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1、1 O A B C D 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结 一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形 图形 一般 性质 1边： 且； 2角：； ； 3对角线 ； 1边： 且； 2角：； ； 3对角线 ； 1边： 且； 2角：； ； 3对角线 ； 1边： 且； 2角：； ； 3对角线 ； 面积 二. 判断（识别）方法小结： (1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3 方面） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的
2、四边形是平行四边形。 (2) 识别矩形的方法： （从定义、特殊元素（角、对角线）3 方面） 有一个角是直角的平行四边形是矩形；（tR一个） 对角线相等的平行四边形是矩形；（对角线=） 有三个角是直角的四边形是矩形；（3tR个） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（对角线互相平分对角线=） 2 (3) 识别菱形的方法： （从定义、特殊元素（边、对角线）3 方面） 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（=一组 邻边） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（对角线） 四边都相等的四边形是菱形；（4=边） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（对角线互相平分对角线） (4) 识别正方形的方法： （从边、角
3、、对角线3 方面）抓本质： 矩形+菱形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（= Rt一组邻边一个 ） 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；（对角线对角线） 有一组邻边相等的矩形是正方形；（=矩形一组邻边） 对角线互相垂直的矩形是正方形；（矩形对角线） 有一个角是直角的菱形是正方形；（Rt菱形一个） 对角线相等的菱形是正方形；（菱形对角线） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。（对角线互相平分对角线对角线） 小结： 把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别 方法的编号为 (1) ，其他方法类似） 三、其他性质： 1、平行四边
4、形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的 （1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积_；两条对角线分得的四部分 面积 _。 推广： 若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的 线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。 3 E D A B C （ 2） 与对称性有关的：平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）都是 _图形；但只有：矩形、菱形、正方形为_图形；平行四边形 _图形。 即： 矩形、菱形、正方形既是_ 图形，又是 _图形；平行四边形只是 _图形。 1矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是
5、两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直 平分线。 2菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在 的直线。 3正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图 形，对称中心为对角线的交点。 2、矩形具有平行四边形的一切性质 菱形具有平行四边形的一切性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 3、拓展知识： （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 推广（灵活应用） ： （结合：三角形的中位线；三角形中位线定理；三角
6、形相似） 以右图ABC为例，在1 D为AB中点 2 E为AC中点 3 DEBC 4 1 = 2 DEBC中知道任意两个必能够推得另外两个。 （3）菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。 推广： 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 四、梯形： 1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2、等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。 4 3、直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形 4、等腰梯形的性质： 1 对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线是对称轴， 2 角：等腰梯形同一底边上的两个角相等；同腰上的
7、两个角互补。 3 对角线：等腰梯形的两条对角线相等。 4 边：两腰相等；上下底不等。 5、等腰梯形的判定定理 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 6、等腰梯形的判定方法： 1先判定它是梯形，2再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。 7、梯形常见的辅助线（解决梯形问题常用的方法：） 解梯形问题常用的辅助线：如图 1.延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。 2.平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 3.作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。 4.平移一条对角线 作用： （1）得到平行四边形ACED ，使
8、 CE=AD ， BE 等于上、下底的和 （2）S梯形ABCD=SDBE 5 5. 等积变形：当有一腰中点时，连结一个顶点与 一腰中点并延长交一个底的延长线。 作用：可得 ADE FCE， 所以使 S梯形ABCD=SABF。 .基础达标训练： 1 填空： （1）两条对角线_的四边形是平行四边形； （2）两条对角线_的四边形是矩形； （3）两条对角线_的四边形是菱形； （4）两条对角线_的四边形是正方形； （5）两条对角线_的平行四边形是矩形； （6）两条对角线_的平行四边形是菱形； （7）两条对角线_的平行四边形是正方形； （8）两条对角线_的矩形是正方形； （9）两条对角线_的菱形是正方形。
9、 2 已知：如图，在ABCD 中， E、 F 分别为边AB 、CD 的中点， BD 是对角线， AG DB 交 CB 的延长线于G (1) 求证： ADE CBF； (2) 若四边形BEDF 是菱形，猜测：四边形AGBD 是 什么特殊四边形？并证明你的结论 6 C F BE D A C B E A F D 四边形练习 1ABCD中， A 的平分线分BC 成 4cm 和 3cm 两条线段， 则ABCD的周长为 2如图，在ABCD中， C=60o,DEAB 于 E,DFBC 于 F （1）则 EDF= ； （2）若 AE=4 ，CF=7，则ABCD周长 = ; ABCD 面积 = 。 3(1)在平
10、行四边形ABCD 中，若 C= B+D，则 A= . (2)已知在ABCD,A 比 B 小 20o，则 C 的度数是 (3)在ABCD中，周长为100cm，AB-BC=20cm ，则 AB= , BC= . （4）在ABCD中，周长为30cm，且 AB：BC=3：2，则 AB= cm. （5）如图， 若ABCD 与EBCF 关于 BC 所在直线对称， ABE90，则 F 4下列命题中，错误的是（） A矩形的对角线互相平分且相等B对角线互相垂直的四边形是菱形 C等腰梯形的两条对角线相等D等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 5.在下列命题中，正确的是（） A一组对边平行的四边形是平行四边形B有
11、一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6.下列错误的是( ) A一组邻边相等的平行四边形是菱形B一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D一组邻边相等的矩形是正方形 7.下列命题中，真命题是（） 两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线互相垂直的四边形是菱形 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7 AB C D E F A BC D B E 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 8已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为 9.如图，梯形纸片ABCD ， B=60，
12、ADBC，AB=AD=2 ，BC=6 ，将纸片折叠，使点B 与点 D 重合， 折痕为 AE，则 CE=_. 第 9 题图第 10 题图 10.如图，折叠矩形的一边CD， 使点 C落在 AB上的点 F处， 已知 AB=10cm ，BC=8cm ， 则 EC的长为 _. 11、如图， AD 是 ABC 的角平分线 .DE AC 交 AB 于 E，DF AB 交 AC 于 F.四边形 AEDF 是菱形 吗？说明你的理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看） 12、 如图，已知ABCD 的对角线交于O， 过 O 作直线交 AB、 CD 的反向延长线于E、 F， 求证：OE=OF. 8 13、如图，等
13、腰ABC 中， AB=AC, D 是 BC 边上的一点， DEAC ，DFAB ，通过观察分析线 段 DE，DF，AB 三者之间有什么关系？试说明你的结论成立的理由。（不用全等，你可以做出 来吗？试试看） 14、如图，在ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且AECF ，AE 与 CF 相等吗？说明理由. （不用全等，你可以做出来吗？试试看） 15、四边形ABCD 是等腰梯形，其中AD=BC，若 AD=5， CD=2，AB=8，求梯形ABCD 面积 .（关键 是会画出正确的图形） 9 16、以锐角 ABC 的边 AC、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形 ABGF ，连结 BE、CF， （1）试探索BE 和 CF 的关系？并说明理由. （2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.