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1、一、填空题 1. _ sin lim x xx x 2. 已知 2 5 lim2 32 n anbn n ，则a_，b_; 3. 若)3)(2)(1(xxxxy，则y(0) =_； 4. 设函数 )(xf 在 ),( 上可导，且 0)(xf,3)0(f ,则 )(xf 。 5. x x x 1 sinlim_. 6. 若函数 0),ln( , 0, )( xex xax xf在),(连续，则a 二、选择题 1下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的有（） 。 Axy2, 1；B. 154 23 xxxy1 , 0； C 2 1lnxy3, 0；D. 2 1 2 x x y1 , 1。 2若
2、函数)(xf在点 0 x处可导，则 ( )是错误的 A函数)(xf在点 0 x处有定义BAxf xx )(lim 0 ，但)( 0 xfA C函数)(xf在点 0 x处连续D函数)(xf在点 0 x处可微 3设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（） Axxfd)2(cos2Bxxxfd22sin)2(cos Cxxxfd22sin)2(cosDxxxfd2sin)2(cos2 4当00xfxx时，；当00xfxx时，则点0x一定是函数 xf 的（） 。 A. 极大值点B. 极小值点C. 驻点D.以上都不对 5设axn n |lim，则（） (A) 数列 n x收敛；(B) axn n
3、lim； (C) axn n lim；(D) 数列 n x可能收敛，也可能发散。 6设 | sin )( x x xf，则0x是f的（） (A) 连续点；(B) 可去间断点；(C) 跳跃间断点；(D) 第二类间断点。 7若函数)(xf在),(ba上连续，则)(xf（） (A) 在),(ba有界；(B) 在),(ba的任一闭区间上有界； (C) 在),(ba无界；(D) 在,ba有界。 8设)(xf是奇函数，且0 )( lim 0 x xf x ，则（） (A) 0x是f的极小值点；(B) 0x是f的极大值点； (C) )(xfy在0x的切线平行于x轴； (D) )(xfy在0x的切线不平行于x
4、轴。 9设)(xfy在 0 x可微，记 0 xxx，则当0x时，dyy（） (A) 是x的高阶无穷小；(B) 与x是同阶无穷小； (C) 与x是等价无穷小；(D) 与x不能比较。 三、解答题 1 222 111 lim 12 n nnnn ； 2设 sin 1cos xa tt yat ，求 2 2 d y dx 3设,为可导函数， 22 )()(xxy,求y; 4)122(limnnn n 四、1. 设 ,0 0,0 g x x fx x x ，且已知000gg，04g, 试求0f 2. 设 1 2a， 1 2 nn aa ，1,2,n，证明 : 数列 n a的极限存在并求其值。 3. 设0
5、k,试问k为何值时 ,方程0arctankxx存在正实根 . 五、1. （1）若函数)(xf在,ba上可导，且mxf)(，证明；)()()(abmafbf； （ 2）若函数)(xf在,ba上可导，且Mxf|)(|，证明：)(|)()(|abMafbf， （ 3）证明：对任意实数 21, x x ，都有 |sinsin| 1221 xxxx 。 2. 设函数ax 在点)(连续，)()(),()(afafxaxxf和求，问在什么条件下)(af 存在。 六、按函数作图步骤，作函数2arctanfxxx的图像。 一、填空题 1. 2 0 lim_; 1cos x x x 2. 1 cos sinyx
6、x 函数的连续区间为; 3. 数集|Sx x为（ 0，1）内的无理数 ，其上下确界分别为_ ； 4. 数列( 1) 1 nn n 的全体聚点为; 5. 设函数)(xf在),(上可导，且( )cosfxx,(0)1f,则)(xf 6. )1(lim 2 xxx x _; 7 x x x 1 sinlim 0 8. 设曲线 2 axy与曲线xyln相切，则a; 9 设2| 2 xxE，则Esup；Einf 10. 若函数 0),ln( ,0, )( xex xax xf在),(连续，则a. 二、选择题 1. 设aun n lim，则当n时，nu与a的差是（） (A) 无穷小量 (B)任意小的正数
