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1、第 1 页（共 19 页） 2018 年湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确 1（5分）已知集合 A=x|0， xR ， B= y| y=3x 2+1， xR 则 AB= （ ） A?B （1，+）C 1，+）D （， 0）（ 1，+） 2 （5 分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（） Ay=e x By=tanx Cy=x3x Dy=ln 3（5 分）已知角 的终边经过点 P （5， 12） ， 则 sin （+ ） 的值等于（） ABCD 4 （5 分）在等差数列 an中，若 a3+a4+a5=3，a8=8，则 a12的值是（）
2、 A15 B30 C 31 D64 5 （5 分）若 a，b，c 为实数，下列结论正确的是（） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，则 C若 ab0，则D若 ab0，则 a 2abb2 6 （5 分）已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列， 且 a1，a3，a7为等比数列 bn 的连续三项，则的值为（） AB4 C 2 D 7 （5 分）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知， sinB=2sinC ，则 ABC的面积是（） ABC D 8 （5 分）函数的图象大致为（） ABCD 第 2 页（共 19 页） 9 （5 分）已知 x、y 满足约束条件，如果目标函数
3、的取值范 围为 0，2） ，则实数 a 的取值范围是（） Aa1 Ba2 Ca2 Da1 10 （5 分）已知函数，若函数 f（x） 在区间（ ，2 ）内没有零点，则的取值范围是（） AB CD 11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x3）=f（x3） ，且当 x3 时，f（x）=ln（x） 若对任意 xR，不等式 f（sinxt）f（3sinx1）恒成 立，则实数 t 的取值范围是（） At3 或 t9 Bt1 或 t3 C3t9 Dt1 或 t9 12 （5 分）设函数 f（x）=e x+1ma，g（x）=aexx（m，a 为实数） ，若存在实 数 a，使得 f（x）g（
4、x）对任意 xR恒成立，则实数 m 的取值范围是（） ABCD 二、填空题 13 （5 分）计算定积分= 14 （5 分）已知实数 a0，b0，是 8a与 2b的等比中项，则的最小值 是 15 （5 分）某商船在海上遭海盗袭扰，正以15 海里/h 的速度沿北偏东 15 方向 行驶，此时在其南偏东45 方向，相距 20 海里处的我海军舰艇接到命令，必须 在 80 分钟内（含 80 分钟）追上商船为其护航为完成任务，我海军舰艇速度的 最小值为（海里 /h） 16 （5 分）在数列 an 中，a1=1，n2 时，an=an1+n，若不等式对 任意 nN*恒成立，则实数 的取值范围是 第 3 页（共
5、19 页） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 （1）若 f（x）=0，求 x 的值； （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长 为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若曲线y=h（x）与 y=g （x）的图象关于直线对称，求函数 h（x）在上的值域 18 （12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn+n=2an（nN*） （1）证明：数列 an+1 为等比数列，并求数列 an的通项公式； （2）若 bn=nan+n，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求满足不等式的 n 的最小
