最新历年高考数学试卷附详细答案A.pdf

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1、精品文档 精品文档 2015 年高考数学试卷 一、选择题（每小题5 分，共 40 分） 1 （ 5 分） （2015?真题）复数i （2 i ）=（） A1+2i B 12i C 1+2i D 12i 2 （ 5 分） （2015?真题）若x，y 满足，则 z=x+2y 的最大值为（） A0 B 1 C D2 3 （ 5 分） （2015?真题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A （ 2，2）B （ 4，0）C （ 4， 4）D （0， 8） 4 （ 5 分） （2015?真题）设 ， 是两个不同的平面，m是直线且 m ? ，“ m “是“ ”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分

2、条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （ 5 分） （2015?真题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） 精品文档 精品文档 A2+B 4+C 2+2D5 6 （ 5 分） （2015?真题）设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（） A若 a1+a20，则 a2+a3 0 B若 a1+a30，则 a1+a20 C若 0a1a2，则 a2D 若 a10，则（ a2a1） （a2 a3） 0 7 （5 分） （2015?真题） 如图， 函数 f（ x）的图象为折线ACB ，则不等式f（ x）log 2（x+1） 的解集是（） Ax| 1 x0 B x| 1x1 Cx

3、| 1x1 Dx| 1x2 8 （ 5分） （2015?真题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A消耗 1升汽油，乙车最多可行驶5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以80 千米 /小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油 精品文档 精品文档 D某城市机动车最高限速80 千米 / 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题（每小题5 分，共 30 分） 9 （ 5 分） （2015?真题）在（ 2+x） 5 的展开式中， x 3 的系数为（用数字作答

4、） 10 （5 分） （2015?真题）已知双曲线y 2=1（a0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a= 11 （5 分） （2015?真题）在极坐标系中，点（2，）到直线（cos +sin ） =6 的 距离为 12 （5 分） （2015?真题）在 ABC中， a=4， b=5，c=6，则= 13 （5 分） （2015?真题）在 ABC中，点 M ，N满足=2，=，若=x+y，则 x= ， y= 14 （5 分） （2015?真题）设函数f （ x）=， 若 a=1，则 f （x）的最小值为； 若 f （ x）恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是 三、解答题（共6 小题，共 80 分

5、） 15 （13 分） （2015?真题）已知函数f （x）=sincossin （）求f （x）的最小正周期； （）求f （x）在区间 ， 0 上的最小值 16 （13 分） （2015?真题） A，B两组各有 7 位病人， 他们服用某种药物后的康复时间（单位： 天）记录如下： A组： 10，11，12，13， 14，15，16 B组； 12，13，15，16， 17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1 人， A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙 （）求甲的康复时间不少于14 天的概率； （）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （）当a 为

6、何值时， A， B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17 （14 分） （2015?真题）如图，在四棱锥AEFCB 中， AEF为等边三角形，平面AEF 平面 EFCB ，EF BC ，BC=4 ，EF=2a， EBC= FCB=60 ， O为 EF的中点 （）求证： AO BE （）求二面角FAE B的余弦值； （）若BE 平面 AOC ，求 a 的值 精品文档 精品文档 18 （13 分） （2015?真题）已知函数f （x）=ln， （）求曲线y=f （x）在点（ 0，f （0） ）处的切线方程； （）求证，当x（ 0，1）时， f （x）； （）设实数k 使得 f （ x

7、）对 x（ 0，1）恒成立，求k 的最大值 19 （14 分） （2015?真题）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点 P （0，1） 和点 A（ m ，n） （ m 0）都在椭圆C上，直线PA交 x 轴于点 M （）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m ，n 表示） ； （）设 O为原点，点B与点 A关于 x 轴对称，直线PB交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在 点 Q ，使得 OQM= ONQ ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由 20 （13 分） （2015?真题）已知数列 an满足：a1N * ， a136， 且 an+1= （n=1，2，） ，记集合M=an|n N

