线 l 与曲线 C交于 A，B两点，求 | AB| 【选修 4-5：不等式选讲】 23已知函数 f（x）=| x+1|+ a| 2x1| （）当时，若对任意 xR恒成立，求 m+n 的最小 值； （）若 f（x）| x2| 的解集包含 1，2 ，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2018 年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中
9、，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A= x| 2x2 ，B= y| y=3 x1，xR ，则 AB=（ ） A （1，+）B 2，+）C 1，2D （1，2 【解答】 解：集合 A= x| 2x2， B=y| y=3 x1，xR= y| y1， AB= x| 1x2=（1，2 故选： D 2 （5 分）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【解答】 解：=， ， 则 在复平面内所对应的点的坐标为（，） ，位于第三象限角 故选： C 3 （5 分）已知函数 f（x）满足：对任意x1，x2（0，+）且 x1x2，都有 ；对定义域内任
10、意x，都有 f（x）=f（x） ，则符合上述条 件的函数是（） Af（x）=x 2+| x|+ 1 B Cf（x）=ln| x+1|Df（x）=cosx 【解答】 解：由题意得： f（x）是偶函数，在（ 0，+）递增， 对于 A，f（x）=f（x） ，是偶函数，且x0 时，f（x）=x 2+x+1，f （x）=2x+1 第 7 页（共 20 页） 0， 故 f（x）在（ 0，+）递增，符合题意； 对于 B，函数 f（x）是奇函数，不合题意； 对于 C，由 x+1=0，解得： x1，定义域不关于原点对称， 故函数 f（x）不是偶函数，不合题意； 对于 D，函数 f（x）在（ 0，+）无单调性，不
11、合题意； 故选： A 4 （5 分）若，则 cos 2sin = （） A1 B1 C D1或 【解答】 解：若，则 1+cos=3sin ，又 sin2 +cos 2=1 ， sin = ，cos=3sin 1=，cos 2sin = ， 故选： C 5 （5 分）已知等比数列 an 中，a1=1，a3+a5=6，则 a5+a7=（） A12 B10 C D 【解答】 解：， a1=1，a3+a5=6， a3+a5=q2+q4=6， 得 q4+q26=0， 即（q22） （q2+3）=0， 则 q2=2， 则 a5+a7=q 4+q6=22+23=4+8=12， 故选： A 6 （5 分）执
12、行如图所示的程序框图，若输入p=0.99，则输出的 n=（） 第 8 页（共 20 页） A6 B7 C 8 D9 【解答】解：模拟程序的运行， 可得程序框图的功能是计算S= + 的值 由题意， S= +=10.99，可得： 2k100，解得： k 7， 即当 n=8 时，S的值不满足条件，退出循环 故选： C 7 （5 分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（） A4+2BC4+D 【解答】 解：由几何体的三视图得： 该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体， 其中长方体的长为4，宽为 1，高为 1， 第 9 页（共 20 页） 半圆柱的底面半径为r=1，高为 h=1，如图，
13、该几何体的体积： V=411+=4+ 故选： D 8 （5 分）在边长为 a 的正三角形内任取一点P，则点 P 到三个顶点的距离均大 于的概率是（） ABCD 【解答】 解：满足条件的正三角形ABC如下图所示： 边长 AB=a， 其中正三角形 ABC的面积 S三角形=?a2?sin=a2； 满足到正三角形 ABC的顶点 A、B、C 的距离至少有一个小于1 的平面区域， 如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆， S阴影=?=， 使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是： P=1=1 故选： B 第 10 页（共 20 页） 9 （5 分）已知 an为等差数列， Sn为其前 n
14、项和，若 a3+7=2a5，则 S13=（） A49 B91 C 98 D182 【解答】 解：设等差数列 an 的公差为 d，a3+7=2a5， a1+2d+7=2（a1+4d） ，化为： a1+6d=7=a7 则 S13=13a7=137=91 故选： B 10 （5 分）已知函数，要得到 g（x）=cosx的图象，只需将函 数 y=f（x）的图象（） A向右平移个单位 B 向右平移个单位 C向左平移个单位D向左平移个单位 【解答】 解：将函数 y=f（x）=sin（x）的图象向左平移个单位， 可得 y=sin（x+）=cosx的图象， 故选： D 11 （5 分）已知 F1，F2分别是椭
15、圆的左、右焦点， P为椭圆 上一点，且（O 为坐标原点），若，则椭圆 的离心率为（） ABCD 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：如图，取 PF1的中点 A，连接 OA， 2=+，=， +=， ， ?=0， ， ， 不妨设 | PF2| =m，则| PF1| =m， | PF2|+| PF1| =2a=m+m， m=a=2（1）a， | F1F2| =2c， 4c 2=m2+2m2=3m2=34a2（32 ） ， =96=（）2， e=， 故选： A 12 （5 分）已知函数， （e 为自然对数的底数） ，则函数 的零点个数为（） A8 B6 C 4 D3 第 12 页（共 20 页
