《江苏省淮阴中学与姜堰2019届高三数学四月联考卷(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省淮阴中学与姜堰2019届高三数学四月联考卷(含答案).pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学试题第 1 页 江苏省淮阴中学高三年级阶段测试 数学试题（ I ）卷 2019.04.19 一、填空题 : 本大题共14 小题，每小题5分，共计70 分，把答案填写在答题卡上相应位置上 . 1.已知集合1, 1 ,0A，01| 2 xxB，则BA= . 2. 已知复数z满足iiz23，其中i是虚数单位，则z的共轭复数是 . 3. 已知角 510的终边经过点),3(aP，则实数a 的值是 . 4. 如下图所示的流程图，输出n 的值是 . 5. 已知函数)sin3()(xaxxf为偶函数，则实数a 的值是 . 6. 现有 5 根铁丝，长度（单位：cm ）分别为2.1 ，2.2 ， 2.4 ，2
2、.5 ，2.7 ，若从中一次随机抽取两根铁丝， 则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是 7.已知单位向量ba,的夹角为 120，则|2|ba的值是 8. 如图， 已知正三棱柱 111 CBAABC中， AB=3，4 1 AA，若点 P 从点 A 出发， 沿着正三棱柱的表面， 经过棱 11B A运动到点C1，则点 P 运动的最短路程为 . 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共4 页，均为非选择题（第1 题第 20 题，共 20 题） . 本卷满分为160 分，考试 时间为 120 分钟 . 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2答题前，请您务必将自己的姓名、
3、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3作答试题，必须用0. 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效. 4如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. A1B1 C1 A B C 第 8 题 A B C D E O 第 11 题 输出n 1n 16s 开始 2 ns 1nn 结束 Y N 第 4 题 数学试题第 2 页 9. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，满足62 24 aa，则 11 S的值 = 10.已知函数)0( 1 a x a xf， 3 ) 1()(xxg，若xf与xg的图像交于A、B
4、 两个不同的点，点P 在圆 C： 1) 1( 22 yx上运动，则PBPA的取值范围是 . 11.如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE （点 E 在 BD 下方）组成一个“风筝骨架” ， O 为正方形ABCD 的中心，点 P 是 “风筝骨架” 上一点，设 OBnOAmOP),(Rnm ， 则 nm 的最大值是 . 12.已知椭圆C：)0(1 2 2 2 2 ba b y a x ， 存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于 A、B 两点，满足2 BF AF ， 则椭圆 C 离心率的最小值是 . 13.已知函数 axtx txx xf , 1|1|2 1),1(log )( 2 1 ，若存在
5、实数t，使xf的值域为 1 , 1，则实数a 的取值 范围是 . 14.对任意Rx，不等式322244 xxxx ba恒成立，则ba的最大值是 . 二、解答题 : 本大题共6 小题，共计90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分14 分）ABC中，角 A、 B、 C 的对边分别为a、b、c， 已知 3 2 cos A，CBcos5sin. （1）求Ctan的值；（2）若2a，求ABC的面积 . 16 （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面 ABCD平面 BCE，BEEC （ 1）求证：平面 AEC平面 ABE； （ 2）点 F在BE上，若 DE平面 A
6、CF，求 BF BE 的值 数学试题第 3 页 17. （本小题满分14 分）某工厂C发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟km1 的速度增大 . 一所学校A，位于工厂C南偏西45 ，且与工厂相距 km5 . 消防站 B 位于学校 A的正东方向， 且位于工厂C南偏东 60，立即以每分钟km2的速度沿直线BC 赶往工厂C救援，同时学校组织学生P 从A处沿着南偏东 75的道路， 以每分钟akm的速度进行安全疏散（与爆炸的时间差忽略不计）. 要想在 消防员赶往工厂的时间内（包括消防员到达工厂的时刻），保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么 要求？ 18.（本小题满分16 分）
7、如图所示，已知椭圆：)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 1 ，右准线方程是直线 4: xl ，点P为直线 l上的一个动点， 过点P作椭圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B（点A在 x轴上方，点 B在x轴下方） . （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：分别以PA、PB为直径的两圆都恒过定点C； 若CBAC 2 1 ，求直线PC的方程 . A C B P 数学试题第 4 页 19.（本小题满分16 分）设函数xaxxfln2)( 2 ， （Ra）. （1）若曲线y=f （x）在点（ 1，f(1)）处的切线方程为y=2x+m，求实数a、m 的值； （2）关于 x 的
