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1、同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用这些结果，可以使计算又快又准。例1 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是利用凑十法，就能克服这种缺点。二、凑整法同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：1+19=20 11+9=302+18=
2、20 12+28=403+17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如：15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。例2 计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解
3、：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：100例3 计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：110例4 计算2+13+25+44+18+37+56+75解：用凑整法：三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。下面再举两个例子。例5 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2
4、开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（这步利用了例2和例3的结果）=210例6 计算 5+6+7+8+9+10解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟练后，此步骤可省略）=55-10=45四、改变运算顺序在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序
5、可使计算显得十分巧妙！例7 计算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5五、带着“+”、“-”号搬家例8 计算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号
6、或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）先减后加=1+1+1+1+1+1=6在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。习题一1计算：13+14+15+16+17+252计算：2+3+4+5+15+16+17+18+203计算：21+22+23+24+25+26+27+28+294计算：5+6+7+8+9+10+1
7、1+12+13+14+15+16+17+18+19+205计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06计算：10-20+30-40+50-60+70-80+907计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8计算：（2+4+6+20）-（1+3+5+19）9计算：（2+4+6+100）-（1+3+5+99）第二讲 速算与巧算（二）例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿得多，多几块？解：方法1：先算哥哥共拿了多少块？再算妹
8、妹共拿了多少块？72-64=8（块）方法2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（块）可以看出方法2要比方法1巧妙！平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5
9、+6+7+8+9+10=55例2 星期天，小明家来了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54块。小明说：“咱们一共10个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？解：按小明提的要求确实无法分。因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：第一人分到1块，第二人分到2块，第十人分到10块。但是，这种分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分。如果改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分得9块糖的那
10、个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。（注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在数学上“无解”也叫问题的答案。）例3 时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下？解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就要得出答案。方法1：凑十法方法2：如果能记住从1到10前十个自然数之和是55，计算会更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）习题二1三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗？2把16只小鸡分别装进
11、5个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗？按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗？3把100块糖分给10个小朋友。要求每人都分到单数块糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分？把99块糖按同样要求分给10个小朋友，你能分吗？4从1到20这20个数中，所有的双数之和与所有的单数之和的差是多少？5小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。比如说，0点半敲1下，1点钟敲1下，1点半敲1下，2点敲2下，2点半敲1下，照这样敲下去，从夜里0点开始，计到白天中午12点钟，在这12个小时之内时钟共敲了多少下？习