8、 * （）若a1=6，写出集合M的所有元素； （）如集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3 的倍数； （）求集合M的元素个数的最大值 精品文档 精品文档 高考数学试卷（理科） 试题解析 一、选择题（每小题5 分，共 40 分） 1 （ 5 分） （2015?真题）复数i （2 i ）=（） A1+2i B 12i C 1+2i D 12i 【分析】 利用复数的运算法则解答 【解答】 解：原式 =2i i 2=2i （ 1）=1+2i ； 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意i 2=1 2 （ 5 分） （2015?真题）若x，y 满足，则 z=x

9、+2y 的最大值为（） A0 B 1 C D2 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移， 即可求出z 取得最大值 【解答】 解：作出不等式组表示的平面区域， 当 l 经过点 B时，目标函数z 达到最大值 z最大值=0+21=2 故选： D 【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 3 （ 5 分） （2015?真题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） 精品文档 精品文档 A （ 2，2）B （ 4，0）C （ 4， 4）D （0， 8）

10、【分析】 模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； x=1，y=1， k=0 时， s=xy=0，t=x+y=2 ； x=s=0，y=t=2 ， k=1 时， s=xy=2，t=x+y=2 ； x=s=2，y=t=2 ， k=2 时， s=xy=4，t=x+y=0 ； x=s=4，y=t=0 ， k=3 时，循环终止， 输出（ x，y）是（ 4，0） 故选： B 【点评】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目 4 （ 5 分） （2015?真题）设 ， 是两个不同的平面，m是直线且 m ? ，“ m

11、“是“ ”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 m 并得不到，根据面面平行的判定定理，只有 内的两相交直线都平 行于 ，而 ，并且m ? ，显然能得到m ，这样即可找出正确选项 【解答】 解： m ? ， m 得不到 ，因为， 可能相交，只要m和 ， 的交 线平行即可得到m ； ， m ? ， m和 没有公共点，m ，即 能得到 m ； “m ”是“”的必要不充分条件 故选 B 精品文档 精品文档 【点评】 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定 理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念 5

12、 （ 5 分） （2015?真题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A2+B 4+C 2+2D5 【分析】 根据三视图可判断直观图为：OA 面 ABC ，AC=AB ，E为 BC中点， EA=2 ，EA=EB=1 ， OA=1 ， ：BC 面 AEO ，AC=，OE= 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积 【解答】 解：根据三视图可判断直观图为： OA 面 ABC ，AC=AB ，E为 BC中点， EA=2 ，EC=EB=1 ，OA=1 ， 可得 AE BC ， BC OA ， 运用直线平面的垂直得出：BC 面 AEO ，AC=，OE= SABC=22=2，SOAC=

13、SOAB=1= SBCO=2= 故该三棱锥的表面积是2， 故选： C 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力， 计算能力，关键是恢复直 观图，得出几何体的性质 精品文档 精品文档 6 （ 5 分） （2015?真题）设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（） A若 a1+a20，则 a2+a3 0 B若 a1+a30，则 a1+a20 C若 0a1a2，则 a2D 若 a10，则（ a2a1） （a2 a3） 0 【分析】 对选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即A不正 确；

14、若 a1+a30，则 a1+a2=2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即B不正确； an是等差数列， 0a1a2，2a2=a1+a3 2， a2，即 C正确； 若 a10，则（ a2a1） （a2 a3） =d 20，即 D不正确 故选： C 【点评】 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础 7 （5 分） （2015?真题） 如图， 函数 f（ x）的图象为折线ACB ，则不等式f（ x）log 2（x+1） 的解集是（） Ax| 1 x0 B x| 1x1 Cx| 1x1 Dx| 1x2 【分析】 在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利

15、用数形结合得到不等式的解集 【解答】 解：由已知f （ x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图 满足不等式f （x） log2（x+1）的 x 范围是 1 x1；所以不等式f （x） log2（x+1） 的解集是 x| 1 x1 ； 故选 C 【点评】 本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移 精品文档 精品文档 8 （ 5分） （2015?真题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A消耗 1升汽油，乙车最多可行驶5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车

16、消耗汽油最多 C甲车以80 千米 /小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油 D某城市机动车最高限速80 千米 / 小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【分析】 根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，以及图象， 分别判 断各个选项即可 【解答】 解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 千米每小时时的燃油 效率大于5 千米每升，故乙车消耗1 升汽油的行驶路程远大于5 千米，故A错误； 对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误， 对于选项C，甲车以80 千米 / 小时的速度行驶1 小时，里程为80 千米，燃油效率为10，