8、方程 f（x）+2cosx=5 能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若 f（2x-1）+22f（ x）对任意),2x恒成立，求实数a 的取值范围 . 20.（ 本 小 题 满 分16 分 ） 若 无 穷 数 列 n a满 足 ：0 n a， 且 对 任 意nlks，lkns （ Nnlks,）都有 lkns aaaa，则称数列 n a为“T”数列 . （1）证明：正项无穷等差数列 n a是“T”数列； （2）记正项等比数列 n b的前n项之和为 n S，若数列 n S是“T”数列，求数列 n b公比的取值范围； （3）若数列 n c是“T”数列，且数列 n c的前n项之和 n T满足
9、2 1nn cc n T ， 求证：数列 n c是等差数列 . 数学试题第 5 页 江苏省淮阴中学高三年级阶段测试 数学试题（）卷 2019.04.19 （满分 40 分，时间30 分钟） 注意：请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21(本小题满分10 分) 已知直线:0laxy在矩阵A 01 12 对应的变换作用下得到直线l ，若直线l 过点（ 1, 1） ，求实数a 的值 22(本小题满分10 分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程是 3 2 1 2 xtm yt ， （ t 是参数）， 以原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，若圆C
10、 的极坐标方程是 4cos ，且直线 l 与圆 C 相切，求实数m 的值 数学试题第 6 页 23. (本小题满分10 分) 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400 元的顾客，均可获得一次摸奖机会摸奖规 则如下： 奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4 个球（红、 黄、黑、白） 顾客不放回的每次摸出1个球， 若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球按规定摸到红球奖励20 元，摸到白球或黄球奖励10 元，摸到 黑球不奖励 （1）求 1 名顾客摸球2 次摸奖停止的概率； （2）记X为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望 24. (本小题满分10 分) 随着城
11、市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n个新农村集结区 n AAAA,., 321 按照逆时针方向分 布在凸多边形顶点上)4(n，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路 jiA A，两条道路的交汇处 安装红绿灯（集结区 n AAAA,., 321 除外） ，在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个 数为)(nP. （1）求)5(),4(PP； （2）求)(nP，并用数学归纳法证明. 1 A 2 A 3 A 4 A 1n A n A 数学试题第 7 页 O 江苏省淮阴中学高三年级阶段测试 数学（ I ）卷参考答案 2019.04.19 1.1,-1 2.i323.1 4.4 5
12、.0 6. 10 3 778.31966 10. .222, 22211.312. 3 1 13.2, 2 1 (14. 4 333 15解：（1）由 3 2 cos A，1cossin 22 AA且),0(A得 3 5 sin A 2 分 因为 A+B+C=，所以)sin(sinCAB 又因为CBcos5sin 所以CCCCAcos5sin 3 2 cos 3 5 )sin(4 分 得CCcos 3 52 sin 3 2 若0cosC，则1sinC不符合上式，所以0cosC 所以 5tanC 7 分 （2）由 5tanC ，1cossin 22 CC且),0(C 得 6 30 sinC， 6
13、 6 cosC9 分 CBcos5sin 6 30 由 B b A a sinsin 得3b12 分 2 5 sin 2 1 CabS ABC 14 分 16证明：（1）矩形 ABCD 中 AB BC，平面 ABCD 平面 BCE， 平面 ABCD平面 BCE = BC，AB平面 ABCDAB平面 BCE 2 分 又 CE平面 BCE ABCE 而 BEEC且 ABBE = B，AB，BE平面 ABE CE平面 ABE，4分 由CE平面 AEC，平面 AEC平面 ABE6分 （2）连接 BD，设 BDAC = O，连接 OF， 矩形 ABCD中， O是BD中点8分 数学试题第 8 页 若DE平
14、面 ACF，DE平面 DBE，平面 DBE平面 AFC = OF OFDE 10分 在 BDE中， OFDE ， O是 BD中点， F是BE中点12分 BE BF = 2 14分 17. BC=25 因为安全撤离，所以tPC在5 ,0t上恒成立 CAPAPACAPACPCcos2 222222 525tatta在5,0t上恒成立 所以0255)1()( 22 attatf 1a=1 时，0255)(ttf在5,0t上恒成立，所以a=1 符合题意 201 时 （ 1）当5 )1(2 5 2 a a 即 4 171 1a时 ，)(tf的 最 小 值 为0)5(f， 得10aa或， 所 以 4 17
15、1 1a （ 2）当5 )1(2 5 2 a a 即 4 171 a时，0得 3 32 a， 因为 3 32 4 171 所以 4 171 a 综上，1a即学生撤离的速度至少要是每分钟1km 18.（1）1 34 2 2 yx （2）设切点A),( 00 yx，则可证切线AP ：1 34 00yyxx 所以点 P) )1(3 , 4( 0 0 y x 以 AP 为直径的圆：0) )1(3 )()4)( 0 0 00 y x yyyxxx 由对称性可知定点在x 轴上，令y=0 得03)4( 00 2 xxxx，所以过定点C （1,0 ） 同理，以 BP 为直径的圆过定点C（1,0 ） 设 A),