12、题二解答1答案是不能分。所需糖块数最少的一种分法是：第1个人分1块，第2个人分2块，第3个人分3块，这样三个人共需要有1+2+3=6（块），但总的糖块数只有5块，不够分。如果第3个人也分得2块，这样糖是够分了，但是这样就有2个人分得糖块数一样多了，又不符合分糖的要求了。25只笼子装16只小鸡的装法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）5只笼子装15只小鸡的装法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）5只笼子装14只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数不等，无法分装。3记住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100块糖按要求分给10个人的分法是
13、：各人所得糖块数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。99块糖按要求分给10个小朋友无法分。4解：方法1：单数之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100双数之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改变运算顺序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105
14、解：先记录时钟敲的整点数和半点数如下：列算式求和，并改变运算顺序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）第四讲 数数与计数（二）数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，要加上；如果重复了，要减掉。例1 小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人？解：这队的总人数要数上小红，所以是4+3+1=8（人）。例2 排好队，来报数，正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友？解：见下
15、图正着报数“我”报了一次，倒着报数“我”又报了一次，所以把两次报数加起来时，“我”被加了两次。因此算这队的总人数时，应从两次报数之和减1。7+9-1=15（人）。也可以这样想：正着报数报到我为止，倒着报数时，我就不报了，只报到我的后面相邻的那个人他应该报8，所以全队总人数是：7+（9-1）=15（人）。例3 少先队员排成队去参观科技馆。从排头数起刘平是第20个；从排尾数起，张英是第23个。已知刘平的前一个是张英。问这队少先队员共有多少人？解：画示意图，用点代表少先队员。由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。由排尾数起时，又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数了一次，所以点总人数时，应
16、减去多数的那一次才对。20+23-2=41（人）。例4 45个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是第19个；从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中间有几个人？解：画示意图。用点“”代表人由图可见，小刚和小莉中间的人数是：45-（19+12）=14（人）。例5 一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。如果全班55人，那么既做红花又做黄花的有多少人？解：画图如下：由图可见，做花的人：55-3=52（人）。图中阴影部分表示两色花都做的人：38+39-52=25（人）。习题四1学生排成一队，在小进的前面有6人，后面有8人，问这队共有多少人？212辆汽车组成一列车
17、队向前行进。从前面数起，红色的小轿车是第7辆。问从后面数它是第几辆？3游泳池里男生都戴蓝帽，女生都戴红帽。池中一个男生小强边看边数，他看见蓝帽4个，红帽5个。问池中男女生共多少人？4说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。正着数它第六，倒着数它第七。请你帮助算一算，小鸭一共有几只？5一个小组的小学生共有5人，已知他们都做了语文作业或数学作业。又知做完语文作业的有3人，做完数学作业的有4人。问语文和数学作业都做完的有几人？6在100名学生中统计，有65人会骑自行车，有73人会游泳，有10人既不会骑自行车又不会游泳。问既会骑自行车又会游泳的人有多少？7某班有学生45人，订阅中国少年报的有29人，订阅小朋友
18、的有28人，其中两种都订阅的有16人，问两种刊物都没有订阅的人有多少？习题四解答1解由图可知：总人数是6+8+1=15人。2解：方法1：数一数；先画示意图如下，用代表红色小轿车，用代表其他车。从后面往前数一数，红色小轿车是第6辆。方法2：算一算；这队车共有12辆，从前面往后数，红色小轿车是第7辆，所以红色小轿车前面有7-1=6辆车，因此从后面往前数，红色小轿车是第12-6=6辆。3解：画示意图如下：因为男生小强边看边数时，没有看见自己的蓝帽，他把自己漏数了。所以算总人数时，要把他加上，即4+5+1=10（人）。4解：画示意图，用代表小鸭，用代表小鸡。由图可见，正数算上了小鸡，倒数也算上了小鸡。
19、这样两数之和6+7=13中，把小鸡计算了两次。所以求小鸭的数目时就要减去两个小鸡。6+7-2=11（只）。5解：画示意图如下：两种作业都做完的人既算在了做完语文作业的3人中，又算在了做完数学作业的4人中，因此这部分人被多算了一次，（如图中阴影部分所示）所以两种作业都做完的人数是：3+4-5=2（人）。6解：画图如下：由图可知：会骑车或是会游泳的总人数是100-10=90（人）。两种都会的人数是65+73-90=48（人）。（图中阴影部分所示）7解：画示意图如下：因为至少订1份刊物的人：28+29-16=41（人）。两种刊物都没有订的人：45-41=4（人）。第五讲 数数与计数（三）例1小朋友，
20、张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：见右图看一看、数一数可知：5个手指间有4个“空”。“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。例2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？解：画示意图如下：由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：例3 把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？如果把这根
21、木头锯成100段，需要几分钟？解：画出示意图：由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次。所以锯一次需1分钟。同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。例4 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12下需要几秒钟？解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打5下画5个点。由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟。由此推理钟打12下时有12-1=11个时间间隔，故用11秒钟。习题五1一队男生8人。老师要求在2名男生中间插进1名女生，问可插进多少女生？2小冬用12张纸订成一个本子。
