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1、中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题 【前言】 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一 般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求 解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对 考生的综合分析能力进行考察。所以说， 动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌 握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， 第一部分真题精讲 【例 1】 （2010，密云，一模） 如图，在梯形A BC D中，A DBC，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4动点 M从B点出发
2、沿线段 B C 以每秒2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出 发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为 t（秒） D N CMB A （1）当M NA B时，求 t的值； （2）试探究： t为何值时，M N C 为等腰三角形 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很 多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过 分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间， 就本题而言，M，N 是在动，意味着BM,MC以及 DN,NC 都是变化的。但
3、是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的， 而且动态条件之间也是有关系的。 所以当题中设定MN/AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程， 自然得出结果。 【解析】 解： （1）由题意知，当M、N运动到 t秒时，如图 ，过 D作DEAB交BC于E点， 则四边形ABED是平行四边形 A BMC N E D ABD E ， ABM N D EM N（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三 角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） M CNC ECC D （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 102 1 035 t
4、t 解得 5 0 1 7 t 【思路分析 2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是 MN=NC 即可， 于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。 在中考中如果在动态问题当中 碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后， 就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： 当M N N C时，如图 作NFB C交BC于F，则有2M CF C即 （利用等腰三角 形底边高也是底边中线的性质） 4 sin 5 D F C C D ， 3 co s 5 C ， 3 1 022 5 t t ， 解得 2 5
5、 8 t A BMC N F D 当M N M C时，如图 ，过M作M HCD于 H 则2CNCH， 3 2102 5 tt 60 17 t A BMC N H D 当M CC N时， 则102tt 10 3 t 综上所述，当 25 8 t 、 60 17 或 1 0 3 时，M NC为等腰三角形 【例 2】 （2010，崇文，一模） 在 ABC 中， ACB=45o点 D（与点 B、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ， 以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF （1）如果 AB=AC 如图，且点D 在线段 BC 上运动试判断线段CF 与 BD 之间的 位置关系，并证明你的结
6、论 （2） 如果 AB AC，如图， 且点 D 在线段 BC 上运动 （1）中结论是否成立， 为什么？ （3）若正方形ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P，设 AC 42 ， 3BC， CD= x，求线段CP 的长 （用含x的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并 未给出那个“静止点” ，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不 动的。 由题我们发现， 正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行 传递，就可以得解。 【解析】： （1）结论： CF 与 BD 位置关系是垂直； 证明如下
7、：AB=AC ， ACB=45o， ABC=45o 由正方形ADEF 得AD=AF ， DAF= BAC =90o， DAB= FAC ， DAB FAC ， ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o即CFBD 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中 构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件， 然后一样求解。 （2）CFBD (1)中结论成立 理由是：过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G， AC=AG 可证： GAD CAF ACF= AGD=45o BCF=ACB+ ACF= 90o即 CFBD 【思路分析3】这一问有点棘手，D 在 BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是 不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是 4-X。分类讨论之后 利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点Q， 点 D 在线段 BC 上运动时， BCA=45o，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x， 易证 AQD DCP， C PC D D QA Q ， 44 C Px x ， 2 4 x C Px G A B C D E F