6、值 19 （12 分）已知点 O是等边 ABC内一点， BC=3 ，BOC=120 ，设 BCO= （1）若 AO=BO ，求 ； （2）设BOC与AOC的面积差为 S ，求 S关于 的函数 S （ ） ，那么 取何值 时，S（ ）有最大值？最大值是多少？ 20 （12 分）习总书记在十九大报告中明确指出，“ 要着力解决突出环境问题， 坚持全民共治， 源头防治， 持续实施大气污染防治行动， 打赢蓝天保卫战 ” 为 落实十九大报告精神， 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究 后 ， 发 现一 天 中 环 境 综 合 污染 指 数f（ x） 与时 刻 x（ 时 ） 的 关系 为 ：
7、，x 0， 24 ，其中a 是与气象有关的参数，且 （1）令，x 0，24 ，求 t（x）的最值； （2）若用每天 f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的 综合污染指数不得超过2试问目前市中心的综合污染指数是否超标？ 21 （12 分）已知函数f（x）=e xmxlnx（m1）x，mR，f （x）为函数 f （x）的导函数 （1）若 m=1，求证：对任意 x（0，+） ，f （x）0； （2）若 f（x）有两个极值点，求实数m 的取值范围 第 4 页（共 19 页） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为（为 参数） （
8、1）求曲线 C的普通方程； （ 2） 在 以 O 为极 点， x 正半 轴 为极 轴 的 极 坐标 系 中， 直 线 l 方 程 为 ，已知直线 l 与曲线 C相交于 A、B两点，求 | AB| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| xa| ，不等式 f（x）3 的解集为 6，0 （1）求实数 a 的值； （2）若 f（x）+f（x+5）2m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2018 年湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确 1（5分）已知集合 A=x|0， xR
9、， B= y| y=3x 2+1， xR 则 AB= （ ） A?B （1，+）C 1，+）D （， 0）（ 1，+） 【解答】 解：集合 A= x|0，xR = x| x0 或 x1 ， B=y| y=3x 2+1，xR= y| y1 AB= x| y1=（1，+） 故选： B 2 （5 分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（） Ay=e x By=tanx Cy=x3x Dy=ln 【解答】 解：函数 y=e x，不是奇函数，不满足题意； 函数 y=tanx 是奇函数，但在定义域内图象是不连续的，不是增函数，不满足题 意； 函数 y=x 3x 是奇函数，当 x（ ，）时，y=3x
10、210 为减函数，不满 足题意； 函数 y=ln是奇函数， 在定义域（2，2）上内函数为增函数， 外函数 y=lnt 也为增函数，故函数y=ln在定义域内为增函数，满足题意； 故选： D 3（5 分）已知角 的终边经过点 P （5， 12） ， 则 sin （+ ） 的值等于（） ABCD 【解答】 解：角 的终边经过点P（5，12） ，则 sin（+ ）=cos= 第 6 页（共 19 页） =， 故选： C 4 （5 分）在等差数列 an中，若 a3+a4+a5=3，a8=8，则 a12的值是（） A15 B30 C 31 D64 【解答】 解：设等差数列 an 的公差为 d，a3+a4+
11、a5=3，a8=8， 3a4=3，即 a1+3d=1，a1+7d=8， 联立解得 a1=，d= 则 a12=+11=15 故选： A 5 （5 分）若 a，b，c 为实数，下列结论正确的是（） A若 ab，cd，则 acbd B若 ab0，则 C若 ab0，则D若 ab0，则 a 2abb2 【解答】 解：对于 A：若 a0，b，c，d 均小于 0，则不正确， 对于 B：若 ab0，则 a2b2，则，即，故 B不正确， 对于 C：若 ab0，则，即，故 C不正确， 对于 D：若 ab0，则 a2abb2，正确， 故选： D 6 （5 分）已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列， 且 a1，
