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1、教学系列之七： 等差数列求和（ 1) 教学目标： 1、让学生了解数学家高斯的生平，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热 情。 2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识 解决实际问题的能力。 教学过程： 一、高斯的故事 德国著名大科学家高斯(1777 1855) 出生在一个贫穷的家庭。高斯在 还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时， 还纠正父亲计算的错误。 长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方 面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则 称呼他为“数学王子”。 他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师
2、是一个从城里来的人，觉 得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见： 穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会 还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。 这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔， 心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。 “你们今天替我算从1 加 2 加 3 一直到100 的和。谁算不出来就罚他 不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅 子上看去了。 教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1 加 2 等于 3，3 加 3 等于 6， 6 加 4 等于 10”一些小朋友加到
3、一个数后就擦掉石板上的结果，再加 下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额 上渗出了汗来。 还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是 不是这样？” 老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他 想不可能这么快就会有答案了。 可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案 是对的。” 数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数： 5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8 岁 的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？ 高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来 计算
4、级数1+2+3+n 的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前 目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来， 并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯 以后便在数学上作了一些重要的研究了。 二、趣味数学之等差数列 (一)等差数列的基本知识 1.数列的基本知识 2.等差数列的基本知识 (二)等差数列的项等差数列的通项公式 1.等差数列的某一项=首项 +公差（项数-1） 例：已知数列2、5、8、11、14 求： （1）它的第10 项是多少？ （2）它的第98 项是多少？ （3）这个数列各项被几除有相同的余数？ 2. 等差数列的项数=（末项 -首项）公
5、差+1 例：已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项？ 3. 小结等差数列项的有关规律 4.练习 1、一串数： 1、3、5、7、9、49。 （1）它的第21 项是多少 ? （2）这串数共有多少个？ 2、一串数： 2、4、6、8、2008。 （1）它的第25 项是多少 ? （2）这串数共有多少个？ 3、一串数： 101、102、103、104、 199。 （1）它的第30 项是多少 ? （2）这串数共有多少个？ 4、一串数： 7、12、17、22。 （1）它的第60 项是多少 ? （2）这个数列各项被几除有相同的余数？ 三、总结：说说上课后的感想 教学系列之八： 等差数列求和（ 2
6、） 教学目标： 1、让学生了解数学家斐波纳契的生平，提升学生的学习兴趣，激 发学生学习数学的热情。 2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应 用数学知识解决实际问题的能力。 教学过程： 一、意大利数学家斐波那契 经过 12 世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展在 13 世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心特别是商 业的发展，带来了相当复杂的计算这时的欧洲出现了第一批理论数学 家意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家斐波 那契。 斐波那契是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从阿拉伯教师 学习计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法
7、国旅游，拜访各地的 学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。经过研究和比较，他认 为其他数系无一能与印度阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200 年回到家 乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成算盘书这是向西欧介绍 印度阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些 算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名中“算盘”一词已失去它 作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度阿拉伯数系而产生 的“算法”。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知 识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术 和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。
8、下面简要 介绍一下算盘书的主要内容。 算盘书共有15 章第1 5 章介绍印度阿拉伯数码记数法 及其四则运算。第6，7 章介绍分数记法及其运算。第8 11 章讨论商 业上实用的各种算术问题的解法。在第11 章讨论的混合问题。第12 章的 内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：算术级数、 几何级数、平方数数列和递归数列等几何级数的求和是为解决来自埃及 纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假 定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发 生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个 问题使斐波那契名垂史册问题的答案由下
9、列和式给出： 112358 233 其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波那契数 列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以 后的近 800 年中一直是许多学者研究的对象。第13 章是用双设法解线性方 程。第14 章介绍平方根和立方根的近似计算。第15 章是问题汇编。算 盘书以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名 列 12 14 世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。 二、趣味数学之等差数列求和 1.例： 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38 2.例：计算1 + 6+ 11 +
10、 16 + 21+ 26 + 276 3.练习： （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+403 （3）9+19+29+39+99 （4）1+3+5+7+99 三、等差数列知识总结： 怎样判断一个数列是等差数列 怎样求出等差数列的任意一项或项数 怎样求出等差数列前几项的和 必须牢记等差数列的基本公式和重要结论 教学系列之九： 等差数列求和（ 3) 教学目标： 1、让学生了解数学家韩信的生平，感受数学魅力， 激发学生学习数学的热情。 2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识 解决实际问题的能力。 教学过程： 一
11、、韩信的故事 韩信是中国历史上最有名的军事家之一，被刘邦和吕后出于嫉妒和私 心害死了。历史上很多史家和学者为他平反，众多的诗人为他留下大量的 诗篇。围绕着韩信还流传了各种各样的传说。在今天我们所介绍的两则传 说中，人们把他作为智慧的化身，就寄托着历代人们对他的深切的同情和 怀念。 韩信分油 据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。 这两个人有一只容量10 斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只 空的葫芦，罐可装7 斤油，葫芦可装3 斤油。要把这10 斤油平分，每人5 斤。但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去。应该怎样分呢？ 韩信骑在马上，了解情况以后，说：“
12、葫芦归罐罐归篓，二人分油回 家走。”说完了，打马就走。两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油 平均分成两半，每人5 斤，高高兴兴，各自回家。究竟是怎样倒来倒去的 呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。 篓10 7 7 4 4 1 1 8 8 5 5 罐 0 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5 葫 芦 0 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0 韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓” 是指把罐里的油往篓里倒。通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在 却把小容器里的油往大容器里“归”。往油葫芦里倒油，只能得到3 斤的 油量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归
13、”到第三次，葫芦里就出现2 斤 的油量。再把满满一罐油“归”到篓里，腾出空来，把葫芦里的2 斤油“归” 到空罐里；最后再倒一葫芦3 斤油，“归”到罐里，就完成分油任务了。 韩信点兵 秦朝末年， 楚汉相争。 一次，韩信将 1500 名将士与楚王大将李锋交战。 苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵 马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只 见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信 兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3 人一排， 结果多出2 名；接着命令士兵5 人一排，结果多出3 名；他又命令士兵7 人
14、一排，结果又多出2 名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073 名勇士， 敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就 信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于 是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。 交战不久，楚军大败而逃。 二、趣味数学之等差数列求和应用 1.例：在一个分成64 小格的方板的每个格子中放入石子。如果第 一格放入2 粒，第二格放入4 粒，第 3 格放入 6 粒，第四 格放入 8 粒依次类推， 放满 64 格，一共要放入多少粒 石子？ 2. 例：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米 2，边 长是
15、1 根火柴棍。 （1）最大三角形的面积是多少平方厘米？ （2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 3.练习： （1）丽丽学英语单词，第一天学会了6 个，以后每天都比前一天 多学会 1 个，最后一天学会了16 个。丽丽在这些天中共学会了多 少个单词？ （2）有一家电影院，共有30 排座位，后一排都比前一排多两个 位置，已知第一排有28 个座位， 那么这家电影院共可以容纳多少 名观众？ （3）盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一 只球，将它变成3 只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二 只球，将每只球各变成3 只球后放回盒子里第十次从盒子里 拿出十只球，将每只球各变成3 只球后放回到盒子里。这时盒子 里共有多少只乒乓球？ （4）时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟 也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？ 三、总结：说说上课后的感想