17、故 消耗 8 升汽油，故C错误， 对于选项D，因为在速度低于80 千米 / 小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确 【点评】 本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题 二、填空题（每小题5 分，共 30 分） 9 （ 5 分） （2015?真题）在（ 2+x） 5 的展开式中， x 3 的系数为40 （用数字作答） 【分析】 写出二项式定理展开式的通项公式，利用x 的指数为3，求出 r ，然后求解所求数 值 【解答】 解： （2+x） 5 的展开式的通项公式为：Tr+1=2 5r x r， 所求 x 3 的系数为：=40 故答案为： 40 【点评】 本题考查二项式定理的应用，二

18、项式系数的求法，考查计算能力 精品文档 精品文档 10 （5 分） （2015?真题）已知双曲线y 2=1（a0）的一条渐近线为 x+y=0，则 a= 【分析】 运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件可得=，即可得到a 的值 【解答】 解：双曲线 y 2=1的渐近线方程为 y=， 由题意可得=， 解得 a= 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题 11 （5 分） （2015?真题）在极坐标系中，点（2，）到直线（cos +sin ） =6 的 距离为1 【分析】 化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出 【解答】 解：点

19、P（2，）化为 P 直线 （cos +sin ） =6 化为 点 P到直线的距离d=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 12 （5 分） （2015?真题）在 ABC中， a=4， b=5，c=6，则= 1 【分析】 利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论 【解答】 解： ABC中， a=4， b=5， c=6， cosC=，cosA= sinC=，sinA=， =1 精品文档 精品文档 故答案为： 1 【点评】 本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础 13 （5 分） （2015?真题）

20、在 ABC中，点 M ，N满足=2，=，若=x+y，则 x= ，y= 【分析】 首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本 定理得到x，y 值 【解答】 解：由已知得到=； 由平面向量基本定理，得到x=，y=； 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数 对（ x，y）使，向量等式成立 14 （5 分） （2015?真题）设函数f （ x）=， 若 a=1，则 f （x）的最小值为1 ； 若 f （ x）恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是a 1 或 a2 【分析】 分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；

21、 分别设h（x）=2 xa，g（x）=4（xa） （x2a） ，分两种情况讨论，即可求出 a 的范围 【解答】 解：当a=1 时， f （x） =， 当 x1 时， f （x）=2 x 1 为增函数， f （x） 1， 当 x1 时， f （x）=4（x1） （x2）=4（x 23x+2） =4（x ） 21， 当 1x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增， 故当 x=时， f （x）min=f （）=1， 设 h（ x）=2 xa，g（x）=4（xa） （x2a） 若在 x 1时， h（ x）=与 x 轴有一个交点， 所以 a 0，并且当x=1 时， h（1）=2a0，所以 0a2， 而函

22、数 g（x）=4（xa） （x 2a）有一个交点，所以2a1，且 a1， 所以a 1， 若函数 h（x）=2 xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点， 精品文档 精品文档 则函数 g（x）=4（xa） （x 2a）有两个交点， 当 a0 时， h（x）与 x 轴无交点， g（x）无交点，所以不满足题意（舍去）， 当 h（1）=2a0 时，即 a2 时， g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是a1，或 a2 【点评】 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算 能力以及分类能力，属于中档题 三、解答题（共6 小题，共

23、80 分） 15 （13 分） （2015?真题）已知函数f （x）=sincossin （）求f （x）的最小正周期； （）求f （x）在区间 ， 0 上的最小值 【分析】（）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f （ x） ，再由正弦函数的周期， 即可得到所求； （）由x 的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值 【解答】 解： （） f （x） =sincossin =sinx （1cosx ） =sinxcos+cosxsin =sin （x+）， 则 f （x）的最小正周期为2； （）由x0，可得 x+， 即有 1， 则当 x=时， sin （x+）取得最小

24、值1， 则有 f （ x）在区间 ， 0 上的最小值为1 【点评】 本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查 运算能力，属于中档题 16 （13 分） （2015?真题） A，B两组各有 7 位病人， 他们服用某种药物后的康复时间（单位： 天）记录如下： A组： 10，11，12，13， 14，15，16 B组； 12，13，15，16， 17，14，a 精品文档 精品文档 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1 人， A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙 （）求甲的康复时间不少于14 天的概率； （）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时

