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1、1 / 19 圆锥曲线的第三定义及运用 一、椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆： 在椭圆 22 22 C10 xy ab ab ：中， A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A、B 的一点， 若 PAPB kk、存在，则有： 2 2 2 =1= PAPB b kke a 证明：构造 PAB 的 PA 边所对的中位线MO ， PAMO kk，由点差法结 论： 2 2 2 =1= MOPB b kke a 知此结论成立 . 2 / 19 2. 双曲线 在双曲线 22 22 C1 xy ab ：中， A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上 异于 A、B 的一点，若 PAPB kk、存在，
2、则有： 2 2 2 =1= PAPB b kke a 证明：只需将椭圆中的 2 b全部换成 2 b就能将椭圆结论转换成双曲线的 结论 . 二、与角度有关的问题 例题 1：已知椭圆 22 22 C10 xy ab ab ：的离心率 3 2 e，A、B 是椭 圆 的 左 右 顶 点 ， 为 椭 圆 与 双 曲 线 22 1 78 xy 的 一 个 交 点 ， 令 3 / 19 PAB=APB=，则 cos = cos 2 . 解答： 令=PBx，由椭圆第三定义可知： 2 1 tantan =1= 4 e cos coscos cossinsin1tantan3 = cos 2coscos coss
3、insin1tantan5 点评： 其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答.两顶点一 动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转 化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切.题目中的正余弦化正切是三角函 数的常见考点. 4 / 19 变式 1-1 ： 已知双曲线 22 C2015xy：的左右顶点分别为A、B，P 为双曲线右 支一点，且=4PABAPB，求=PAB . 解答： 令=0 2 PAB， ，=0 2 PBA ，则=5，由双曲线的第 三定义知： 2 tantan =tantan5 =1=1e 则： 1 tan=tan5=5= tan52212 点评：
4、与例题 1 采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高.两锐角正 5 / 19 切乘积为 1 即表示 sin =cos ， cos =sin 两角互余， 则可解出的值 . 当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲 线的第三定义，不妨做一做. 三、与均值定理有关的问题 例题 2：已知 A、B 是椭圆 22 22 10 xy ab ab 长轴的两个端点，M 、 N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为 12 kk、，且 12 0k k.若 12 kk的最小值为1，则椭圆的离心率为 . 解答一（第三定义 +均值） ： 由题意可作图如下： 6 /
5、19 连接 MB ，由椭圆的第三定义可知： 2 2 2 =1= AMBM b kke a ， 而 BMBN kk 2 12 2 = b k k a 1212 213 2=1= 22 bb kkkke aa 解答二（特殊值法）： 这道题由于表达式 12 min 1kk非常对称，则可直接猜特殊点求解. 12 1 = 2 kk时可取最值，则M、N 分别为短轴的两端点. 此时： 12 13 = 22 b kke a 点评： 对于常规解法，合理利用M、N 的对称关系是解题的关键，这样可以利 用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了 “二定”，利用均值定理 “三相等” 即可用 a、b 表示出最值1. 当然将 12 kk、 前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法 相同，即变式 2-1.