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1、1 / 7 绝密启用前 2011 年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试 数学 一、选择题：本大题共12 小题；每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知tancot0，那么角是 （） （A）第一或第二象限角（B）第三或第四象限角 （C）第一或第三象限角（D）第二或第四象限角 （2） 设 1111 ABCDA B C D是棱长为1 的正方体，则四面体 11 ACB D的体积是（） （A） 1 2 （ B） 1 3 （C） 1 4 （D） 1 6 （3） 在ABC中，角ABC、 、的分别为abc、 、，若 222 3acbac
2、+-，则B（） （A） 6 （ B） 3 （C） 6 或 5 6 （D） 3 或 2 3 （4） 若复数z的虚部不为零，且 3 10zz，则（） （A）1z（ B）1z（C）1 2z （D）z2 （5）若 2 log 3a， 4 log 6b， 6 log 9c，则（） （A）abc（ B）abc（C）bca（D）cba （6）在四面体ABCD中，2AB，其余各棱长均为1，则二面角ACDB的余弦值为（） （A） 1 3 （ B）0（C） 1 3 （D） 1 2 （7）设数列 na 的前n项和 1 1 21 n S n ，则 na（） （A） 1 21n （B） 1 21n （C） 1 (21)
3、(21)nn （D） 2 (21)(21)nn （8）圆的直角坐标方程为 22 (3)(1)4xy，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中， 该圆的方程为（） （A）2（B） 5 4cos()(,) 366 （C） 2 4cos()(,) 633 （D）4cos(,) 22 2 / 7 （9）函数 1 1(1) 1 yx x 的反函数为（） （A） 1 1(1) 1 yx x （B） 1 1(1) 1 yx x （C） 1 1(1) 1 yx x （D） 1 1(1) 1 yx x （10）设 1 F, 2 F为双曲线 22 22 :1 xy C ab 的两个焦点，P为C上一点， 若 1
4、2 F F P是等腰直角三角形，则C 的离心率为（） （A） 15 2 （ B） 35 2 （C）12（D） 12 2 （11）若函数 2 ,1, ( ) ,1 xx f x axb x 在1x处可导，则ab（） （A）3 （ B） 2 （C）1 （D） 0 （12）点DEF、 、是ABC内三点，满足AD DEBE EFCF FD=， =， =， 设AFABAC=+ ， 则 ,)(（） （A） 4 2 (,) 7 7 （ B） 1 4 (,) 7 7 （C） 4 1 (,) 7 7 （D） 2 4 (,) 7 7 二、填空题：本大题共6 小题；每小题5 分. （13）若关于x的方程 32 0x
5、xax有重根，则a_ （14）已知两条直线,m n，两个平面,，给出四个命题： 若mn,m，则n若,mn，则mn 若m,m，则若,m，则m 其中正确命题的序号是_ （15） 设等比数列 n a的各项都为正数， 前n项和为 n S 若 62 7SS， 则其公比为 _ （ 16）在空间直角坐标系Oxyz中，经过点(2,1,1)P且与直线 310, 32210 xyz xyz 垂直的平面方程为 _ （17）若多项式( )p x满足(1)1,(2)3pp，则( )p x被 2 32xx除所得的余式为_ （18）设有 4 张不同的卡片，若有放回地抽取4 次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概
6、 率为 _ 3 / 7 三、解答题：本大题共4 小题；每小题15 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （19）设函数( )232f xxx （）把( )f x写成分段函数，并求( )f x的最小值； （）解不等式( )5f x （20）设ABC为锐角三角形证明 （）sinsin1cosABC； （）2sinsinsinABC 3 3 2 4 / 7 （21）设抛物线 2 : 4 x Cy与直线:1lykx交于AB、两点，P为抛物线在这两点的切线的交点 （）当1k时，求点P的坐标； （）当k变化时，求点P的轨迹 （22）数列 n a的前n项和为 n S，满足 11 1, nn aaSn （
7、1）写出 an的前三项 （2）设 bn=Sn+n+1，证明 bn是等比数列 （3）求 an的通项公式 5 / 7 2011年港澳台联考数学真题答案 一、选择题：15：DBACD 610：ADCDC 1112：AB 二、填空题：13 1 0 4 或1415216857280xyz1721x18 21 64 三、解答题 19解：（）当2x时，( )32(2)13f xxxx； 当 3 2 2 x时，( )32(2)5f xxxx； 当 3 2 x时，( )23231f xxxx； 所以 1 3 ( )5 31 x f xx x ，故( )f x的最小值为 7 2 （）当2x时， 4 ( )51 3
8、5 3 f xxx，这与2x矛盾； 当 3 2 2 x时，( )5550f xxx，此时解为 3 0 2 x； 当 3 2 x时，( )53152f xxx，此时解为 3 2 2 x 综上所述，( )5f x的解为02x 20解：（）1cos1cos()1sinsincoscosCABABAB， 1cossinsin(1 sin)(1 sin)coscosCABABAB， 因为A，B都是锐角，所以cosA，cosB均大于 0，所以1cossinsin0CAB， 所以sinsin1 cosABC （）因为sinsin1cosABC，所以sinsinsin1cossin2ABCCC 为证明 3 3 sinsinsin 2 ABC，不妨设 3 C， 由于sinsin2sincos2cos 222 ABABC AB，所以sinsinsinsin2cos 2 C ABCC，