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1、椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题 （1）过椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点( ,0)F c作两条互相垂直的弦AB，CD。若弦AB，CD 的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 2 22 (,0) a c ab 。 （2）过椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴上任意一点( ,0)()S sasa作两条互相垂直的弦AB， CD。若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 2 22 (,0) a s ab 。 设AB的直线为xmys，则CD的直线方程为 1 xys m ， 222222 0 xmys b xa ya b ， 22222222 ()2()0m bayb ms
2、yb sa， 222222 4()0a bm bas， 2 11 222 2msb yy m ba ， 222 11 222 ()asa yy m ba ， 由中点公式得M 22 222222 (,) a smsb m bam ba ， 将m用 1 m 代换，得到N的坐标 222 222222 (,) a smmsb m abm ab MN的直线方程为 2222 22222222 () () (1) b smabma s yx b maa mb ma ， 令0y， 得 2 22 a s x ab 所以直线MN恒过定点 2 22 (,0) a s ab 。 （3）过椭圆 22 22 1 xy a
3、b 的短轴上任意一点(0, )()Ttttt作两条互相垂直的弦AB， CD。若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 2 22 (0,) b t ab 。 （4） 过椭圆 22 22 1 xy ab 内的任意一 点 22 22 ( , )(1) st Q s t ab 作两条互相垂直的弦AB，CD。 若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 22 2222 (,) a sb t abab 。 设AB的直线为()xsm yt，则CD的直线方程为 1 ()xsyt m ， 222222 () 0 xsm yt b xa ya b ， 2222222222 ()2()()
4、0m baybmsm t ybsmta b， 2 11 222 2()mbsmt yy m ba ，由中点公式得 22 222222 ()() (,) asmtmbmts M m bam ba 直线MN的方程为： 22 222222 ()() () MN b m mtsasmt ykx b mab ma ， 即 22 2222 () MN a sb t ykx abab ，所以直线MN恒过定点 22 2222 (,) a sb t abab 。 重庆巴蜀中学高2018 级届月考卷九理科20（本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的左右焦点分别是 1 F， 2 F，
5、上顶点M， 右顶点为(2,0)N， 12 MF F 的外接圆半径为2。 （1）求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的 圆经过点N，求ABN面积的最大值。 解：（）右顶点为 (20)，2a， 12 2MFMF， 12 1 sin 2 MObb MF F MFa ， 2 12 24 24 sin 2 MF R b MF Fb ，1b， 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y（4 分） （）设直线l 的方程为 myxb ， 1122 ()()A xyB xy， 与椭圆联立得 222 (4)240mymbyb， 2 1212 22 24 44 mbb yyy y
6、mm ， （6 分） 以AB为直径的圆经过点N ，0NANB， 1122 (2)(2)NAxyNBxy ， 121212 2()40x xxxy y，（7 分） 1212 2 8 ()2 4 b xxm yyb m ， 22 22 1 21212 2 44 () 4 bm x xm y ymb yyb m ， 代入式得 2 516120bb， 6 5 b 或2b（舍去）， 故直线 l 过定点 6 0 5 ，（9 分） 2 2 12 2222 1024 16 16282564 25 2| 255(4)25(4) ABN m m Syy mm ， （ 10 分） 令 2 2 2564 ( )0)
7、(4) t h ttm t ， 则 2 28 ( )02512811204 25 h tttt， ( )h t 在0)t，上单调递减， max ( )(0)4h th， 0m时， max 16 25 ABNS （12 分） 结论（一）以 00 (,)xy为直角定点的椭圆 22 22 1 xy ab 内接直角三角形的斜边必过定点 2222 00 2222 (,) abba xy abba 。证明： 设 00 (,)P xy在椭圆上，即 22 00 22 1 xy ab ，设 00 ()yyk xx， 00 1 ()yyxx k 00 222222 () 0 yyk xx b xa ya b ，
8、22222222 0000 ()2()()0bk axa k ykx xaykxb， 222 00000 011 222222 2()(2)a k ykxaxkyb x xxx k abk ab ， 222 000 2 222 (2)axkyb k x x k ba 2 120 21 2121 11 AB k kxxx yy kk k xxxx 21 11 21 yy yyxx xx 2222 002222 () AB baab yxkxx abab ， 所以过定点 2222 00 2222 (,) abba xy abba 。 推论 1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，
9、且定点在y轴上 。 证明：设右顶点(0, )Pb，设ykxb， 1 yxb k 222222 0 ykxb b xa ya b ， 22222 ()20a kbxa bkx， 2 1222 2 , a bk x a kb ，将k换成 1 k 得： 2 2222 2a bk x ab k 由题意，若直线BS关于y轴对称后得到直线B S， 则得到的直线ST与ST关于x轴对称， 所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST与ST的交点，该点必在y轴上。 设该定点坐标(0, ) t， 1212 1211212 1212121 1 ()()kxb xxxb tyyyy xx y k t xxxxxxx
10、 ， 222 21 22 21 1()x xkb ba tb kxxba ，所以过定点 22 22 () (0,) b ba ba 。 推论 2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x轴上 。 证明：设右顶点( ,0)P a，设xmya， 1 yxa m 222222 0 xmya b xa ya b ， 22222 ()20b mayb amy， 2 1222 2b am y b ma ，将m换成 1 m 得： 2 2222 2b am y ba m 由题意，若直线BS关于x轴对称后得到直线B S， 则得到的直线ST与ST关于y轴对称， 所以若直线ST经过定点，则该
11、定点一定是直线ST与ST的交点，该点必在x轴上。 设该定点坐标( ,0)t， 1212 1211212 1212121 1 ()()mya yyya yyyx yy x m t txxxyyyy ， 222 21 22 21 1()y yma ab ta myyab ，所以过定点 22 22 () (,0) a ab ab 。 下面探求ABP面积的最大值： 22 22 ()a ab xmy ab 代入椭圆得： 2244 22222 22222 ()4 ()20 () a aba b b maybmy abab 242224 222 4()4 () a babma ab ， 222422224 21 2222222222222 ()41()2 ( 2() ABP abmaa ababa b Sayy ababab mabab m 24 222 4 () a b ab ，当且仅当0m时等号成立。 结论2：以 00 (,)xy为直角定点的抛物线 2 2ypx内接直角三角形的斜边必过定点 0 (2xp， 0) y 结论3：以 00 (,)xy为直角定点的双曲线 22 22 1 xy ab 内接直角三角形的斜边必过定点 2222 00 2222 (,) abab xy abba