高考数学函数专题复习.pdf

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1、1 函数专题复习 基本定义 1映射f: AB 的概念。 在理解映射概念时要注意： A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如 （1）设:fMN是集合 M 到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有 象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是 M中所在元素的象的集合（答： A） ； （2） 点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba， 则在f作用下点)1 ,3(的原象为点 _ （ 答： （2， 1） ） ； （3） 若4,3,2,1A，,cbaB，, ,a b cR， 则A到B的映射有个，B到A的映射有个

2、， A到B的函数有个（答： 81,64,81） ； （4） 设集合 1,0,1,1,2,3,4,5MN， 映射:fMN满足条件“对任意的xM，( )xf x 是奇数”，这样的映射f有_个（答： 12） ； （5）设 2 :xxf是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2 ，则BA一定是 _（答：或1 ）. 2函数f: AB 是特殊的映射。特殊在 定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的 垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如 （1）已知函数( )f x，xF，那么集合(,) |( ),(,)|1 x yyfxxFx yx中所含元素的个数

3、有 个（答：0 或 1） ； （2）若函数42 2 1 2 xxy的定义域、值域都是闭区间2, 2b，则b（答： 2） 3同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一 确定，因此 当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同， 值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为 2 yx，值域为 4 ，1的“天 一函数”共有_个（答： 9） 4求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则） ： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x中0,0

4、xa且1a， 三角形中0A, 最大角 3 ，最小角 3 等。 如 2 （1）函数 2 4 lg3 xx y x 的定义域是 _(答：(0,2)(2,3)(3,4)； （2）若函数 2 7 43 kx y kxkx 的定义域为R，则k_(答： 3 0, 4 )； （ 3 ） 函 数( )f x的 定 义 域 是 , a b，0ba， 则 函 数( )( )()F xf xfx的 定 义 域 是 _(答： ,aa)； （4）设函数 2 ( )lg(21)f xaxx，若( )f x的定义域是R，求实数a的取值范围；若( )f x的 值域是 R，求实数a的取值范围（答：1a；01a） （2）根据实际

5、问题的要求确定自变量的范围。 （ 3） 复合函数的定义域：若已知( )fx的定义域为 , a b,其复合函数( )fg x的定义域由不等式 ( )ag xb解出即可；若已知 ( )f g x的定义域为 , a b,求( )f x的定义域，相当于当 , xa b时，求 ( )g x的值域（即( )f x的定义域）。 如 （ 1 ） 若 函 数)(xfy的 定 义 域 为 2, 2 1 ， 则 )( l o g 2x f的 定 义 域 为 _ （ 答 ： 42|xx） ； （2）若函数 2 (1)f x的定义域为 2,1)，则函数( )fx的定义域为 _（答： 1,5） 5求函数值域（最值）的方法

6、： （1）配方法 二次函数 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间, m n上的最值；二 是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“ 两看 ” ： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如 （1）求函数 2 25, 1,2yxxx的值域（答： 4,8） ； （2）当2,0(x时，函数3) 1(4)( 2 xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是 _（答： 2 1 a） ； （3）已知( )3(24) x b f xx的图象过点（ 2,1） ，则 1212 ( )( )()F xfxfx 的值域为 _（答： 2, 5

7、） （2）换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，如 （1） 2 2sin3cos1yxx的值域为 _（答： 17 4, 8 ） ； 3 （2）211yxx的值域为 _（答：(3,)） （令1xt，0t。运用换元法时， 要特别要注意新元t的范围 ） ； （3）sincossincosyxxxx的值域为 _（答： 1 1,2 2 ） ； （4） 2 49yxx的值域为 _（答：1,3 24） ； （3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数 的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如 求函

8、数 2sin1 1sin y ， 3 13 x x y ， 2sin1 1cos y 的值域（答： 1 (, 2 、 （0,1） 、 3 (, 2 ） ； （ 4） 单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如 求 1 (19)yxx x ， 2 2 9 sin 1sin yx x ， 5 3 2log1 x yx的值域为_（答： 80 (0,) 9 、 11 ,9 2 、2,10） ； （5）数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如 （ 1） 已知点( ,)P x y在圆 22 1xy上，求 2 y x 及2yx的取值范围（答：

9、 33 , 33 、 5,5） ； （2）求函数 22 (2)(8)yxx的值域（答：10,)） ； （3）求函数 22 61345yxxxx及 22 61345yxxxx的值域（答： 43,)、(26,26)）注意 ：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求 两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。 （6）判别式法 对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用 其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 2 b y kx 型，可直接用不等式性质，如求 2 3 2 y x 的值域（答： 3 (0, 2 ） 2

10、 bx y xmxn 型，先化简，再用均值不等式，如 （1）求 2 1 x y x 的值域（答： 1 (, 2 ） ； （2）求函数 2 3 x y x 的值域（答： 1 0, 2 ） 2 2 xm xn y xmxn 型，通常用判别式法；如已知函数 2 3 2 8 log 1 mxxn y x 的定义域为R，值域为 0，2，求常数,m n的值（答： 5mn ） 4 2 xm xn y mxn 型 ， 可 用 判 别 式 法 或 均 值 不 等 式 法 ， 如 求 2 1 1 xx y x 的 值 域 （ 答 ： (,31,)） （7）不等式法 利用基本不等式2( ,)abab a bR 求函