16、） 【解答】 解：令 f（x）=t 可得 f（t）=t+1 作出 f（x）的函数图象如图所示： 设直线 y=kx+1 与 y=e x 相切，切点为（ x0，y0） ，则， 解得 x0=0，k=1 设直线 y=kx+1 与 y=lnx相切，切点为（ x1，y1） ，则， 解得 x1=e2，k= 直线 y=t+1 与 f（t）的图象有 4 个交点， 不妨设 4 个交点横坐标为 t1，t2，t3，t4，且 t1t2t3t4， 由图象可知 t10，t2=0，0t31，t4=e 2 由 f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解， f（x）=t2有 1 解，f（x）=t3有 3 解，f （x）=t4有 2
17、 解 F（x）有 6 个零点 故选： B 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 （5 分）展开式中的常数项为 【解答】 解：二项式展开式的通项公式为 Tr+1=?x 6r? =?， 第 13 页（共 20 页） 令 6=0，解得 r=4； 展开式中的常数项为 ?= 故答案为： 14 （5 分）已知向量=（2，3） ， =（x，y） ，且变量 x，y 满足，则 z= ? 的最大值为 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（） ， =（2，3） ， =（x，y） ， z= ? =2x+3y，化为 y=，由图可知，当直线y=过 A 时， 直线在 y 轴上
18、的截距最大， z有最小值为 故答案为： 15 （5 分）已知 AB为圆 C：x2+y22y=0的直径，点 P 为直线 y=x1 上任意一 点，则 | PA | 2+| PB |2 的最小值为6 【解答】 解：圆 C：x 2+y22y=0， 第 14 页（共 20 页） 转化为： x 2+（y1）2=1， 则：圆心（ 0，1）到直线 y=x1 的距离 d=， 由于 AB为圆的直径， 则：点 A 到直线的最小距离为： 点 B到直线的距离为 则：| PA | 2+| PB|2= =6， 故答案为： 6 16 （5 分）在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为1 的小球，晃动此正 方体，则小球可以
19、经过的空间的体积为 【解答】解：在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为1 的小球，晃动此 正方体， 小球可以经过的空间的体积： V= 故答案为： 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .第 17-21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 a+2acosB=c （）求证： B=2A； （）若 ABC为锐角三角形，且c=2，求 a 的取值范围 【解答】 解： （）证明：根据题意，在ABC中，a+2acosB=c ， 由正弦定理知 s
20、inA+2sinAcosB=sinC=sin （A+B）=sinAcosB +cosAsinB ， 即 sinA=cosAsinB sinAcosB=sin （BA） 因为 A，B（0， ） ， 所以 BA（ ， ） ，且 A+（BA）=B（0， ） ，所以 A+（BA） ， 所以 A=BA，B=2A 第 15 页（共 20 页） （）由（）知， 由ABC为锐角三角形得， 得，则 0cosB ， 由 a+2acosB=2得， 又由 0cosB， 则 18 （12 分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调 查：先销售该产品50 天，统计发现每天的销售量x 分布在 50，10
21、0）内，且销 售量 x 的分布频率 （）求 a 的值并估计销售量的平均数； （）若销售量大于等于70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层 抽样的方法随机抽取8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计， 设这 3 天来自 X个组，求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率） 【解答】解： （）由题知，解得 5n9n，n 可取 5，6，7，8， 9， 代入中， 得，a=0.15 销售量在 50，60） ， 60，70） ， 70，80） ， 80，90） ， 90，100）内的频率分 别是 0.1，0.1，0.2，0.3，0.3， 销售量的平均数为550.1+650.1+750.2
22、+850.3+950.3=81 第 16 页（共 20 页） （）销售量在 70，80） ， 80，90） ， 90，100）内的频率之比为2：3：3， 所以各组抽取的天数分别为2，3，3 X的所有可能值为1，2，3， ， ， X的分布列为： X123 P 数学期望 19 （12 分）如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四面体（各条棱均相等的 三棱锥） ABCD的顶点 A，B，C分别在 x 轴， y 轴，z轴上 （）求证： CD 平面 OAB ； （）求二面角 CABD 的余弦值 【解答】 （）证明：由 AB=BC=CA ，可得 OA=OB=OC 设 OA=a，则，A（a，0，0） ，B（0