22、从头数起，每隔3纸夹进一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶？3在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？4一根钢管长6米，每分钟锯下1米，几分钟锯完？5一根木头锯成4段，要付锯工费1元。如果要把这根木头锯成13段，要付锯工费多少元？6小明与爸爸一同上楼。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2层，爸爸上1层。问小明上到五楼时，爸爸上到几楼？7沿着跑道插着11面旗，旗与旗离得一样远，第一面旗插在起点。运动员从起点起跑经过6秒钟到达第6面旗，问运动员到达第11面旗时，需要跑11秒钟吗？8三点钟时，挂钟打响三下，用了12秒。到六点钟时，挂钟打响六下，要用
23、几秒钟？习题五解答1解：方法1：按老师要求，在2名男生中间插进1名女生后，写出队伍的排外情况是：男女男女男女男女男女男女男女男数一数，可知插进的女生共7人。方法2：也可以这样想：这道题中，把男生看成“树”，把女生看成“间隔”，就能按植树问题的公式解这道题。因为两头都是男生，就像两头都有树一样，女生数应等于男生数减1，即8-1=7（人）。2解：画示意图如下：可以这样想：把每3张纸粘在一起成为一张“厚纸”，12张纸共粘成4张厚纸。按题目要求，相当于每两张厚纸之间放入一片树叶，可知共放入3片树叶。3解：画示意图如下：（只画一旁种树情况）由图可见，每5米为一段，20米长的路可分为4段，由于路两端都要种
24、树，所以种的棵树等于段数加1，即一旁种树4+1=5（棵），两旁共种5+5=10（棵）。4解：画示意图如下：由图可见，把6米长的钢管锯成1米长的6段，只需锯6-1=5（次），题中说，每分钟锯下1米，就是说锯1次需要1分钟，所以锯5次需5分钟即5分钟把钢管锯完。5解：把一根木头锯成4段只需锯4-1=3次，按题意付锯工费1元。当把这根木头锯成13段时只需锯13-1=12次，每锯3次付费1元，锯12次应付锯工费4元。6解：见右图当小明跑五楼时，实际上跑过了4层楼梯，所以爸爸此时只走过了2层楼梯，即走到了三楼。7解：画出示意图：在起点插着第一面旗，但在起点运动员起跑时，时间是从0秒开始计时的。运动员跑到
25、第六面旗时，实际上是跑了5段间隔，这时他用了6秒钟的时间；当他跑到第11面旗时，实际上又跑了5段间隔，所以又用了6秒钟，总起来共用了12秒钟，而不是11秒钟。8解：“当当当”钟打响了三下，三响之间的间隔是两次，两个时间间隔用12秒，一个时间间隔就是122=6（秒）。如果钟打六下，六响之间的间隔是5次，因而钟打六下要65=30（秒）。第六讲 数数与计数（四）本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。例1 用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出
26、多少个不同的二位数？解：用代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：例2 用分别写有数字0，1，2的三张纸片能排出多少个不同的二位数？解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位数，它们是：1作十位数字，0或2作个位数字：2作十位数字，0或1作个位数字：例3 用分别写有数字1，2，3的三张纸片能排出多少不同的三位数？解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。共6个不同的三位数。例4 小明左边抽屉里放有三张数字卡片右边抽屉里也放有三张卡片。如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片
27、放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数？解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9个不同的二位数。例5 有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共握多少次手？假设这群人是：两个人，三个人，四个人解：画图。用点“”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。两个人：两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。三个
28、人：三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。四个人：四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。例6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？解：如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。例7 小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，b，c三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问
29、有多少种不同的走法？解：共有6种不同的走法，见下图。习题六1用三张数字卡片，可以排出多少个不同的三位数？其中最大的比最小的大多少？2有四张数字卡片从中抽出三张组成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数？3用两套数字卡片可组成多少个不同的二位数？4在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？5全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场？6右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少种不同的走法？（不准故意绕远走）7如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A点沿着棱爬向B点
30、，如不故意绕远，一共有几种不同的走法？习题六解答1解：注意，0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共有4个。它们是：407，470，704，740。最大的数是740，最小的数是407。最大的数比最小的数大740-407=333。2解：注意0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共18个。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3解：共组成25个不同的二位数。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，
