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1、1 高考数学与阿基米德三角形 一、主要概念及性质 1、定义： 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些 基本性质有： 2、主要性质： 性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。 证明：设 1122 (,),(,)A xyB xy，M为弦AB中点，则过A的切线方程为 11 ()y yp xx，过B的 切线方程为： 22 ()y yp xx，联立方程组得： 11 22 2 11 2 22 () () 2 2 y yp xx y yp xx ypx ypx 解得两切线交点 1212 , 22 y yyy Q p ，进而可知QMx轴。 性质 2：若阿基
2、米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。 证明：设( , )Q x y，由性质1， 1212 , 22 y yyy xy p ，所以有 12 2y ypx。由 ,A B C三点共线知 1012 222 121 0 222 yyyy yyy x ppp 即 22 112102010 2yy yy xy xypy 将 12 12 ,2 2 yy yy ypx代入得 00 ()y yp xx 即为Q点的轨迹方程。 性质 3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。 性质 4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。 证明：设l方程为0
3、axbyc，且 1122 ( ,), (,)A x yB x y，弦AB过点 00 (,)C xy，由性质 2 可知 Q点的轨迹方程为 00 ()y yp xx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得 2 00 , cbp xy aa ，即弦AB过定点, cbp C aa 。 性质 5：底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 3 8 a p 。 证明：ABa，设Q到AB的距离为d，由性质1 知 222 1212121212 2() 22444 xxy yyyy yyy dQM pppp 设直线AB的方程为xmyn，则 22 21 (1)()amyy， 所以 23 22 12 1 ()
4、 428 aa yyadsad pp 。 性质 6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的 最小值为 2 p。 证明：由性质2，若底边过焦点，则 00 ,0 2 p xy，Q点的轨迹方程是 2 p x，即为准线；易 验证1 QAQB kk，即QAQB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点。所以 22 12 1212 2 224242 y y xxyyppp QMp pp 而 2 1212 1 () 2 QAB SQMyyQMy yp 性质 7 ：在阿基米德三角形中，QFAQFB。 证明：如图，作AA准线，BB准线，连接,AQ QB QF AF BF
5、，则 1 FA y k p ， 显然 1 FAQA Kk，所以FAQA，又因为AAAF，由三角形全等可得 QAAQAF，所以,QAAQAFQAQFQA AQFA 同理可得,QBQFQB BQFBQAQBQA BQB A 所以 00 9090QA AQA BQBAQBBQFAQFB 性质 8： 2 AFBFQF 3 证明： 2 121212 () 2224 pppp AFBFxxx xxx 2 222 1212 244 y yyyp p 而 222 222 2 12121212 222244 y yyyy yyypp QFAFBF ppp 性质 9 QM的中点P在抛物线上，且P点处的切线与AB平
6、行。 证明：由性质1知 12121212 , 2222 y yyyxxyy QM pp ，可得P点坐标为 2 1212 () , 82 yyyy p ，此点显然在抛物线上；过P点的切线斜率为 12 12 2 2 AB pp k yy yy ，结论得证。 二、例题解析 1 （ 2008 年江西卷理科第21 题） 21 （本小题满分12 分） 设点 00 (,)P xy在直线(,01)xm ymm上，过点P作双曲线 22 1xy的两条切线 PAPB、，切点为A 、B，定点 1 (,0)M m . （1）求证：三点AMB、共线。 （2）过点A作直线0xy的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在曲线方程. 4 2 （ 2008 年山东卷理科第22 题） 如图，设抛物线方程为 2 2(0)xpy p，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切 线，切点分别为AB， （）求证：AMB，三点的横坐标成等差数列； （）已知当M点的坐标为(22 )p，时， 4 10AB 求此时抛物线的方程； （）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线 2 2(0)xpy p上，其中， 点C满足OCOAOB（O为坐标原点） 若存在， 求出所有适合题意的点M的坐标；若不存 在，请说明理由 y x B A O M 2p