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1、1 / 15 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 一、 学习目标： 1.掌握： （1）会熟练掌握线性规划问题的常用方法及步骤； （2）会画二元一次不等式组所表示的平面区域 （3）会求目标函数的最值问题； （4）会求参数的取值问题； （5）会求约束条件问题； （6）会求面积问题. 2.高考地位： 简单线性规划是教材中的新课改增加内容，属于大学知识下放。 纵观近几年的高考试题， 线性规划的试题多以选择题、填空题出现， 但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。 简单线性规划正在成为一个高考热点，其中， 我们辽宁省高考题以选择题为主。认真分析研 究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以
2、下五个类型：(1)会画和找出二元一 次不等式组所表示的平面区域（2）求目标函数的最值问题；（3）求参数的取值问题； （4） 求约束条件问题； （5）求面积问题. (一)二元一次不等式表示的区域 对于直线0CByAx(A0) 当 B0 时 , 0CByAx表示直线0CByAx上方区域 ; 0CByAx表示直线 0cByAx的下方区域 . 当 B0 时 , 0CByAx表示直线0CByAx下方区域 ; 0CByAx表示直线 0cByAx的上方区域 . （二）线性规划 (1) 不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次 不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+B
3、y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、 y的解析式，我们把它称为目标函数. 由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可 叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2) 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性 2 / 15 规划问题 . (3) 那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做 可行域 . 在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域. 其中可行解（ 11,y x）和 （ 22, y x）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性
4、目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否 在可行 (4) 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1. 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2. 设z=0，画出直线l0. 3. 观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4. 最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后， 用图解法求得数学模型的解，即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最 值的解 . 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解
5、，即结合实际情况求得最 优解 . 重 难 点 突 破 1.重点 ：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法 2.难点： 如何确定不等式0(AxByC或0)表示0AxByC的哪一侧区域， 如 何寻求线性规划问题的最优解. 3. 重难点： 如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解 (1) 怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？ 问题 1. 画出不等式组 3 0 05 x yx yx 表示的平面区域 3 / 15 点拨： （2）求线性规划的最优解 问题 2. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里 / 时(4 v 20)从A港出发到距50 海里的 B
6、港去，然后乘汽车以w千米 / 时(30 w100) 自B港向距 300 千米的C市驶去，应该在 同一天下午4 至 9 点到达C市. 设汽车、摩托艇所需的时间分别是,x y小时 . (1)写出,x y所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示,x y范围的图形； (2) 如果已知所需的经费1003(5)2(8)pxy( 元) ，那么,v w分别是多少时走得最 经济？此时需花费多少元？ 点拨： (1) 由题意得：v y 50 ,w x 300 ,4 v 20,30 w100, 3x10, 2 5 y 2 25 . 由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在 9 至 14 小时之间，即9x+y1
7、4, 因此满足的点(x,y) 的存在范围是图中阴影部分( 包括边界 ). (2) 因为p=100+3(5x)+2(8 y), 所以 3x+2y=131p, 设 131p=k, 那么当k最大时，p最 小，在图中通过阴影部分区域且斜率为 2 3 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过 点(10,4)，即当y=4 时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93 元. B(- 5 2 , 5 2 ) C(3,-3) A(3,8) x=3 x+y=0 x-y+5=0 0 6 3x y 4 / 15 热 点 考 点 题 型 探 析 考点 1 二元一次不等式(组)与平面区域 题型
8、 1. 求约束条件及平面区域的面积 例 1 . 双曲线4yx 22 的两条渐近线与直线x=3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等 式组是（） A. 3x0 0yx 0yx B. 3x0 0yx 0yx C. 3x0 0yx 0yx D. 3x0 0yx 0yx 【解题思路】依据平面区域的画法求解. 解析 双曲线4yx 22 的两条渐近线方程为xy，两者与直线3x围成一个三角形区 域时有 3x0 0yx 0yx ，故选 A。 【名师指引】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。 例 2. 不等式组 50 0 0 xy xy x 表示的平面区域的面积为_ 【解题思路】作出平面区域, 再由平
9、面几何知识求面积. 解析 不等式50xy表示直线50xy上及右上方的平面区域,x 0xy上及右上方的平面区域,3x表示直线3x上及左边的平面区域， 所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1 中的阴影部分ABC, 其中 5 5 (,) 2 2 A,(3, 3),(3,8)BC, 故所求面积 111121 11 224 ABC S 【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键. 题型 2.求非线性目标函数的最大（小）值 A B C 5 / 15 x y O 21 1 2 3 例 3. 已知 20 40 250 xy xy xy ，求：（1） 22 1025zxyy的最小值 ;（ 2） 21 1
10、 y z x 的 范围 【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解 【解析】 作出可行域，并求出顶点的坐标(1,3)A、(3,1)B、(7,9)C （1） 22 (5)zxy表示可行域内任一点( , )x y到定点(0,5)M的距离的平方，过M 作 直线 AC 的垂线，易知垂足N 在线段 AC 上，故z的最小值是 9 2 MN （2） 1 () 2 2 ( 1) y z x 表示可行域内任一点( , )x y到定点 1 ( 1,) 2 Q连线斜率的两倍； 因为 7 4 QA k， 3 8 QB k故z的取值范围为 3 7 , 4 2 【名师指引】 求非线性目标函数的最大（小） 值问题的关键是从
11、目标函数联想到相对应的几 何意义 .最常见的是两点间的距离和斜率公式. 【新题导练】 1. 图中阴影部分是下列不等式中( )表示的平面区域. A. 10 2360 10 220 xy xy xy xy B. 10 2360 10 220 xy xy xy xy C. 10 2360 10 220 xy xy xy xy D. 10 2360 10 220 xy xy xy xy 解析 : 用原点作检验. 选 C 2.如果直线1kxy与圆04 22 mykxyx相交于NM、两点 ,且点NM、关于 直线0yx对称 ,则不等式组 0 0 01 y mykx ykx 所表示的平面区域的面积为_. 解析 :因为 M、N 两点关于直线0xy对称，所以直线1ykx的斜率1k，