31、54，55。4解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个人的一次握手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次数。数一数，共有10条连线，所以共握手10次。5解：共赛15场。见下图。方法1：如右图所示这样数：一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛5场；二小再和三小、四小、五小、六小共赛4场；（二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同）三小再和四小、五小、六小共赛3场；四小再和五小、六小共赛2场；五小再和六小共赛1场。比赛场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。方法2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共5场。因而六个学校所赛的场次是56=30场。但是这样计算还有个问题，比如说一小和
32、二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校实际赛的总场次数是302=15（场）。6解：小英由家到学校共有6种走法，见下图粗黑线所示。7解：蚂蚁沿着棱由A点爬到B点有6种不同的走法，见下图粗黑线所示。第七讲 填图与拆数（一）例1 如右图，把3、4、6、7四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个数相加都得14。怎样填？解：先看竖行，最上格中已有个5。要使5+（ ）=14，括号里的数就要填9。把9拆成两个数：9=3+6，（因为3和6是题中给出的数）分别填在竖行的两个空格里。但进一步想，应该把哪一个填在中间空格里呢？这就需要
33、看横行。横行两头的空格应填剩下的两个数4和7，因为4和7相加和为11，而11+3=14，可见中间空格应填3。例2 如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和都等于12。解：见下图（1）、（2）、（3）。把12分拆成三个不同的数相加之和，得七种分拆方式：12=9+2+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6+5+1 12=6+4+212=5+4+3从各式中选择有一个相同加数的两个式子。12=1+5+6和12=1+4+7两式，将相同的加数1填在中间圆圈里，不同的加数分别填在横行和竖行的其他圆圈里。答案有很多种不同的填法，这里只填了三种，同学们还可以自己选择另外
34、的填法。例3 如右图所示。把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈里，要求分别满足以下条件：（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8；（2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9；（3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。解：见下图（1）、（2）、（3）（1）将8分拆成三个数之和（注意，这三个数要从1、2、3、4、5中选取）8=1+2+5 8=1+3+4因为中间圆圈里的数是要公用的，所以应把“1”填在中间圆圈里其他四个数填在边上；（2）解法思路与（1）相同，分拆方式如下：9=1+3+5 9=2+3+4（3）解法思路与（1）相同10=1+4+5 10=2+3+5。习题七1如右图所示。在正方形的
35、空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加得数都是18。2如右图所示。在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。3如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里，使每条直线上3个圈中的数相加都是10。4如图所示。从2、3、4、5、6中选取适当的数填入小圆圈，使同一个大圆上的小圆圈中的四个数的和都等于15，都等于16。5如右图所示，圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都等于10。6如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加之和都是15。7如下页图所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分为三组，填到三个小三角形的各个角上的圆圈里，使
36、每个小三角形的三个角的圆圈里的数之和都是15。同时使大三角形三个角的圆圈里的数之和也是15。习题七解答1在图中，用较大的黑体字表示方格中原有的已知数，如10、6、7三个数。仔细观察可知，可以先在第二横行右边空格里填2，因为要使横行三个空格里的数之和是18，（已有的两个数之和是10+6=16）就需要在这个空格中填上18-16=2。当然，也可以先填左下角空格的那个数，因为它所在的斜行中已有两个数7和6，而7+6=13，所以应在这个空格里填18-13=5。接着用同样的思考方法就可以填出其他空格里的数了。2见图。解法思路与第1题相同。因为要求每行的四个数之和是34，而第三横行已有的三个数之和为9+7+
37、12=28，所以此行空格中可填6。也可先填图中另一斜行，因这斜行中已有的三个数之和是13+10+7=30，所以，这斜行的空格，也就是图的左下角的空格中应填4。接着，用同样的思考方法填出其余所有空格。3见图。解法与第1题相同。因为三角形的一边已有两个数3和2，其和为3+2=5，要使这边的三数之和是10，可知这边的右下角圆圈中应填10-5=5。其余两圆圈中的数可按同样方法填出。4见图。和是15：因为大圆上有两个小圆圈中已有了1和7，它们的和是1+7=8，所以同一个大圆上另外的两个小圆圈中应填的两个数之和应是15-8=7，将7分拆成两个数有两种分拆方式：将2和5填入一个大圆上的两个空圈中，将3和4填
38、入另一个大圆上的两个空圈中。见右图。和是16，解法思路和相同。因为1+7=8，16-8=8将8分拆成两个数，有两种分拆方式：将2和6、3和5分别填入大圆上的空圈中。5解：见下图（1）（4）把10分拆成三个不同的数的和，共有4种分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5选择有一个共同加数的两个式子，把共同的加数填在中间的圆圈里，其他四个加数分别填在两头的圆圈里就构成一种填法。本题有6种符合题目要求的填法，这里只举其中4种填法，还有2种填法你能找出来吗？6 解见下图。把15分拆成三个不同的数相加之和，共有12种分拆方式：15=1+2+12 15=1+3+1115=1+4+1
