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1、1 学案 5 函数的奇偶性与对称性 一、课前准备： 【自主梳理 】 1、 奇偶函数的定义： 一般地， 对于函数()fx的定义域内的_一个 x ， 都有 _， 那么 ()fx 就叫做奇函数对于函数 ()fx 的定义域的 _一个 x，都有 _， 那么()fx就叫做偶函数 2、奇偶函数的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于对称（也就是说，函数为奇 函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称 （2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于_对称；一个函数是偶函数的充要 条件是它的图像关于_对称 （3）若奇函数)(xf的定义域包含0，则)0(f_ （4）定义在 R上的任意函数)( xf 都可以表示成一个
2、奇函数 )(xg _和一个偶函 数)( xh_的和 （5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为_；两个偶函数之积（商） 为_；一奇一偶函数之积（商）为_（注：取商时应使分母不为0） 3、函数图像的对称性： （1）定义在R上的函数)( xf满足)()(xafxaf，则)(xf的图 像关于 _对称 （2）定义在R上的函数)( xf满足)()(xafxaf，则)( xf的图像关于 _对称 【自我检测】 1、对于定义在R 上的函数)(xf，下列判断正确的是_ 若(2)(2)ff，则函数( )f x是偶函数；若(2)(2)ff，则函数()fx不是偶函数； 若(2)(2)ff，则函数( )fx不是
3、奇函数 2、给出 4 个函数： 2 4 1 () 3 x fx x ；()25fxx； 1 ()lg 1 x fx x ； 1 () 1 x fx x 其中是奇函数；是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数 3、已知 22 ()(1)(1)2fxmxmxn为奇函数，则m_, n_ 4、函数xxxf 3 )(的图像关于点 _对称 2 5、函数1sin)( 3 xbaxxf，若 (3 )2f ，则(3 )f的值为 _ 6、已知函数)( xf是定义在R的奇函数，则函数)()()(xfxfxg的奇偶性是 _ 二、课堂活动： 【例 1】填空题： （1）函数( )11fxxx是_函数（填奇偶性） （2）已知函数
4、babxaxxf3)( 2 ，其定义域为aa2,1，则)( xf为偶函数的充要条 件为 _ （ 3）已知()fx是 R 上的奇函数,且当(0 ,)x时 , 3 ()(1)fxxx,则()fx的解析式为 _ （4）若函数 x x k k xf 21 2 )(是奇函数，则 k_ 【例 2】判断下列各函数的奇偶性： （1） 1 ()(1) 1 x fxx x ； （2） 2 2 lg(1) () |2 |2 x fx x ； （3） 2 2 (0) () (0) xxx fx xxx 3 【例 3】 （1）已知函数)(xf是偶函数， 当 1,0x 时，xxf1)(，又)( xf的图象关于直线1x对
5、称，求)(xf在1,2上的解析式； （ 2）若函数( )fx是偶函数，定义域为1,1且在区间1, 0上为增函数，解关于x 不等式 )3()15(xfxf 三、课后作业 1、下列函数中，是偶函数的是_. 2 ()fxxx()1fxx 22 ()fxxx 2 ()2, 2)fxxxx 2、若函数 22 ()log(2) a fxxxa是奇函数，则实数a. 3、奇函数()fx的定义域是R，当0x时， 2 ()22fxxx，则()fx在R上的表达式 为_. 4、 已知)(xf是偶函数，)( xg是奇函数，若 1 1 )()( x xgxf， 则 )(xf 的解析式是 _. 5、若函数()()(2)(,
