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1、2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时 , 请依据本评分标准 . 填空题只设 8 分和 0 分两档 ; 其他各题 的评阅, 请严格按照评分标准的评分档次给分, 不要增加其他中间档次 . 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理、 步骤正确 , 在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第 9 小题 4 分为一个档 次, 第 10、11 小题 5 分为一个档次 , 不要增加其他中间档次 . 一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共 64 分. 1. 设 函 数是 偶 函 数)(xf)(xf)0(x的 导 函 数
2、 ，0) 1(f， 当时 ， ，则使得成立的 0x 0)()(xfxf x0)(xfx的取值范围是 _ 【答案】) 1 ,0()0, 1( 【解析】令 x xf xF )( )(，则为奇函数，在)(xF), 0(上单调递减，通过图象得 成立的0)(xfx的取值范围是.) 1 , 0()0 , 1 2. 若正数yx,满足，则xyyx53yx43的最小值是_ 【答案】 5. 【解析】 由，可化为若)0, 0(53yxxyyxyxyx434 5 9 3 5 4 , 即 25 36 5 4 4 5 9 3yx. 易知， 5 1 , 5 3 yx，则 5 9 3x和 5 4 4y均为正数 . 于是，由基
3、本不等式，得 5 5 13 25 36 2 5 13 5 4 4 5 9 32 5 13 5 4 4 5 9 343 yx yxyx 当且仅当 94 34 55 xy，即 2 1 , 1 yx时，上述不等式取等号，因此的最小值 为5. yx43 3. 将正整数按第 k组含, 2, 1n1k 个数分组：, 那么 2016 在第 组. ),9, 8, 7 ,6(),5 ,4, 3(),2, 1( _ 【答案】 63. 【 解析 】 第n组 的 最 后一 个 数为n nn 2 )1( ， 当n=62时， 1 201562 2 6362 2 ) 1( n nn ，故 n=63. 4. 数列 1 n n
4、 ，,中的最小项的值为_.1, 2,n 【答案】 3 1 3 . 【解析】讨论函数的最值 . x xxf)( 5. 设函数当时单调递增，则的取值范围为. 2 1)(axxexf x 0xa_ 【答案】2/1 ,( 【 解 析 】 题 设 即恒 成 立 . 设0, 021)( xaxexf x x e xg x 2 1 )(， 则 0 2 1 )( 2 x exe xg xx ， 所以 g(x)是增函数， 最小值在接近0 处取得， 使用洛必达法则得： 2 1 2 1 lim)(lim x e xg x a，以的取值范围是 2/1 ,( 6. 从个男生和个女生中任选2 个人当班长，假设事件表示选
5、出的 2 个人性别相同， 事件 mn104mnA B表示选出的2 个人性别不同 . 如果的概率和AB的概率相同， 则可能为 _. ,m n 【答案】(, )(10,6).m n 【解析】 22 2 ( ) mn m n CC P A C 11 2 2 ( )2 mn m n C C P Bmmn C mn是完全平方数， 91 34 m nm n m nm n 6 919 mn(, )(10,6).m n 7. 已知锐角 , 满足条件：,1 sin cos cos sin 2 4 2 4 则_. 【答案】 o 90 【解析】由于0)sin sin cos ()cos cos sin (1 sin
6、 cos cos sin2 2 2 2 2 4 2 4 ，且 ,都为锐角，因此。 o 90 8. 设抛物线的焦点为, 过点的直线与交于两点 . 设与抛 物线C的准线交于点 xyC4: 2 FFLCQP,L M , 且 FPFM3 ，则|FP _. 【答案】 4/3. 【解析】过点P 作准线的垂线交于点H, 则 |FP|=|PH|。 由 3 2 | | 2 |PH| MF MP , 我们有 |PH|= 3 4 ,故|FP|= 3 4 2 二、解答题：本大题共3 小题，共56 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本小题满分16 分）如图 1，直角梯形，ABCD 1 = 2 ABA
7、DDC1. 将ABD 沿BD折起来， 使平面平面，如图 2，设为的中点，ABDBCDGAD2AHHCBD 的中点为O. （1）求证：平面； AOBCD （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； GHBBCD （3）在线段上是否存在点BCE，使得DE平面，若存在确定点GBHE的位置，若不 存在，说明理由 . 证明： （1），O为=ABADBD的中点 , AOBD , 又平面平面ABDBCD,平面平面ABDBCDBD, 平面 . 4分 AOBCD （2）取的中点DCM，连结，则OMOMBC 由图 1 可知，=B=2BDC,， =2DC BCBD, OMBD, 由（1）知，平面 ， AOBCD OA
8、,OM,BD两两垂直， 分别以射线OOOD,M,A轴，y为x轴轴，z的正方向， 建 立空间直角坐标系， ，(0,0,0)O 22 (,0,) 44 G, 2 (0,0,) 2 A, 2 (,0,0) 2 B, 2 (,2, 2 C0), 8 分 2AHHC， 2 2 22 (, 336 H) 0 , 设平面GHB 的法向量为， , ,nx y z , 0 0 GB n GH n 30 78 xz xyz ， 3 取 1x ，则 1 1, , 3 2 n ， 由（1）知 ， 2 (0,0,) 2 OA是平面 BCD的法向量， 平面GHB与平面所成锐二面角的余弦值为 BCD 6 41 coscos
9、, 41 n OA . 12分 (3) 假设在线段上存在点BCE，使得DE平面GBH，设01BEBC, 2 ,2 ,0 2 E , 又 2 (,0,0 2 D)， 12 2,2 ,01, 320 22 DE n ， 2, 这与01矛盾，所以在线段上不存在点BCE, 使得DE平面GBH 16 分 10.（本小题满分20 分）已知椭圆C：)0(1 2 2 2 2 ba a y b x ，直线不过原点O且不 平行于坐标轴，l与有两个交点 l CA，B，线段AB的中点为M. 证明： （ 1）直线的斜率与的斜率的乘积为定值OMl 2 2 b a ； （ 2）若l过点，延长线段与C交于点),(abOMP，当四边形OAPB为平行四边形时， 则直线l的斜率 b a kl 4 3 7 . 证明 ： （1）设，),( 11 yxA),( 22 yxB),( 00 yxM 因为直线l不过原点O且不平行于坐标轴， 所以0,0, 21212121 yyxxyyxx， 于是 12 12 xx yy kl， 0 0 x y kOM，4分 因为M为线段的中点，所以AB 021 2xxx， 021 2yyy， 又1 2 2 1 2 2 1 b x a y ，1 2 2 2 2 2 2 b x a y ，两式相减得， 4