12、a3，a7为等比数列 bn 的连续三项，则的值为（） AB4 C 2 D 【解答】解：数列 an 是公差 d 不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a7为等比数列 bn 的连续三项， =a1?a7，可得=a1（a1+6d） ，化为： a1=2d0 第 7 页（共 19 页） 公比 q=2 则= = 故选： A 7 （5 分）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知， sinB=2sinC ，则 ABC的面积是（） ABC D 【解答】解：，sinB=2sinC ，可得：b=2csinA=， 由 a2=b2+c22bccosA，可得： 8=4c 2+c23c2，解得 c=2，b=4
13、 SABC=bcsinA= 24= 故选： A 8 （5 分）函数的图象大致为（） ABCD 【解答】 解：函数是非奇非偶函数，排除A、B， 函数的零点是 x=e 1，当 x=e时，f（e）= ，排除选项 D 故选： C 9 （5 分）已知 x、y 满足约束条件，如果目标函数的取值范 围为 0，2） ，则实数 a 的取值范围是（） Aa1 Ba2 Ca2 Da1 第 8 页（共 19 页） 【解答】 解：x、y 满足约束条件的可行域如图： 目标函数的取值范围为 0，2） ，说明可行域内的点与（ a，2）的连续的 斜率的范围是 0，2） ， 直线 2xy4=0的斜率为 2； 由图形可知（ a，2
14、）在 BA的直线上， A 的左侧， 所以 a1 故选： D 10 （5 分）已知函数，若函数 f（x） 在区间（ ，2 ）内没有零点，则的取值范围是（） AB CD 【解答】 解：f（x）= cosx+sin x=sin（x +） 令 x+=k 可得 x=+，kZ 令 +2解得 + k2+， 函数 f（x）在区间（ ，2 ）内没有零点， 区间（ +，2 +）内不存在整数 第 9 页（共 19 页） 又?2 =， 1， 又 0， （ +，2 +）? （0，1）或（ + ，2 +）? （1，2） 2 +1 或 1 + 2 +2， 解得 0 或 故选 C 11 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x
15、）满足 f（x3）=f（x3） ，且当 x3 时，f（x）=ln（x） 若对任意 xR，不等式 f（sinxt）f（3sinx1）恒成 立，则实数 t 的取值范围是（） At3 或 t9 Bt1 或 t3 C3t9 Dt1 或 t9 【解答】 解： f（x3）=f（x3） ， f（x）关于直线 x=3 对称， 当 x3 时，f（x）=ln（x） ， 故 f（x）在（， 3 递减，在（ 3，+）递增， 若对任意 xR ，不等式 f（sinxt）f（3sinx1）恒成立， 则或， 即 1t2 或 1t2， 解得： t1 或 t3， 故选： B 12 （5 分）设函数 f（x）=e x+1ma，g（
16、x）=aexx（m，a 为实数） ，若存在实 数 a，使得 f（x）g（x）对任意 xR恒成立，则实数 m 的取值范围是（） ABCD 【解答】 解：令 h（x）=f（x）g（x）=e x+1maaex+x=（ea）exma+x， 则 h （x）=（ea）ex+1， 第 10 页（共 19 页） 若 ea0，可得 h （x）0，函数 h（x）为增函数，当x+时， h（x）+ ， 不满足 h（x）0 对任意 xR恒成立； 若 ea0，由 h （x）=0，得，则 x=ln， 当 x（， ln）时， h （x）0，当 x（ln，+）时， h （x） 0， = 若 f（x）g（x）对任意 xR恒成立，
17、 则0（ae）恒成立， 若存在实数 a，使得0 成立， 则 maln， （ae） ， 令 F（a）=， 则F（a） = 当 a2e 时，F （a）0，当 a2e 时，F （a）0， 则 m 则实数 m 的取值范围是 ） 故选： C 二、填空题 第 11 页（共 19 页） 13 （5 分）计算定积分=e1 【解答】 解：=（ex）=e1， 故答案为： e1 14 （5 分）已知实数 a0，b0，是 8a与 2b的等比中项，则的最小值 是5+2 【解答】解：实数 a0，b0，是 8a与 2b的等比中项， 8a?2b=2，23a +b=2， 解得 3a+b=1 则= （3a+b）=5+5+2=5+
18、2， 当且仅当 b=a= 2 时取等号 故答案为： 15 （5 分）某商船在海上遭海盗袭扰，正以15 海里/h 的速度沿北偏东 15 方向 行驶，此时在其南偏东45 方向，相距 20 海里处的我海军舰艇接到命令，必须 在 80 分钟内（含 80 分钟）追上商船为其护航为完成任务，我海军舰艇速度的 最小值为15（海里 /h） 【解答】 解：设海盗袭扰处为C，我海军舰艇为 A，B为商船， 由条件知 ACB=120 ，AC=20海里， 设我海军舰艇速度为x，可得 BC=15 =20，AB= x， 由余弦定理 AB 2=AC2+BC22AC?BCcos ACB 得： （x） 2=202+2022202