7、(C)常量 (D) 给定的正数 2. 设函数)(xf在),(ba内连续，),( 0 bax，且0)()( 00 xfxf，则函数在 0 xx处（）. （A）取得极大值（B）取得极小值 （C）一定有拐点)(,( 00 xfx（D）可能有极值，也可能有拐点。 3. 设)(xf是偶函数，在0 点可导，则)0(f（ ） (A) 1 (B)-1 (C) 0 (D) 以上都不对 . 4. 函数 32 8)(xxxf，则 (A)在任意区间 a,b上罗尔定理成立； （B）在 0,8上罗尔定理不成立； （C）在 0,8上罗尔定理成立； (D) 在任意闭区间上罗尔定理不成立. 5. 函数f xx x ( )sin
8、 1 在点x0处（） (A) 有定义且有极限； (B) 无定义但有极限； (C) 有定义但无极限； (D)无定义且无极限 6. 设 | sin )( x x xf，则0x是函数f的（） (A) 连续点；(B) 跳跃间断点；(C) 可去间断点；(D) 第二类间断点。 7. 若函数f在),(ba上连续，则函数f在（） (A) ),(ba有界； (B) ),(ba无界； (C) ,ba有界(D) ),(ba的任一闭区间上有界。 8. 设)3)(2)(1()(xxxxxf，则方程0)(xf在)3,0(上（） (A) 没有根；(B) 最多有两个根；(C) 有且仅有三个根；(D) 有四个根。 9设f在,b
9、a上二阶可导，且0f，则 ax afxf xF )()( )(在),(ba上（） (A) 单调增；(B) 单调减；(C) 有极大值；(D) 有极小值。 10设f在,ba上可导，, 0 bax是f的最大值点，则（） (A) 0)( 0 xf; (B) 0)( 0 xf；(C) 当),( 0 bax时0)( 0 xf; (D) 以上都不对。 三、解答题 1.( )( ) | ( ),( ) ( ) xaf xxaxf xa fa 设在点 处连续，函数求在点 处的左右导数。 并求存在的条件 . . 2. 设 2 3 (1)(2) 3 xx y x ，计算 d d y x 。 3. 已知. 0 1 2
10、 lim 2 bax x x x 求a和 b . 4. 求极限 0 11 lim 1 x x xe 5. 求极限 n n nn 2 11 1lim6. 设 2 3 (1)(2) 3 xx y x ，计算 d d y x 。 7. 求极限 x x x sin 0 )(tanlim；8. 求极限 21 limln(1) x xx x 四、 1. 证明：当0 2 x时， sintan2xx x 。 2. 设 11 63,6(1,2,) nn xxxn.证明数列 n x收敛，并求其极限. 3. 按N定义证明 3 5 23 25 lim 2 2 n nn n . 4. 设( )f x在(0,1)内有二阶
11、导数，且(1)0f，有 2 ( )( )F xx f x， 证明：在(0,1)内至少存在一点，使得：( )0F。 5. 证明：当0 2 x时， tan sin xx xx 。 6 给定两正数 1 a与 1 b( 1 a 1 b),作出其等差中项 2 11 2 ba a与等比中项112bab, 令 2 1 nn n ba a,nnn bab 1.证明 : n n alim与 n n blim皆存在且相等。 7 设321 ,aaa 为正数，321，证明：方程0 3 3 2 2 1 1 x a x a x a 在区间),( 21 与),( 32 内各有一个根。 8.若( )f x在 , a b上连续
12、，在( , )a b上可导，( )( )0f af b，证明： R ， ( , )a b使得：( )( )0ff。 五、1、设 00 0 1 sin )( 24 x x x x xf （ 1）证明：0x是f的极小值点； （ 2）说明f的极小值点0x处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。 2、设函数 ( )f x 在区间I满足利普希茨条件，即存在常数 0L ，使得 任意两点 12 ,x x都有 2112()(),f xf xL xx证明 （ 1）函数( )f x在区间I上一致连续； （2）函数( )sinf xx在区间(,)上一致连续。 六、 1. 在ba,上的连续函数f为一致连续的充要条件是0,0bfaf都存在 . 2.用有限覆盖定理或者用闭区间套定理证明根的存在定理。 3、设函数f在),0(上满足方程)()2(xfxf且. 证明 : Axf)(,),0(x