16、( 11 yx，B),( 22 yx，C（1,0 ） 数学试题第 9 页 因为CBAC 2 1 ，所以 12 12 2 23 yy xx 又因为 1 34 1 34 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx ，所以 A) 8 53 , 4 7 ( P) 5 56 ,4(，所以直线PC的方程为 5 52 5 52 xy 19.（1）0,2 ma2 分 （2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令 g(x)= f （x）+2cosx 如果 g（x）=5 有三个不同的实根，则g（x）至少要有三个单调区间，则0)(xg至少两个不等实根，所 以只要证明0)(xg在),0(至多 1 个实根4 分 x x
17、 a xxgsin24)(， 2 cos24)( x a xxg， 1当 a0，又因为a0 时0 x a ，0sin24)(x x a xxg， 0)(xg在),0(没有实根 综合 12可知，0)(xg在),0(至多 1 个实根，所以得证.10 分 （3） f（2x-1）+22f （x）对任意),2x恒成立，且 xaxxfln2)( 2 ， xaxaxxln2) 12ln(484 2 对任意),2x恒成立， ) 12ln() 12(4ln4 22 xaxxax对任意),2x恒成立， 令tatthln4)(，13 分 则) 12()( 2 xhxh对任意),2x恒成立， ),2x时12 2 xx
18、，且)12()( 2 xhxh，), 312),4 2 xx， tatthln4)(在), 3t单调递增04)( t a th在),3t恒成立， 12a16 分 20.（1）证明： lkns aaaa=dlkns)( 因为正项无穷等差数列 n a，所以 d0，且lkns，所以 lkns aaaa 数学试题第 10 页 所以正项无穷等差数列 n a是“T”数列 （2） 1q=1 时 lkns SSSS0)( 1 alkns成立，所以q=1； 2q1 时 lkns SSSS)( 1 1snlk qqqq q a )1( 1 1snslsks qqqq q a 因为lkns，所以slkn，又因为q1
19、，所以 slskslksn qqqq 2 所以 1 snslsk qqq1 slskslsk qqqq)1)(1( slsk qq0，所以 q1 30q1 时 lkns SSSS)( 1 1snlk qqqq q a ) 1( 1 1nsnlnkn qqqq q a )1 111 ( 1 1 snlnkn n qqq q q a 因为lkns，所以slkn，又因为0q1，所以 slsksn qqq 111 所以 1 111 snlnkn qqq slsklsks qqqq 11 1 11 1 1 1 1 slsk qq 0 所以 lkns SSSS) 11 1 1 ( 1 1 lnknsn n
20、 qqq q q a 0 舍去 综上： q1 （3） nn cccT 21 11 cccT nnn 所以)()()(2 1121 ccccccT nnnn 数列 n c是“T”数列，所以 nn cccc 112 ， nn cccc 123 ， nn cccc 11 所以)(2 1nn ccnT，所以 2 1nn cc n T 又因为 2 1nn cc n T ，所以 2 1nn cc n T ，即)(2 1nn ccnT 两次退位相减，可证数列 n c是等差数列 数学试题第 11页 江苏省淮阴中学高三年级阶段测试 数学（）卷参考答案 2019.04.19 1.设( , )P x y 为直线 l
21、 上任意一点，在矩阵 A对应的变换下变为直线 l 上点( ,)P x y，则 01 12 xx yy ， 化简，得 2, . xxy yx 4 分 代入0axy，整理，得(21)0axay8 分 将点（ 1, 1）代入上述方程，解得a=- 110 分 2.由4cos，得 2 4cos，所以 22 4xyx ，即圆C的方程为 2 2 24xy， 又由 3 , 2 1 , 2 xtm yt 消t，得30xym，由直线l与圆C相切， 所以 2 2 2 m ，即2m或6m 10 分 3.（ 1）设“ 1 名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则 4 1 )( 2 4 1 3 A A AP， 故 1名顾客摸
22、球2 次停止摸奖的概率 1 4 4 分 （2）随机变量X的所有取值为0,10,20,30,40 1 (0) 4 P X， 1 2 2 4 1 (10) 6 P P X P , 2 2 32 44 11 (20) 6 P P X PP ， 12 22 3 4 1 (30) 6 C P P X P ， 3 3 4 4 1 (40) 4 P P X P ,8 分 所以，随机变量X的分布列为 : X010 20 30 40 P 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 数学试题第 12 页 11111 01020304020 46664 EX 10 分 4.解： （1）5)5(,1)4(PP （2）证明
23、： 1)4(,4 4 4 CPn，命题成立； 假设)4(kkn时， 4 )( k CkP 则1kn时， 1321 ,., kk AAAAA按逆时针方向排列，依次连结 kkkk AAAAAA 12111 , 可增加k 条道路，则 11A Ak 与凸四边形内部的道路交点为0； 21A Ak 与凸四边形内部的道路交点为)2(1k； 31A Ak 与凸四边形内部的道路交点为)3(2 k； 依次类推 11kk AA与凸四边形内部的道路交点为1)2(k； 则 4 1 334 2 1 2 3 2 2 4 23 ).(2 2 )2)(1( )1)(2(.3221 )2(.32)1( kkkk kk CCCC CCC kkk C kkkkkkkkP