19、0cos120 ， 解得： x=15， 故我海军舰艇速度的最小值为， 故答案为： 15 第 12 页（共 19 页） 16 （5 分）在数列 an 中，a1=1，n2 时，an=an1+n，若不等式对 任意 nN*恒成立，则实数 的取值范围是 2，+） 【解答】 解：在数列 an 中，a1=1，n2 时，an=an1+n，即 anan1=n， an=（anan1）+（an1an2）+ +（a2a1）+a1 =n+（n1）+ +2+1 =， （n=1 时也成立） an= 不等式化为： ， 由于 2， 不等式对任意 nN*恒成立， 则 2 则实数 的取值范围是： 2，+） 故答案为： 2，+） 三
20、、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 （1）若 f（x）=0，求 x 的值； （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长 为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若曲线y=h（x）与 y=g 第 13 页（共 19 页） （x）的图象关于直线对称，求函数 h（x）在上的值域 【解答】 解：= = （1）由 f（x）=0，得， ， ，或，kZ 又， x=或 0 或； （2）将函数 f（x）的图象向左平移个单位， 可得函数图象的解析式为y=2cos2x +1， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标
21、不变），得到函数 g（x） =2cosx +1， 又曲线 y=h（x）与 y=g（x）的图象关于直线对称， =2sinx+1， x，sinx 故函数 h（x）的值域为（ 0，3 18 （12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn+n=2an（nN*） （1）证明：数列 an+1 为等比数列，并求数列 an的通项公式； （2）若 bn=nan+n，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求满足不等式的 n 的最小值 【解答】 （1）证明：当 n=1时，a1+1=2a1，a1=1 S n+n=2an，nN *， 当 n2 时，Sn1+n1=2an1， 两式相减得： an+1=2an
22、2an1，即 an=2an1+1， 第 14 页（共 19 页） an+1=2（an1+1） ， 数列 an+1 为以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， ， 则，nN*； （2）解：， ， ， 两式相减得：， ， 由，得， 设， 0， 数列 cn 为递增数列， ， 满足不等式的 n 的最小值为 11 19 （12 分）已知点 O是等边 ABC内一点， BC=3 ，BOC=120 ，设 BCO= （1）若 AO=BO ，求 ； （2）设BOC与AOC的面积差为 S ，求 S关于 的函数 S （ ） ，那么 取何值 时，S（ ）有最大值？最大值是多少？ 【解答】 解： （1）OA=OB ，CA
23、=CB ， ACO BCO ， BCO= =30 0 （4 分） 第 15 页（共 19 页） （2）在 BOC中， OBC=60 ， 由正弦定理有：， （6 分） 又；， =3sin（600 ） （sin +） =9（） （） =9（）=， （0，60 0） （10 分） 故当 2=90 0，即 =450 时 S（ ）取得最大值 （12 分） 20 （12 分）习总书记在十九大报告中明确指出，“ 要着力解决突出环境问题， 坚持全民共治， 源头防治， 持续实施大气污染防治行动， 打赢蓝天保卫战 ” 为 落实十九大报告精神， 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究 后 ， 发 现一