11、数的最值，其题型特征解析式是和 式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如 设 12 ,x a ay成等差数列， 12 ,x b by成等比数列， 则 21 2 21 )( bb aa 的取值范围是_. （答： (,04,)） 。 （8）导数法 一般适用于高次多项式函数，如 求函数 32 ( )2440f xxxx， 3,3x的最小 值。 （答： 48） 提醒 ： （1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有 何关系？ 6分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的

12、函 数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 0 ()f x时，一定首先要判断 0 x属于定义域的哪个子集，然 后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如 （ 1）设函数 2 (1) .(1) ( ) 41.(1) xx f x xx ，则使得( )1f x的自变量x的取值范围是_（答： (, 20,10） ； （2）已知 1(0) ( ) 1(0) x f x x ，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 _（答： 3 (, 2 ） 7求函数解析式的常用方法： （ 1 ） 待 定 系 数 法 已 知 所 求 函 数 的 类 型 （ 二 次 函

13、数 的 表 达 形 式 有 三 种 ： 一 般 式 ： 2 ( )f xaxbxc；顶点式： 2 ( )()f xa xmn；零点式： 12 ( )()()f xa xxxx，要会根据已 知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如 已知( )f x为二次函数， 且)2()2(xfxf， 且 f(0)=1, 图象在 x 轴上截得的线段长为22, 求( )f x的解析式。 （答： 2 1 ( )21 2 fxxx） （2）代换（配凑）法已知形如( ( )f g x的表达式，求( )f x的表达式。 如 （1）已知,sin)cos1( 2 xxf求 2 xf的解析式（答： 242 ()2,2,

14、2f xxxx） ； 5 （2）若 2 21 ) 1 ( x x x xf，则函数) 1(xf=_（答： 2 23xx） ； （ 3）若函数)(xf是定义在R 上的奇函数，且当),0(x时，)1()( 3 xxxf，那么当 )0,(x时，)(xf=_（答： 3 (1)xx）. 这里需 值得注意 的是所求解析式的定义域的等价性， 即( )f x的定义域应是( )g x的值域。 （3）方程的思想 已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行 赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。如 （1）已知( )2()32f xfxx，求( )fx的解析式（答：

15、2 ( )3 3 fxx） ； （2） 已知( )f x是奇函数，)(xg是偶函数，且( )f x+)(xg= 1 1 x ,则( )f x= _ （答： 2 1 x x ） 。 8反函数： （1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应 ，故单调函 数一定存在反函数，但反之不成立； 偶函数只有( )0(0)f xx有反函数； 周期函数一定不存在反函数。 如 函数 2 23yxax在区间 1, 2 上存在反函数的充要条件是 A、,1aB、2,aC、1,2aD、,1a2,（答： D） （2）求反函数的步骤：反求x；互换x、y；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。

16、注 意函数(1)yf x的反函数不是 1 (1)yfx，而是 1( ) 1yfx。如 设)0() 1 ()( 2 x x x xf.求)(xf的反函数)( 1 xf （答： 1 1 ( )(1) 1 fxx x ） （3）反函数的性质： 反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如 单调递增函数)(xf满足条件)3(axf= x ，其中a 0 ，若)(xf的反函数)( 1 xf 的定义域 为 aa 4 , 1 ，则)(xf的定义域是 _（答： 4,7）. 函数( )yf x的图象与其反函数 1( ) yfx的图象关于直线yx对称， 注意 函数( )yf x的图 象与 1

17、( )xfy的图象相同。如 （ 1） 已知函数( )yf x的图象过点(1,1),那么4fx的反函数的图象一定经过点_（答： （1,3） ） ； 6 （2）已知函数 1 32 )( x x xf，若函数( )yg x与) 1( 1 xfy的图象关于直线xy对称，求 (3)g的值（答： 7 2 ） ； 1 ( )( )f abfba。 如 （1）已知函数)2 4 (log)( 3 x xf，则方程 4)( 1 xf的解x_（答： 1） ； （2）设函数 f(x)的图象关于点 （1,2）对称， 且存在反函数 1( ) fx ，f (4) 0，则 1(4) f （答： 2） 互为反函数的两个函数具有

18、相同的单调性和奇函数性。如 已知fx是R上的增函数，点1,1 ,1,3AB在它的图象上， 1 fx是它的反函数，那么不等 式 1 2 log1fx的解集为 _（答：（2,8） ） ； 设( )f x的定义域为A，值域为B，则有 1 ( )()f fxx xB， 1 ( )ff xx ()xA，但 11 ( )( )f fxff x。 9函数的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务 必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(xf2sin(3)x， 25 ,3x为奇函数，其中)2,0(，则的值是（答： 0） ； （2）确定函数奇偶性

19、的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： 定义法： 如判断函数 2 |4 | 4 9 x y x 的奇偶性 _（答：奇函数） 。 利用函数奇偶性定义的等价形式：( )()0f xfx或 () 1 ( ) fx f x （( )0f x） 。如 判断 11 ( )() 212 x f xx 的奇偶性 _.（答：偶函数） 图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （3）函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间 上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. 若( )f x为偶函数，则()( )(|)fxf xfx.如 若定义在R 上的偶函数( )f x在(,0)上是减函数，且) 3 1 (f=2，则不等式 2)(log 8 1x f的解