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1、2017-2018 学年度初中数学教师解题比赛试题 1.（本题满分 8分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C已知 AB=1400 米， AC=1000 米， B点位于 A 点的南偏西60.7 方向， C 点位于 A 点的南偏东66.1 方向 （1）求 ABC 的面积； （2）景区规划在线段BC 的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD试求 A、D 间的距离（结果 精确到 0.1 米） （参考数据：sin53.2 0.80，cos53.2 0.60， sin60.7 0.87，cos60.7 0.49，sin66.1 0.91，cos66.1 0.41， 2 1.414 ） 2.（
2、本题满分 6分）如图，已知在四边形ABCD 中，点 E 在 AD 上， BCE=ACD=90 ， BAC=D，BC=CE. (1)求证： AC=CD ；（ 2）若 AC=AE，求 DEC 的度数 . 3.（本题满分 8分）如图 ,在矩形 ABCD 中， E是 AD 上一点， PQ 垂直平分BE，分别交AD，BE，BC 于点 P、 O，Q.连接 BP、EQ， (1)求证：四边形BPEQ 是菱形； (2)若 AB=6， F 为 AB 的中点， OF+OB=9，求 PQ 的长 . 4.（本题满分 10分）如图，已知ABC 内接于 O，AB 是直径，点D 在 O 上， ODBC，过点 D 作 DEAB
3、，垂足为E，连接 CD 交 OE 边于点 F（ 1）求证： DOE ABC； （2）求证： ODF=BDE； （3）连接 OC，设 DOE 的面积为 1 S，四边形 BCOD 的面积为 2 S，若 7 2 2 1 S S ，求 sinA 的值 5.（本题满分 10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点 P 是 AB 边上的一个动点，连接CP，过点 P 作 PC 的垂线交AD 于点 E，以 PE 为边作正方形PEFG，顶点 G 在线段 PC 上，对角线EG、PF 相交于点O （1）若 AP=1，求 AE 的长 （2）求证：点O 一定在 APE 的外接圆上； 当点 P 从点 A 运动到点B时
4、，点 O 也随之运动，求点O 经过的路径长； （3）在点 P 从点 A 到点 B 的运动过程中，APE 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB 边的距离的 最大值 6.（本题满分 8分）如图，一次函数bkxy 的图象与反比例函数 x m y （x 0）的图象交于点 P（n，2），与x轴交于点A（ 4，0），与 y轴交于点C，PBx轴于点 B，且 AC=BC （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在， 说明理由 7（本题满分10分）农经公司以30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日
5、销售量 p（千克） 与销售价格x（元 /千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x（元 /千克）30 35 40 45 50 日销售量p（千克）600 450 300 150 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达 式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售1 千克这种农产品需支出a元（a 0）的相关费用，当40x45 时，农经公司的日 获利的最大值为2430 元，求a的值 8.（本题满分 10分）已知抛物线3 2 bxaxy （a0 ）经过 A（3，0）
6、， B（4， 1）两点，且与y轴交于 点 C. （1）求抛物线3 2 bxaxy（a0 ）的函数关系式及点C 的坐标； （2）如图（ 1），连接AB，在题（ 1）中的抛物线上是否存在点P，使 PAB 是以 AB 为直角边的 直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（ 2），连接AC， E为线段 AC 上任意一点（不与A、C 重合）经过A、E、O 三点的圆交直线AB 于 点 F，当 OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标 . 9.（本题满分 10分）如图1，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和 BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边 形称为等角线四边形 （1）在 “ 平行四边形、矩形、菱形” 中，一定是等角线四边形是（填写图形名称）； 若 M、 N、P、Q 分别是等角线四边形ABCD 四边 AB、BC、CD、DA 的中点，当对角线AC、BD 还要 满足时，四边形MNPQ 是正方形； （2）如图 2，已知 ABC 中， ABC=90 ，AB=4，BC=3，D 为平面内一点 若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD =BD，则四边形ABCD 的面积是； 设点 E 是以 C 为圆心， 1 为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面 积的最大值，并说明理由