24、天 中 环 境 综 合 污染 指 数f（ x） 与时 刻 x（ 时 ） 的 关系 为 ： ，x 0， 24 ，其中a 是与气象有关的参数，且 （1）令，x 0，24 ，求 t（x）的最值； （2）若用每天 f（x）的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的 综合污染指数不得超过2试问目前市中心的综合污染指数是否超标？ 【解答】 解： （1）由，x 0，24 ， 第 16 页（共 19 页） 得， 令 t （x）0，得（ x+2） （x2）0，即 0x2， 令 t （x）0，得（ x+2） （x2）0，即 x2， t（x）在 0，2 上递增，在（ 2，+）上递减， 当 x=0时，t（x）
25、min=0；当 x=2时，； （2）由（ 1）， 令 g（t）=f（x）=t?| ta|+，t 0， ， 则 g（t）=， g（t）在和上递增，在上递减， 且，g（）=， ， 令，解得； 令，解得 0， ， fmax（x）1， 目前市中心的综合污染指数没有超标 21 （12 分）已知函数f（x）=e xmxlnx（m1）x，mR，f （x）为函数 f （x）的导函数 （1）若 m=1，求证：对任意 x（0，+） ，f （x）0； （2）若 f（x）有两个极值点，求实数m 的取值范围 【解答】 解： （1）m=1 时，f（x）=e x1xlnx，f （x）=e x1lnx1 第 17 页（共 1
26、9 页） 令 G（x）=e x1x，则 G （x）=ex11，当 x1 时，G （x）0 当 x1 时，G （x）0，故 G（x）在（， 1）上单调递减，在（ 1，+）上 单调递增， 所以 G（x）G（1）=0，即 ex 1x（当且仅当 x=1时取等号） 令 j（x）=x1lnx（x0） ，则 j （x）=，当 0x1 时，j （x）0， 当 x1 时，j （x）0，故 j（x）在（ 0，1）上单调递减，在（ 1，+）上单调 递增， 所以 j（x）j（1）=0，即 xlnx+1（当且仅当 x=1时取等号） 当 f （x）=e x1lnx1x（lnx+1）0（当且仅当 x=1 时取等号） 所以，
27、 ? x（0，+） ，f （x）0； （4 分） （2）f（x）有两个极值点，即f （x）=e xmlnxm 有两个变号零点 当 m1 时，f （x）=e xmlnxmex1lnx1，由（ 1）知 f （x）0， 则 f（x）在（ 0，+）上是增函数，无极值点；（6 分） 当 m1 时，令 g（x）=f（x） ，则， g （1）=e 1m10 0，且 g （x）在（ 0，+）上单增， ? x0（1，m） ，使 g （x0）=0 当 x（0，x0）时， g （x）0；当 x（x0，+）时， g （x）0 所以， g（x）在（ 0，x0）上单调递减，在（ x0，+）上单调递增 则 g（x）在 x=
28、x0处取得极小值，也即最小值g（x0）= （8 分） 由 g （x0）=0 得 m=x0+lnx0，则 g（x0）=（9 分） 令 h（x）=（1xm）则，h（x）在（ 1，m） 上单调递减， 所以 h（x）h（1）=0即 g（x0）0， （10 分） 又 x0时，g（x）+，x+时， g（x）+，故 g（x）在（0，+）上有 两个变号零点，从而f（x）有两个极值点所以， m1 满足题意 （11分） 综上所述， f（x）有两个极值点时， m 的取值范围是（ 1，+） （12 分） （其他 解法酌情给分） 第 18 页（共 19 页） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10分）在直角坐标系
29、 xOy中，曲线 C的参数方程为（为 参数） （1）求曲线 C的普通方程； （ 2） 在 以 O 为极 点， x 正半 轴 为极 轴 的 极 坐标 系 中， 直 线 l 方 程 为 ，已知直线 l 与曲线 C相交于 A、B两点，求 | AB| 【解答】 解： （1）曲线 C的参数方程为（为参数） 由已知，整理得： 普通方程为， 化简得 x2+y2=2 （2）由sin （ ）+=0， 知，化为普通方程为xy+=0 圆心到直线 l 的距离 h=， 由垂径定理 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=| xa| ，不等式 f（x）3 的解集为 6，0 （1）求实数 a 的值； （2）若 f（x）+f（x+5）2m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围 【解答】 解： （1）由 f（x）3，得| xa| 3， a3xa+3， 又 f（x）3 的解集为 6，0 ， 解得： a=3； （5 分） （2）f（x）+f（x+5）=| x+3|+| x+8| 5 又 f（x）+f（x+5）2m 对一切实数 x 恒成立， 2m5， 第 19 页（共 19 页） m（10 分）