25、间长的概率； （）当a 为何值时， A， B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【分析】 设事件 Ai为“甲是A组的第 i 个人”，事件Bi为“乙是B组的第 i 个人”，由题 意可知 P（Ai）=P（Bi）=，i=1 ，2， ? ，7 （）事件等价于“甲是A组的第 5 或第 6 或第 7 个人”，由概率公式可得； （）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间 长”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，易得 P（ C）=10P（A4B1） ， 易得答案； （）由方差的公式可得 【解答】 解：设事件Ai为“甲是A组的第 i 个人”，事件Bi为“

26、乙是 B组的第 i 个人”， 由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1 ，2， ? ，7 （）事件“甲的康复时间不少于14 天”等价于“甲是A组的第 5 或第 6 或第 7 个人” 甲的康复时间不少于14 天的概率 P（A5A 6A7）=P（ A5）+P（A6）+P（A7）= ； （）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”， 则 C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6， P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（ A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3） +P（ A6B6） +P（A7B6

27、） =10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）= （）当a 为 11 或 18 时， A，B两组病人康复时间的方差相等 【点评】 本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题 17 （14 分） （2015?真题）如图，在四棱锥AEFCB 中， AEF为等边三角形，平面AEF 平面 EFCB ，EF BC ，BC=4 ，EF=2a， EBC= FCB=60 ， O为 EF的中点 （）求证： AO BE （）求二面角FAE B的余弦值； （）若BE 平面 AOC ，求 a 的值 精品文档 精品文档 【分析】（）根据线面垂直的性质定理即可证明AO BE （）建立空间坐标系，

28、利用向量法即可求二面角F AE B的余弦值； （）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a 的值 【解答】 证明： （） AEF为等边三角形，O为 EF的中点， AO EF， 平面 AEF 平面 EFCB ，AO ? 平面 AEF ， AO 平面 EFCB AO BE （）取BC的中点 G，连接 OG ， EFCB是等腰梯形， OG EF， 由（）知AO 平面 EFCB ， OG ? 平面 EFCB ， OA OG ， 建立如图的空间坐标系， 则 OE=a ，BG=2 ， GH=a ， （ a2） ， BH=2 a，EH=BHtan60 =， 则 E（a，0，0） ，A（0， 0，a） ，B（2

29、，0） ， =（ a，0，a） ，=（a2，0） ， 设平面 AEB的法向量为=（x，y，z） ， 则，即， 令 z=1，则 x=，y=1， 即=（， 1， 1） ， 平面 AEF的法向量为， 则 cos= 即二面角FAE B的余弦值为； 精品文档 精品文档 （）若BE 平面 AOC ， 则 BE OC ， 即=0， =（a2，0） ，=（ 2，0） ， =2（a2） 3（a2） 2=0， 解得 a= 【点评】 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量 法是解决空间角的常用方法 18 （13 分） （2015?真题）已知函数f （x）=ln， （）求曲线y=f

30、（x）在点（ 0，f （0） ）处的切线方程； （）求证，当x（ 0，1）时， f （x）； （）设实数k 使得 f （ x）对 x（ 0，1）恒成立，求k 的最大值 【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程 精品文档 精品文档 （2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立 （3）对 k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围 【解答】 解答： （1）因为 f （x） =ln （1+x） ln （1 x）所以 又因为 f （0）=0，所以曲线y=f （ x）在点（ 0，f （0） ）处的切线方程为y=2x （2）证明：令g（x）=f （x） 2（x+） ，则 g （ x

31、）=f （x） 2（1+x 2）= ， 因为 g （x） 0（0x1） ，所以 g（x）在区间（ 0，1）上单调递增 所以 g（ x） g（0）=0，x（ 0，1） ， 即当 x（ 0，1）时， f （x） 2（x+） （3）由（ 2）知，当k 2 时， f （ x）对 x（ 0，1）恒成立 当 k2 时，令 h（x）=f （x），则 h （ x）=f （x） k（1+x 2）= ， 所以当时， h （x） 0，因此 h（ x）在区间（ 0，）上单调递减 当时， h（x） h（0）=0，即 f （ x） 所以当 k2 时， f （x）并非对 x（ 0，1）恒成立 综上所知， k 的最大值为2