39、0 15=1+5+915=1+6+8 15=2+3+1015=2+4+9 15=2+5+815=2+6+7 15=3+4+815=3+5+7 15=4+5+6因为题目中已有2、3、8三个数填在3个圆圈里，观察上面各式，既用到2、3、8这三个数，又要有另一个数是共同的，这样的式子有如下三个：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，将三式中共用的加数“1”写在中间圆圈里，再在其他三个圆圈里填上适当的数。7解：见下面两图，将15分拆，采取两步分拆法如下：适当选取四组数，填入四个三角形中（3个小三角形与1个大三角形），可以得到一些不同的填法。选法的窍门是：先任选一组数如3、5、7，将
40、它们分别填在大三角形的三个角顶圆圈中，再找分别包含3、5、7的三组数填在小三角形中，它们是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上图所示。第八讲 填图与拆数（二）本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。例1 如右图所示。把三个1、三个2、三个3分别填在九个格内，使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有关，所以它是关键数，确定了它，其他各格就容易填了。（1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结果有一条斜线上的数都是1，其和为3，不合题目要求。若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行上的数都是3，其和为9，不合题目
41、要求。若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，如图。（2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个“1”或一个“3”。因为若填两个1后，即使再填一个最大的3，这一行的这三个数之和才是5，小于6，不符合题目要求；同样，若填两个3后，即使再填一个最小的数1，这一行的三个数之和就是7，大于6，也不符合题目要求。如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个2，这一行的三个数之和也可等于6，符合题要求。由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其他各格中的数也就容易填出了。例2 如图。把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中，使每条斜线上的三个数相加之和都是8。解：中间圆圈里的数是
42、个关键数，应该首先确定它。如何确定它呢？这样想：假如我们已经按题目要求把1、2、3、4、5填入了五个圆圈中，这样每条斜线上的三个数相加都得8。那么当我们把两条斜线上的数都加起来，它们的和应为8+8=16，但是五个圆圈中所填数之和应为1+2+3+4+5=15，两个和数之差是1，即：16-15=1。这个差是如何产生的呢？这是因为把两条斜线上的和数相加时，中间圆圈中的数被加了两次，即多加了一次。把一个数多加了一次和就多了1，可见此数是1。然后，再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为8-1=7把7分拆成两个数，有两种分拆方式：把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。把3和4填入另一条斜线两端的圆圈中。例3
43、 如图所示。把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图中的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于12。解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢？与例2的想法类似。假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈，那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。我们如果进一步把三条直线上的数都加起来，得数应为：12+12+12=36。不难看出，这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它比七个圆圈中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数应是8的一半，即 82=4下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方
44、法如下：12-4=8例4 如图所示。把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右图的圆圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于9。解：见图。三个角上圆圈里的数是关键数，因为它们中的每个都是两条边上共有的数。先确定关键数。这样想：六个数之和是1+2+3+4+5+6=21每条边上三个数之和是9，9+9+9=27这样算每个角上圆圈里的数都被加了两次，因此角上三个圆圈中的数之和是27-21=6把6分拆成三个数之和：6=1+2+3；把1、2、3分别填入三个角上的圆圈里，其余的圆圈里的数就容易填了。习题八1见图。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右图空白圆圈内，使每个大圆上四个小圆圈内的数的和都是
45、29。你能填吗？2见图。把2、3、4、6、7、10、11分别填入大圆上的小圆圈内，使每个圆上四个小圆圈中的数字和都是24。你能填吗？3见图。把2、3、4、5、6填入右图的五个方格里，使横行、竖行的三个数之和等于：11、12、13。4见图。把5、6、7、8、9、10六个数分别填入右图中的六个圆圈里，使三角形每条边上的三个数之和都等于21。5见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数分别填入圆圈里，使每个正方形的四个数相加之和都等于24。6见图。把1、2、3、4、5、6、7填入右图圆圈中，使横行、竖行、斜行三个圆圈中的数相加之和都等于12。7见图。把11、12、13、14、15、16、17七个数填入右图的圆圈中，使横行、竖行的圆圈中的每三个数之和都是42。8见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这十一个数，分别填入图中空格内，使相邻的两个或三个空格内的和等于14、15。9把1、2、3、4、5、6、7、8、9各数分别填入“七一”图形中的九个空格内，使每一横行、竖行的四个、三个或两个空格中的数相加之和都等于13。（见下图）10见下图。把1、2、3、4、5、6、7各数填入“十一”图形中的七个空格里，使每一横行、竖行的三个或两个空格中的数相加之和都是10习题八解答