6、)fxxabxaa bR常 数是偶函数，且它的值域为,4 ，则该函数的解 析式为 _. 6 、 若 函 数( )yfx是 定 义 在1,1上 的 奇 函 数 ， 且 在0,1上 为 减 函 数 ， 若 2 (1)(45)0faafa，则实数a 的取值范围为_. 7、若奇函数()fx满足(3)1,(3)()(3),ffxfxf则 3 () 2 f_. 4 8、已知()fx是定义R在上的偶函数， 并满足 )( 1 )2( xf xf，当 32x时， xxf)( ， 则)5.5(f的值为 _. 9、函数()(0 )yfxx是奇函数，且当( 0,)x时是增函数，若(1)0f，求不等式 1 ()0 2
7、fx x的解集 . 10、已知函数()fx对一切,x yR，都有()()()fxyfxfy. （1）求证：()fx是奇函数；（2）若(3)fa，用 a 表示(12)f. 四、纠错分析 错 题 卡 题 号错 题 原 因 分 析 高考资源网版权所有侵权必究 学案 5 函数的奇偶性与对称性答案 一、课前准备： 【自主梳理 】 1.任意，)()(xfxf，任意，)()(xfxf. 2. （1）原点，原点 . （2） 原点，y轴. （3） 0. （4） 2 )()( )( xfxf xg， 2 )()( )( xfxf xh. （5）偶函数，偶函数，奇函数. 3.（1）直线ax.（2）点0,a. 【自我
8、检测】 1. 2.，. 3.2,1 nm. 4.0,0. 5.0. 6.奇函数 . 二、课堂活动： 【例 1】 （1）偶 .（2）0, 3 1 ba.（3） 3 3 (1),0 () (1),0 xxx fx xxx .（4）1. 【例 2】 【解析】（1）由 1 0 1 x x ，得定义域为1,1)，关于原点不对称，()fx为非奇非 偶函数 （2）由 2 2 10 |2 |20 x x 得定义域为(1,0)(0,1)， 2 2 lg(1) ( ) (2)2 x fx x 2 2 lg(1)x x ， 22 22 lg1() lg(1) () () xx fx xx ()fx()fx为偶函数
9、（3）当0x时，0x，则 22 ()()()()fxxxxxfx， 当0x时，0x，则 22 ()()()()fxxxxxfx， 综上所述，对任意的(,)x，都有()()fxfx，()fx为奇函数 【 例3】 【 解析 】 （ 1） )( xf的 图象 关 于直 线1x对 称， )1()1(xfxf， 即 )2()(xfxf 当2,1x时，1)2(1)2()(xxxfxf 又()fx为偶函数，1,2x时，1)()(xxfxf （2）函数( )f x是偶函数，定义域为1,1且在区间1,0上为增函数， 高考资源网版权所有侵权必究 )( xf 在1 ,0上为减函数 .由 )3()15(xfxf 得：
10、)3()15(xfxf xx315，即： 8 1 x或 2 1 x，又131, 1151xx，即 3 1 0x 不等式的解为： 8 1 0x 三、课后作业 1. 2. 2 2 函数是实数R 上的奇函数 2 2 02log0)0( 2 aaf a 3. 2 2 220 ()00 220 xxx fxx xxx 4. 1 1 )( 2 x xf 5.42)( 2 xxf 6. 2 333 1a 7. 2 1 8.2.5 【解析】 11 (4)(2)2()4 1 (2) ( ) (5.5)(1.54)(1.5)( 1.5)(1.54)(2.5) 23( )(2.5)2.5(5.5)2.5 f xfx
11、f xT f x fx ffffff xf xxff 函 数的 最 小正 周 期为 时， 9.【解析】 111 ()00()1()-1 222 fx xx xx x由 题 得或， 解之得 1117117 |0 244 xxx或， 所以不等式的解集为 1117117 |0 244 xxx或. 10. 【解析】 （1）显然()fx的定义域是R，它关于原点对称在()()()fxyfxfy中， 令yx，得(0)()()ffxfx，令0xy，得(0)(0)(0)fff，(0)0f， ()()0fxfx，即()()fxfx， ()fx是奇函数 高考资源网版权所有侵权必究 （2）由(3)fa，()()()fxyfxfy及()fx是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4ffffa 版权所有：高考资源网()