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1、第 1 页（共 7 页） 2017 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （16 概率、随机变量及其分布正态分布） 一、选择题 1（2017 浙江） 已知随机变量 i满足 P（i=1）=pi，P（i=0）=1pi，i=1，2 若 0 2 D() C 1 E() 2 E()， 1 D() 2 E()， 1 D() 2 D() 【答案】 A 【解析】试题分析： 112212 (),(),()()Ep EpEE 111222121212 ()(1),()(1),()()()(1)0DppDppDDpppp，选 A 【考点】两点分布 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的
2、取值情况，然后利用 排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可 以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个 数由已知本题随机变量 i 服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确 二、填空 1. （2017 全国新课标理）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有 放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D。 【答案】1.96 三、解答题 1(2017 北京理 )为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一 组服药，另一组不服药.一段时间后， 记录了两组
3、患者的生理指标x 和 y 的数据，并制成下图， 其中 “*” 表示服药者，“+”表示未服药者. 第 2 页（共 7 页） （）从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60 的概率； （）从图中A，B，C，D 四人中随机 .选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望E（）； （）试判断这 100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小 . （只需写出 结论） 【答案】（） 0.3； （）详见解析； （）在这100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服 药者指标 y 数据的方差 . 【解析】 （）由图知，A,
4、B,C,D四人中，指标x的值大于1.7 的有 2 人： A 和 C. 所以的所有可能取值为0,1,2. 2112 2222 222 444 CC CC121 (0),(1),(2) C6C3C6 PPP. 所以的分布列为 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 故的期望 121 ( )0121 636 E. （）在这100 名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 . 【考点】 1.古典概型； 2.超几何分布； 3.方差的定义 . 【名师点睛】求分布列的三种方法 1由统计数据得到离散型随机变量的分布列； 2由古典概型求出离散型随机变量的分布列； 3由互斥事件的概率、相互独立
5、事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求 离散型随机变量的分布列 第 3 页（共 7 页） 2. (2017江苏 ) 已知一个口袋有m 个白球 , n 个黑球 (,*,2m nnN),这些球除颜色外全部相同.现将 口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2, 3, mn 的抽屉内，其中第k次取出的 球放入编号为k的抽屉 (1,2, 3,)kmn . 1 2 3 mn （1）试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p; （2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X的数学期望 ,证 明:() ()(1) n E X mn n 【答案】（1）
6、 n mn （ 2）见解析 【解析】解 :(1) 编号为 2的抽屉内放的是黑球的概率p为: 1 1 C C n m n n m n n p mn . (2) 随机变量X 的概率分布为 : X 1 n 1 1n 1 2n 1 k 1 mn P 1 1 C C n n n m n 1 C C n n n m n 1 1 C C n n n m n 1 1 C C n k n m n 1 1 C C n nm n m n 随机变量 X 的期望为： 来&源：ziy () ()(1) n E X mn n . 【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的
7、一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式( 常见的有古典概型公式、几何概型公 式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等) ，求出随机变量 取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某 第 4 页（共 7 页） 事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问 题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布( 如二项分布( ,)XB
8、n p) ，则此随机变 量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( ()E Xnp) 求得 . 因此，应熟记常见的典型分布的 期望公式，可加快解题速度. 3（ 2017 全国新课标理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 ( ,)N （ 1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外 的零件数，求(1)P X及X的数学期望； （ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，学+科网就
9、认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ ）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ， 其中 i x为 抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值 ?，用样本标
10、准差 s作为的估计值?，利用估计值判断是否 需对当天的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,3 )之外的数据，用剩下的数据估计和（精 确到 0.01） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N，则 (33 )0.997 4PZ ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 （ii）由9.97,0.212xs，得的估计值为?9.97，的估计值为?0.212，由样本数据 可以看出有一个零件的尺寸在? ?(3 ,3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除 ? ? (3 ,3 )之外的数据9.22， 剩下数据的平均数为 1 (169.979.22)10.02 15 ， 因此 的估计值为10.02. 16 222 1 160.212169.971591.134 i i x，剔除 ? ?(3 ,3 )之外的数据 9.22，剩下数据的