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1、课题：第三章第 2 节圆的对称性（1） 课型：新授课 教学目标： 1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点） 2理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题(难点 ) 教法与学法指导： 这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践 大胆猜测 -综合证明 -灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学 的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案. 教学过程： 一、情景导入明确目标 组织教学 ：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题， ( 问题 1) 通过 上节课 车轮为什么是圆形的学习，
2、 认识了圆的基本概念, 这是一张圆形纸片, 你有什么办 法找出它的圆心呢？ 学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心. 师：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道， 半径定圆的大小，圆心定圆的位置. 下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示： 师 ： （问题 2） 在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质? 生 1 ：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 师 ：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称 轴是怎样的直线，有多少条对称轴？ 生 2 ：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. 师 ：同学们，
3、这位同学回答的对吗？ 生 3 ：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线， 或者是过圆心的直线. 教师活动 ：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（ 1） 圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. 设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师 . 通过设计 一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意 义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习合作探究： 探究活动一 ：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件） 学案 ( 问题 3) ： （1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分
4、成几类？它们如何区分？ 学情预设： 可能出现的 情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦 是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半 圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论. 学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. 生 1 ： (1) 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫
5、直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ; 直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫 M O O O A B C D E F 做半圆 . 大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 生 2 ：弦是线段，弧是曲线段. 弧的表示方法是在两个端点上面添加“符号. 生 3 ：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧. 师 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质. 教师活动 ：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明. 生 4 ：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧， 也不是优弧 . 生 5 ：直径是圆中最大的弦.
6、 学生活动 :整理好笔记 . 设计意图： 让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从 而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、 分类讨论地解决问题， 提高课堂 效率. 探究活动二 ：垂径定理 （问题 4） （1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？ （2）若把AB向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想： 还有与刚才类似的结 论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？ （3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM=BM， 还有什么方法？ （4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言. M 优弧AB AMB 半圆CD 劣弧
7、AB AB O O O A B C D E F 学生活动： 拿出圆形纸片, 将其对折，得到一条折痕CD,在 CD上取一点M ，作 CD的垂线 AB,然后再将圆沿CD对折，观察，得出结论. 生 1 ：垂直关系；相等的量有，AM=BM, 因 为 圆 沿 直 线 CD 对折后，点A 与 B 重合 . 生 2 ： 若只证明AM=BM， 还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA, OB 则 OA=OB 又 CDAB AM=BM,CD 是线段 AB 的垂直平分线 点 A 和点 B 关于直线 CD 对称 教 师活动 : 引导学生总结并板书 文字语言和几何语言： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
8、且平分弦所对的（两条）弧 如图，在 O中，即 CD 是直径 AM=BM， CDAB 于 M 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会 定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的 概括、总结的语言表达能力. 探究活动三 ：垂径定理的推论 议一议： ( 问题 5) 同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即： ，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会 持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导. 当 A
9、B 与 CD 是 O的直径时， 互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. 生 1 ： 成立 . AC =BC , AD =BD M O D C A B AC =BC , AD =BD M O A B C D M O A B C D AD=BD AC=BC OA=OB, AM=BM, CDAB(三线合一 ) 生2 ：不一定成立，如图，当AB 是直 径时， CD 平分 AB，但不垂直AB. 只有 AB 不是直径时，才成立. 师 ： 同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一 及多样性，多画图，多分析，多总结. 那么这个推论我们应该怎么说？ 在学
10、生的归纳中，板书. 垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （问题 6）如果我们继续交换条件是否能够、？ 学生活动：采取折叠- 重合 - 得出结论成立 . 师生共同归纳总结：由“直径、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”，其 中两个作条件推出另三个结论. 设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的 思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣， 感受合作交流的重要性 . （问题 7）例题分析 例 1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中弧CD， 点 O 是弧 CD 的圆心 ) ，其中CD=600m ，E 为弧 CD 上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90 m求这段弯路的半径 学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相 互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题 思路 . 教师活动 :与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. 生 ：解：连接OC，设弯路的半径是R，则 OF=( R-90)m OECD AC =BC , AD =BD M O A B C D