23、，a，0） ，C （0，0，a） ， 设 D 点的坐标为（ x，y，z） ，则由， 可得（ xa）2+y2+z 2=x2+（ya）2+z2=x2+y2+（za）2=2a2， 解得 x=y=z=a ， 第 17 页（共 20 页） 又平面 OAB的一个法向量为， ， CD 平面 OAB； （）解：设 F为 AB的中点，连接 CF ，DF， 则 CF AB，DFAB，CFD为二面角 CABD 的平面角 由（）知，在 CFD中， 则由余弦定理知， 即二面角 CABD的余弦值为 20 （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 l1：y=x 与直线 l2：y=x 之 间的阴影部分记为W，区域 W
24、中动点 P（x，y）到 l1，l2的距离之积为 1 （）求点 P的轨迹 C的方程； （）动直线 l 穿过区域 W，分别交直线 l1，l2于 A，B 两点，若直线 l 与轨迹 C 有且只有一个公共点，求证：OAB的面积恒为定值 【解答】 解： （）由题意得，| （x+y） （xy）| =2 第 18 页（共 20 页） 因为点 P在区域 W 内，所以 x+y 与 xy 同号，得（ x+y） （xy）=x 2y2=2， 即点 P的轨迹 C的方程为 （） 设直线 l 与 x轴相交于点 D， 当直线 l 的斜率不存在时， 得 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然 k0，则， 把直线
25、l 的方程与 C：x2y2=2 联立得（ k21）x22kmx+m2+2=0， 由直线 l 与轨迹 C有且只有一个公共点，知=4k2m24（k21） （m2+2）=0， 得 m2=2（k21）0，得 k1 或 k1 设 A（x1，y2） ，B（x2，y2） ，由得，同理，得 所以= 综上， OAB的面积恒为定值 2 21 （12 分）已知函数，g（x）=3elnx，其中 e 为自然对数的底数 （）讨论函数 f（x）的单调性 （）是否存在实数a，b，使 f（x）ax+bg（x）对任意 x（0，+）恒成 立？若存在，试求出a，b 的值；若不存在，请说明理由 【解答】 解： （）根据题意，函数， ，
26、 令 f（x）=0得 当且 x0 时，f（x）0；当时，f（x）0 所以 f（x）在（，0）上单调递减，在上单调递减，在 上单调递增 第 19 页（共 20 页） （）根据题意，注意到f（e）=g（e）=3e，则 ae+b=3e，b=3eae 于是， ax+bg（x）即 a（xe）3e（1lnx）0， 则记 h（x）=a（xe）+3e（1lnx） ， 若 a0，则 h（x）0，得 h（x）在（0，+）上单调递减，则当xe 时，有 h（x）h（e）=0，不合题意； 若 a0，易知 h（x）在上单调递减，在上单调递增， 得 h（x）在（ 0，+）上的最小值 记，则，得 m（a）有最大值 m（3）=
27、0，即 m（a）m（3）=0， 又 m（a）0，故 a=3，代入得 b=0 当 a=3，b=0时，f（x）ax+b 即? 2x3 3ex 2+e30 记 （x）=2x 33ex2+e3，则 （x）=6x（xe） ，得 （x）在（0，+）上有最 小值 （e）=0，即 （x）0，符合题意 综上，存在 a=3，b=0，使 f（x）ax+bg（x）对任意 x（0，+）恒成立 （二）选考题：共10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则 按所做的第一题计分 .【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22 （10 分）设直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，若以直角坐标系 xOy 的
28、原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲 线 C的极坐标方程为 sin 2=4cos （）将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线； （）若直线 l 与曲线 C交于 A，B两点，求 | AB| 【解答】 解： （）由于 sin 2=4cos ， 所以 2sin2=4cos ，即 y2=4x， 因此曲线 C表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线 第 20 页（共 20 页） （），化为普通方程为 y=2x1， 代入 y2=4x， 并整理得 4x28x+1=0， 所以， =， = 【选修 4-5：不等式选讲】 23已知函数 f（x）=| x+1|+ a| 2x1| （）当时，若对任意 xR恒成立，求 m+n 的最小 值； （）若 f（x）| x2| 的解集包含 1，2 ，求实数 a 的取值范围 【解答】 解： （）当时， ， ，当且仅当 m=n 时等号成立， m，n0，解得，当且仅当 m=n 时等号成立， 故 m+n 的最小值为 （） f（x）| x2| 的解集包含 1，2 ， 当 x 1，2 时，有 x+1+a| 2x1| 2x， a| 2x1| 12x 对 x 1，2 恒成立， 当时，a（12x）12x，a1； 当时，a（2x1）12x，a1 综上： a1 故实数 a的取值范围是 1，+）