32、【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明在高考中属常考题型， 难度适中 19 （14 分） （2015?真题）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点 P （0，1） 和点 A（ m ，n） （ m 0）都在椭圆C上，直线PA交 x 轴于点 M （）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m ，n 表示） ； （）设 O为原点，点B与点 A关于 x 轴对称，直线PB交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在 点 Q ，使得 OQM= ONQ ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由 【分析】（I ）根据椭圆的几何性质得出求解即可 精品文档 精品文档 （II ）求解得出 M （，

33、0） ，N （，0） ，运用图形得出tan OQM=tan ONQ ，=， 求解即可得出即yQ 2=x M?xN，+n 2，根据 m ， m的关系整体求解 【解答】 解： （）由题意得出 解得： a=，b=1， c=1 +y 2=1， P（0，1）和点 A（m ， n） ， 1n1 PA的方程为： y1=x，y=0 时， xM= M （，0） （II ）点 B与点 A关于 x 轴对称，点A（m ， n） （m 0） 点 B（ m ， n） （m 0） 直线 PB交 x 轴于点 N， N（，0） ， 存在点Q ，使得 OQM= ONQ ， Q （0，yQ） ， tan OQM=tan ONQ ，

34、 =，即 yQ 2=x M?xN，+n 2=1 yQ 2= =2， yQ=， 故 y 轴上存在点Q ，使得 OQM= ONQ ，Q （0，）或 Q （0，） 精品文档 精品文档 【点评】 本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的 方法求解几何问题，难度较大，属于难题 20 （13 分） （2015?真题）已知数列 an满足：a1N * ， a136， 且 an+1= （n=1，2，） ，记集合M=an|n N * （）若a1=6，写出集合M的所有元素； （）如集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3 的倍数； （）求集合M的元素个数的最大值 【分

35、析】（） a1=6，利用 an+1=可求得集合M的所有元素为6，12， 24； （）因为集合M存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak是 3 的倍数，由 an+1=（ n=1， 2，），可归纳证明对任意nk，an是 3 的倍数； （）分a1是 3 的倍数与 a1不是 3 的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值 【解答】 解： （） 若 a1=6，由于 an+1=（n=1，2，） ，M=an|n N * 故集合 M的所有元素为6，12，24； （）因为集合M存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak是 3 的倍数，由 an+1=（ n=1， 2，），可归纳证明对任意nk，an是 3 的倍数

36、如果 k=1，M的所有元素都是3 的倍数； 如果 k 1，因为 ak=2ak1，或 ak=2ak136，所以 2ak1是 3 的倍数；于是ak1是 3 的倍数； 类似可得， ak2， a1都是 3 的倍数； 从而对任意n1，an是 3 的倍数； 综上，若集合M存在一个元素是3 的倍数，则集合M的所有元素都是3 的倍数 （）对a136， an=（n=1， 2，） ，可归纳证明对任意nk， an36（ n=2， 3，） 因为 a1是正整数， a2=，所以 a2是 2 的倍数 从而当 n2 时， an是 2 的倍数 如果 a1是 3 的倍数，由（）知，对所有正整数n， an是 3 的倍数 精品文档

37、精品文档 因此当 n3 时， an12 ，24，36 ，这时 M的元素个数不超过5 如果 a1不是 3 的倍数，由（）知，对所有正整数n，an不是 3 的倍数 因此当 n3 时， an4 ，8，16，20， 28，32 ，这时 M的元素个数不超过8 当 a1=1时， M=1，2， 4，8，16，20， 28，32 ，有 8 个元素 综上可知，集合M的元素个数的最大值为8 【点评】 本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运 算能力，属于难题 精品文档 精品文档 参与本试卷答题和审题的老师有：changq；qiss ；742048；wkl197822 ；sdpyqzh ；刘长柏； whgcn；双曲线；沂蒙松；lincy ； maths；雪狼王； wfy814 （排名不分先后） 菁优网 2016 年 8 月 29 日